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高一数学三角函数二倍公式


黄冈中学高一数学三角函数二倍角公式
1、二倍角的正弦、余弦、正切 在和角公式 S(α +β )、C(α +β )、T(α +β )中,令 α =β 就可以得出对应的二倍角的三角函数公式.

点拨: (1)倍角公式是和角公式的特例. 形为:cos2α =2cos2α -1或 cos2α =1-2sin2α .

(2)因为 sin2α +cos2α =1所以公式 C2α 还可变

(3) 公式成立的条件: C2α 中 α ∈R; S2α 中 α ∈R; T2α 中 α ≠

(k∈Z)

时,显然 tanα 的值不存在,但 tan2α 的值是存在的,这时求 tan2α 的值可利用诱导公式,即:

. (4)理解二倍角的含义:二倍角公式不仅可运用于将2α 作为 α 的2倍的情况,还可以运用于 诸于将4α 作为2α 的2倍, 将 α 作为 的2倍等等情况. 的2倍; 将3α 作为

的2倍; 将

作为

的2倍; 将

(5)注意公式的逆用:

例如:

2、半角的正弦、余弦、正切:在倍角公式 cos2α =1-2sin2α 、cos2α =2cos2α -1中以 α 代替2α , α , 即 得 : cosα =1 - 2sin2 , cosα =2cos2



代 替

- 1 , 所 以 有

即得:

称之为半角公式

点拨: (1)半角公式中正、负号的选取由

所在象限确定.

(2)称公式

为降幂公式.

(3) 等等.

可看做

的半角;

可看做3α 的半角;

可看做 α 的半角;2α 可看做4α 的半角

(4)公式

成立的条件为:α ≠2kπ +π (k∈Z).

(5) 说明:半角公式不要求记忆. 3、积化和差与和差化积公式:将公式 S(α +β )加上 S(α -β )即可得:

k∈Z.

, 另外将公式 S(α +β )减去 S(α -β ) 、 C(α +β )加上 C(α -β ) 、 C(α +β )减去 C(α -β )可得出另三个公式,即得积化和差公式如下:

在上述公式中令 α +β =θ ,α -β =φ 可得以下和差化积公式:

点拨: (1)积化和差公式的推导,用了“解方程组”的思想,和差化积公式的推导用了“换元”的

思想. (2)正确地运用积化和差与和差化积公式的关键在于对式子的深刻观察:①观察角度的和差 特点;②观察式子的整体结构特点.说明:积化和差与和差化积公式不要求记忆.

1、

=( )

A.- A.4

B.

C. C.2

D.- D.1

2、tan15°+cot15°=( )

B.3

3、sin15°sin30°sin75°的值等于( ) A. 4、化简 cos2α +2sin2α ,得( ) A.0 B.1

B.

C. C.sin2α

D. D.cos2α

5、已知 tanx=2,则

等于(

) A.

B.-

C.

D.-

6、化简

=(



A.cot2α

B.tan2α

C.cotα

D.tanα

7、化简

的结果为(

)A.

sin2x B.

cos2x

C.-

cos2xD.-

sin2x

11、

=_____________.

12、若

=_____________.

例1、已知

,求 sinα ,cosα ,tanα 的值.

例2、求 tan20°+2tan40°+4tan10°-tan70°的值.

例3、化简:

例4、求证:



例5、已知:2sinα =sinθ +cosθ ,sin2β =sinθ ·cosθ .

求证:




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