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江苏省南京市、盐城市2015届高三年级第一次模拟考试


江苏省南京市、盐城市 2015 届高三年级第一次模拟考试 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 1.设集合 M ? ?2,0, x? ,集合 N ? ?0,1 ? ,若 N ? M ,则 x ? 答案:1 2.若复数 z ? 答案:-1 3.在一次射箭 比赛中 , 某运动员 5 次射箭的环 数 依次是 9,10,9, 7,10 ,则该组数据 的 方差 是 ▲ . ▲ .

a?i (其中 i 为虚数单位)的实部与虚部相等,则实数 a ? i



.

答案:

6 5

4.甲、乙两位同学下棋,若甲获胜的概率为 0.2 ,甲、乙下和棋的概率为 0.5 ,则乙获胜的概率为 ▲ . 答案: 0.3 解读:为了体现新的《考试说明》 ,此题选择了互斥事件,选材于课本中的习题。 5.若双曲线 x2 ? y 2 ? a2 (a ? 0) 的右焦点与抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点重合,则 a ? 答案: ▲ .

2 2
▲ .

6.运行如图所示的程序后,输出的结果为 答案:42

? 2x ? y ? 0 ? x? y 7.若变量 x, y 满足 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则 2 的最大值为 ? x?0 ?



.

i←1 S←0 While i<8 i←i + 3 S←2? i + S End While Print S END
第 6 题图

答案:8 8.若一个圆锥的底面半径为 1 ,侧面积是底面积的 2 倍,则该圆锥的体积为 答案:



.

3? 3

9.若函数 f ( x) ? sin(? x ?

?
6

)(? ? 0) 图象的两条相邻的对称轴之间的距离为

于点 ( x0 ,0) 成中心对称, x0 ? [0, 答案:

?
2

? ,且该函数图象关 2

] ,则 x0 ?



.

5? 12

10.若实数 x, y 满足 x ? y ? 0 ,且 log 2 x ? log 2 y ? 1,则 答案:4

x2 ? y 2 的最小值为 x? y
1 ”成立的 2



.

11.设向量 a ? (sin 2? , cos ? ) , b ? (cos ? ,1) ,则“ a//b ”是“ tan ? ?



条件 (选

高三数学答案 第 1 页 共 8 页

填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”) . 答案:必要不充分 12.在平面直角坐标系 xOy 中,设直线 y ? ? x ? 2 与圆 x2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 交于 A, B 两点, O 为坐 标原点,若圆上一点 C 满足 OC ? 答案: 10 13 . 已 知 f ( x ) 是 定 义 在 [?2, 2] 上 的 奇 函 数 , 当 x ? (0, 2] 时 , f ( x )? x 2? , 1 函数

5 3 OA ? OB ,则 r ? 4 4



.

g ( x) ? x2 ? 2x ? m . 如果对于 ?x1 ?[?2, 2] , ?x2 ?[?2, 2] ,使得 g ( x2 ) ? f ( x1 ) ,则实数 m 的取
值范围是 ▲ 答案: [?5, ?2] . 14.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? ?1 , a2 ? a1 , | an?1 ? an |? 2n (n ? N * ) ,若数列 ?a2n?1? 单调递减, 数列 ?a2 n ? 单调递增,则数列 ?an ? 的通项公式为 an ? ▲ .

? ?2n ? 1 , n为奇数 ? ( ?2) n ? 1 ? 3 答案: ( 说明:本答案也可以写成 ? ) n 3 ? 2 ? 1 , n为偶数 ? ? 3
二、解答题: 15.(本小题满分 14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,设锐角 ? 的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边与 单 位 圆 交 于 点 P( x1 , y1 ) , 将 射 线 OP 绕 坐 标 原 点 O 按 逆 时 针 方 向 旋 转

Q( x2 , y2 ) . 记 f (? ) ? y1 ? y2 . (1)求函数 f (? ) 的值域;
(2)设 ?ABC 的角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 f (C) ? 2 ,且 a ? 解: (1)由题意,得 y1 ? sin ? , y2 ? sin(? ?

? 后与单位圆交于点 2
y

2 , c ? 1Q ,求 b .
α O P x

?
2

) ? cos ? ,

………4 分

所以 f (? ) ? sin ? ? cos ? ?

2 sin(? ? ) , 4

?

………………6 分

第 15 题图

因为 ? ? (0,

?
2

) ,所以 ? ?

?

? 3? ? ( , ) ,故 f (? ) ? (1, 2] . 4 4 4
?

……………8 分

(2)因为 f (C ) ?

2 sin( ? C ) ? 2 ,又 C ? (0, ) ,所以 C ? , 4 2 4
2 2 2

?

?

………10 分

2 在 ?ABC 中,由余弦定理得 c ? a ? b ? 2ab cos C ,即 1 ? 2 ? b ? 2 2 ?

2 b, 2
D1 A1 O D C E B C1 B1

解得 b ? 1 . ……………14 分 16.(本小题满分 14 分) 如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, O, E 分别为 B 1 D, AB 的中点. (1)求证: OE // 平面 BCC1B1 ; (2)求证:平面 B1DC ? 平面 B1DE .
高三数学答案 第 2 页 共 8 页 A

第 16 题图

证明(1) :连接 BC1 ,设 BC1

B1C ? F ,连接 OF , ………2 分
1 DC , 2
D1 A1 O ……………8 分 ………… 10 分 A D E B B1 F C C1

因为 O,F 分别是 B1D 与 B1C 的中点,所以 OF // DC ,且 OF ? 又 E 为 AB 中点,所以 EB // DC ,且 EB ? 所以 OE // BF , 又 OE ? 面 BCC1B1 , BF ? 面 BCC1B1 , 所以 OE // 面 BCC1B1 . 所以 BC1 ? DC , 又 BC1 ? B1C ,且 DC, B1C ? 面 B1DC , DC 所以 BC1 ? 面 B1DC ,…………12 分 而 BC1 // OE ,所以 OE ? 面 B1DC ,又 OE ? 面 B1DE , 所以面 B1DC ? 面 B1DE . ………14 分

从而 OF // EB, OF ? EB ,即四边形 OEBF 是平行四边形, ……………6 分

1 DC , 2

(2)因为 DC ? 面 BCC1B1 , BC1 ? 面 BCC1B1 ,

B1C ? C ,

y x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0) 的右 a 2 b2 B 准线方程为 x ? 4 ,右顶点为 A ,上顶点为 B ,右焦点为 F ,斜率为 2

17.(本小题满分 14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C :

l

的直线 l 经过点 A ,且点 F 到直线 l 的距离为

2 5 . 5

O

·
F P

A

x

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)将直线 l 绕点 A 旋转,它与椭圆 C 相交于另一点 P ,当 B, F , P

三点共线时,试确定直线 l 的斜率. 解: (1)由题意知,直线 l 的方程为 y ? 2( x ? a) ,即 2 x ? y ? 2a ? 0 ,…………2 分

第 17 题图

2 5 ,? a ? c ? 1 , ………4 分 5 5 a2 a2 2 ? 4 ,所以 c ? 又椭圆 C 的右准线为 x ? 4 ,即 ,将此代入上式解得 a ? 2, c ? 1 ,? b ? 3 , c 4 2 2 x y ? 1; ……………6 分 ? 椭圆 C 的方程为 ? 4 3 (2)由(1)知 B(0, 3) , F (1, 0) , ? 直线 BF 的方程为 y ? ? 3( x ?1) , ……………8 分 8 ? ? y ? ? 3( x ? 1) x? ? ? 8 3 3 5 ? ?x ? 0 ? 联立方程组 ? x 2 y 2 ,解得 ? 或? (舍) ,即 P ( , ? ) , ……12 分 5 5 y ? 3 3 3 ? ? ? 1 ? ? ?y ? 3 ?4 ? 5 ?

? 右焦点 F 到直线 l 的距离为

2c ? 2a

?

? 直线 l 的斜率 k ?

0 ? (?

3 3 ) 5 ?3 3. 8 2 2? 5

……………14 分

18.(本小题满分 16 分)某地拟模仿图甲建造一 座大型体育馆,其设计方案侧面的外轮廓线如 图乙所示:曲线 AB 是以点 E 为圆心的圆的一
高三数学答案 第 3 页 共 8 页 F A 第 18 题-甲

y B C

·E
O 第 18 题-乙

D

x

部分,其中 E (0, t ) ( 0 ? t ? 25 ,单位:米) ;曲线 BC 是抛物线 y ? ?ax2 ? 50(a ? 0) 的一部分;

CD ? AD ,且 CD 恰好等于圆 E 的半径. 假定拟建体育馆的高 OB ? 50 米. (1)若要求 CD ? 30 米, AD ? 24 5 米,求 t 与 a 的值; (2)若要求体育馆侧面的最大宽度 DF 不超过 75 米,求 a 的取值范围; 1 1 (3)若 a ? ,求 AD 的最大值. (参考公式:若 f ( x) ? a ? x ,则 f ?( x) ? ? ) 25 2 a?x 解: (1)因为 CD ? 50 ? t ? 30 ,解得 t ? 20 . …………… 2 分 2 2 2 此时圆 E : x ? ( y ? 20) ? 30 ,令 y ? 0 ,得 AO ? 10 5 ,
所以 OD ? AD ? AO ? 24 5 ? 10 5 ? 14 5 ,将点 C (14 5,30) 代入 y ? ?ax2 ?50( a ? 0) 中,解得 a ?

1 . 49

………… 4 分

(2) 因为圆 E 的半径为 50 ? t , 所以 CD ? 50 ? t , 在 y ? ?ax2 ? 50 中令 y ? 50 ? t , 得 OD ? 则由题意知 FD ? 50 ? t ?

t , a

t ? 75 对 t ? (0, 25] 恒成立,………… 8 分 a 25 25 1 25 所以 恒成立,而当 t ? ,即 t ? 25 时, t ? 取最小值 10, ? t? a t t t 1 1 故 . ………… 10 分 ? 10 ,解得 a ? 100 a 1 2 2 2 (3)当 a ? 时 , O D ? 5 t , 又 圆 E 的 方 程 为 x ? ( y ? t) ? ( 5 0? t ) ,令 y ? 0 ,得 25 x ? ?1 0 2 5 ? t ,所以 AO ? 10 25 ? t , 从而 AD ? f (t ) ? 10 25 ? t ? 5 t (0 ? t ? 25) ,………… 12 分

2 1 5( 25 ? t ? 2 t ) ,令 f ?(t ) ? 0 ,得 t ? 5 ,…… 14 分 ? )? 25 ? t t 25 ? t ? t 当 t ? (0,5) 时, f ?(t ) ? 0 , f (t ) 单调递增;当 t ? (5, 25) 时, f ?(t ) ? 0 , f (t ) 单调递减,从
又因为 f ?(t ) ? 5(? 而当 t ? 5 时, f (t ) 取最大值为 25 5 . 19.(本小题满分 16 分)设数列 ?an ? 是各项均为正数的等比数列,其前 n 项和为 Sn ,若 a1a5 ? 64 , (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)对于正整数 k , m, l ( k ? m ? l ) ,求证:“ m ? k ? 1 且 l ? k ? 3 ”是“ 5ak , am , al 这三项经适当 (3)设 数 列 ?bn ? 满 足 : 对 任 意 的 正 整 数 n , 都 有 a1bn ? a2bn?1 ? a3bn?2 ? 排序后能构成等差数列”成立的充要条件; 答:当 t ? 5 米时, AD 的最大值为 25 5 米. …………16 分

S5 ? S3 ? 48 .

? anb1

? b ? ? 3 ? 2n?1 ? 4n ? 6 ,且集合 M ? ?n | n ? ? , n ? N * ? 中有且仅有 3 个元素,试求 ? 的取值范围. ? an ? 2 解: (1) 数列 ?an ? 是各项均为正数的等比数列,? a1a5 ? a3 ? 64 ,? a3 ? 8 ,
S5 ? S3 ? 48 ,?a4 ? a5 ? 8q2 ? 8q ? 48 ,? q ? 2 ,? an ? 8 ? 2n?3 ? 2n ;… 4 分 (2) (ⅰ)必要性:设 5ak , am , al 这三项经适当排序后能构成等差数列,

高三数学答案 第 4 页 共 8 页

①若 2 ? 5ak ? am ? al ,则 10 ? 2k ? 2m ? 2l ,?10 ? 2m?k ? 2l ?k ,?5 ? 2m?k ?1 ? 2l ?k ?1 ,
m ? k ?1 ? ?1 ?m ? k ? 1 ?2 ? ? l ? k ?1 , ?? . ………… 6 分 ?4 ? ?l ? k ? 3 ?2 k ②若 2am ? 5ak ? al , 则 2? 左边为偶数, 等式不成立, ③ 2 m?52 ? ? 2 l , ? 2m?1?k ? 2l ?k ? 5 , 若 2al ? 5ak ? am ,同理也不成立, …………8 分 综合①②③,得 m ? k ? 1, l ? k ? 3 ,所以必要性成立. (ⅱ)充分性:设 m ? k ? 1 , l ? k ? 3 , 则 5ak , am , al 这三项为 5ak , ak ?1, ak ?3 ,即 5ak,2 ak,8 ak ,调整顺序后易知 2ak ,5ak ,8ak 成等差数

列,所以充分性也成立. 综合(ⅰ) (ⅱ) ,原命题成立. (3)因为 a1bn ? a2bn?1 ? a3bn?2 ? 即 2 bn ? 2 bn?1 ? 2 bn?2 ?
1 2 3

…………10 分

? anb1 ? 3? 2n?1 ? 4n ? 6 ,
? 2n b1 ? 3? 2n?1 ? 4n ? 6 , (*) ? 2n?1b1 ? 3 ? 2n ? 4n ? 2 , (**)

? 当 n ? 2 时, 21bn?1 ? 22 bn?2 ? 23 bn?3 ?

? 2n b1 ? 3 ? 2n?1 ? 8n ? 4 , (***) ? (*)-(***) ,得 2bn ? 4n ? 2 ,即 bn ? 2n ? 1(n ? 2) ,
2 3 4 则(**)式两边同乘以 2,得 2 bn?1 ? 2 bn?2 ? 2 bn?3 ?
2 ?bn ? 2n ? 1 .………14 又当 n ? 1 时,2b1 ? 3 ? 2 ?10 ? 2 , 即 b1 ? 1 , 适合 bn ? 2n ? 1(n ? 2) ,



?

bn 2n ? 1 b b 2n ? 1 2 n ? 3 5 ? 2 n ? n ,? n ? n?1 ? n ? n?1 ? , an an?1 2 2 2n an 2 bn bn?1 b b ? 0 ,即 2 ? 1 ; ? n ? 2 时, ? a2 a1 an an?1
? n ? 3 时,

bn bn?1 ?b ? ? ? 0 ,此时 ? n ? 单调递减, an an?1 ? an ? b1 1 b2 3 b3 5 b4 7 7 1 ? , ? , ? , ? ,? ? ? ? . 又 a1 2 a2 4 a3 8 a4 16 16 2
x

……………16 分

20.(本小题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? e , g ( x) ? mx ? n . (1)设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) . ① 若函数 h( x) 在 x ? 0 处的切线过点 (1, 0) ,求 m ? n 的值; ② 当 n ? 0 时,若函数 h( x) 在 (?1, ??) 上没有零点,求 m 的取值范围;

1 nx ? ,且 n ? 4m(m ? 0) ,求证:当 x ? 0 时, r ( x) ? 1 . f ( x) g ( x) x x 解: (1)由题意,得 h?( x) ? ( f ( x) ? g ( x))? ? (e ? mx ? n)? ? e ? m , 所以函数 h( x) 在 x ? 0 处的切线斜率 k ? 1 ? m , ……………2 分 又 h(0) ? 1 ? n ,所以函数 h( x) 在 x ? 0 处的切线方程 y ? (1 ? n) ? (1 ? m) x , 将点 (1, 0) 代入,得 m ? n ? 2 . ……………4 分 1 x x x (2)方法一:当 n ? 0 ,可得 h?( x) ? (e ? mx)? ? e ? m ,因为 x ? ?1 ,所以 e ? , e 1 x ①当 m ? 时, h?( x) ? e ? m ? 0 ,函数 h( x) 在 (?1, ??) 上单调递增,而 h(0) ? 1 , e 1 1 1 1 所以只需 h( ?1) ? ? m ? 0 ,解得 m ? ? ,从而 ? ? m ? . …………6 分 e e e e
(2)设函数 r ( x) ?
高三数学答案 第 5 页 共 8 页

1 时,由 h?( x) ? e x ? m ? 0 ,解得 x ? ln m ? (?1, ??) , e 当 x ? (?1,ln m) 时, h?( x) ? 0 , h( x) 单调递减;当 x ? (ln m, ??) 时, h?( x) ? 0 , h( x) 单调 递增. 所以函数 h( x) 在 (?1, ??) 上有最小值为 h(ln m) ? m ? m ln m , 1 令 m ? m ln m ? 0 ,解得 m ? e ,所以 ? m ? e . e 1 综上所述, m ? [? , e) . ……………10 分 e x 方法二:当 n ? 0 , e ? mx ①当 x ? 0 时,显然不成立; x ex ex e x x ? e x e ? x ? 1? ②当 x ? ?1 且 x ? 0 时, m ? ,令 y ? ,则 y? ? ,当 ?1 ? x ? 0 时, ? x x x2 x2 ex ex y? ? 0 ,函数 y ? 单调递减, 0 ? x ? 1 时, y? ? 0 ,函数 y ? 单调递减,当 x ? 1 时, y? ? 0 , x x x 1 1 e 函数 y ? 单调递增,又 y x ??1 ? ? , y x?1 ? e ,由题意知 m ? [? , e) . e e x n x 1 nx 1 1 4x m (3)由题意, r ( x) ? , ? ? x? ? x? n e f ( x) g ( x) e x ? 4 x? m 1 4x ? 1 等价于 ex (3x ? 4) ? x ? 4 ? 0 ,令 F ( x) ? ex (3x ? 4) ? x ? 4 ,…12 分 而 r ( x) ? x ? e x?4 则 F (0) ? 0 ,且 F ?(x) ?e x(3x ? 1) ? 1 , F ?(0) ? 0 ,令 G(x) ? F ?(x) ,则 G?(x) ?e x(3x ?2) , 因 x ? 0 , 所以 G?( x) ? 0 , ……………14 分 所以导数 F ?( x) 在 [0, ??) 上单调递增,于是 F ?( x) ? F ?(0) ? 0 , 从而函数 F ( x) 在 [0, ??) 上单调递增,即 F ( x) ? F (0) ? 0 . ……………16 分
②当 m ?

附加题答案
21. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做两题 ,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指 ...... .... 定区域 内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ... A、 (选修 4—1:几何证明选讲) 如 图 , 已 知 点 P 为 Rt ?ABC 的 斜 边 AB 的 延 长 线 上 一 点 , 且 PC 与 Rt ?ABC 的外接圆相切,过点 C 作 AB 的垂线,垂足为 D ,若 PA ? 18 , PC ? 6 ,求线段 CD 的长. 解:由切割线定理,得 PC ? PA ? PB ,解得 PB ? 2 , 所以 AB ? 16 ,即 Rt ?ABC 的外接圆半径 r ? 8 ,……5 分 记 Rt ?ABC 外接圆的圆心为 O ,连 OC ,则 OC ? PC , 在 Rt ?POC 中 , 由 面 积 法 得 OC ? PC ? PO ? CD , 解 得
2

C

A

D

B P

第 21-A 题图

CD ?

24 . ……………10 分 5

B、 (选修 4—2:矩阵与变换)

高三数学答案 第 6 页 共 8 页

? 2 2? ? ? ? 2 2 ? ? 的变换下所得曲线的方程. 求直线 x ? y ? 1 ? 0 在矩阵 M ? ? 2 2? ? ? ? 2 2 ? 解:设 P( x, y) 是所求曲线上的任一点,它在已知直线上的对应点为 Q( x?, y?) , ? ? ? 则? ? ? ? ? 2 2 2 x? ? y? ? x ( x ? y) ? x? ? ? 2 2 2 ,解得 ? , ………………5 分 2 2 2 ? y? ? x? ? y? ? y ( y ? x) ? 2 2 ? 2 2 2 代入 x? ? y? ? 1 ? 0 中,得 ( x ? y) ? ( y ? x) ? 1 ? 0 , 2 2 2 化简可得所求曲线方程为 x ? . ………………10 分 2
C、 (选修 4—4:坐标系与参数方程)

) ? 1 的距离. 3 解:将圆 ? ? 2cos ? 化为普通方程为 x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 ,圆心为 (1, 0) , ………………4 分

在极坐标系中,求圆 ? ? 2cos ? 的圆心到直线 2 ? sin(? ?

?

1 3 ) ? 1 ,即 2 ? ( sin ? ? cos ? ) ? 1 , 3 2 2 所以直线的普通方程为 3x ? y ?1 ? 0 , ………………8 分
又 2 ? sin(? ? 故所求的圆心到直线的距离 d ? D、解不等式 x ?1 ? x ? 2 ? 4 . 解:当 x ? ?1 时,不等式化为 ? x ? 1 ? 2 ? x ? 4 ,解得 ?

?

3 ?1 . 2

………………10 分

3 ? x ? ?1 ; ……………3 分 2 当 ?1 ? x ? 2 时,不等式化为 x ? 1 ? 2 ? x ? 4 ,解得 ?1 ? x ? 2 ; ……………6 分 5 当 x ? 2 时,不等式化为 x ? 1 ? x ? 2 ? 4 ,解得 2 ? x ? ; ………………9 分 2 3 5 所以原不等式的解集为 ( ? , ) . ………………10 分 2 2
如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? AC , AB ? 3 , AC ? 4 , 动点 P 满足 CP ? ?CC1 (? ? 0) ,当 ? ? (1)求棱 CC1 的长;
A1 C1

22. (本小题满分 10 分)

1 时, AB1 ? BP . 2

B1

P

? ,求 ? 的值. 3 解: (1)以点 A 为坐标原点, AB, AC, AA1 分别为 x, y, z 轴,
(2)若二面角 B1 ? AB ? P 的大小为 建立空间直角坐标系, 设 CC1 ? m ,则 B1 (3,0, m) , B(3, 0, 0) , P(0, 4, ? m) , 所以 AB1 ? (3,0, m) , PB ? (3, ?4, ??m) , AB ? (3,0,0) ,
高三数学答案 第 7 页 共 8 页

A

C

B 第 22 题图

………………2 分

1 1 时,有 AB1 ? PB ? (3, 0, m) ? (3, ?4, ? m) ? 0 2 2 解得 m ? 3 2 ,即棱 CC1 的长为 3 2 . ……………4 分
当? ? (2)设平面 PAB 的一个法向量为 n1 ? ( x, y, z) , 则由 ?

? ? AB?n1 ? 0 ? ? PB?n1 ? 0

,得 ?

?3x ? 0 ? ? ?x ? 0 ,即 ? , ? ? ?3x ? 4 y ? 3 2? z ? 0 ?4 y ? 3 2? z ? 0

3 2? 3 2? ,所以平面 PAB 的一个法向量为 n1 ? (0, ? ,1) ,…………6 分 4 4 又平面 ABB1 与 y 轴垂直,所以平面 ABB1 的一个法向量为 n2 ? (0,1,0) , ? 因二面角 B1 ? AB ? P 的平面角的大小为 , 3
令 z ? 1 ,则 y ? ?

3 2? 1 2 6 4 所以 cos n1 , n2 ? ? ,结合 ? ? 0 ,解得 ? ? . …………10 分 2 9 3 2? 2 ( ) ?1 4 23.设集合 S ? ?1,2,3,L , n? (n ? N * , n ? 2) , A, B 是 S 的两个非空子集,且满足集合 A 中的最大 ?
数小于集合 B 中的最小数,记满足条件的集合对 ( A, B) 的个数为 P n. (1)求 P2 , P 3 的值; 解: (1)当 n ? 2 时,即 S ? ?1,2? ,此时 A ? ?1? , B ? ?2? ,所以 P 2 ? 1 ,………2 分 当 n ? 3 时,即 S ? ?1,2,3? ,若 A ? ?1? ,则 B ? ?2? ,或 B ? ?3? ,或 B ? ?2,3? ; 若 A ? ?2? 或 A ? ?1,2? ,则 B ? ?3? ;所以 P 3 ? 5. 不取) ,所以集合 A 共有 C
0 k ?1 1 k ?1 2 k ?1 k ?1 k ?1 k ?1

(2)求 P n 的表达式.

………………4 分

(2)当集合 A 中的最大元素为“ k ”时,集合 A 的其余元素可在 1, 2,

, k ? 1 中任取若干个(包含

? C ? C ? ? C ? 2 种情况, ………………6 分 此时,集合 B 的元素只能在 k ? 1, k ? 2, , n 中任取若干个(至少取 1 个) ,所以集合 B 共有 1 2 3 n ?k n ?k Cn ? Cn ?1 种情况, ?k ? Cn?k ? Cn?k ? ?k ? 2 所以,当集合 A 中的最大元素为“ k ”时, k ?1 n ?k n ?1 k ?1 集合对 ( A, B) 共有 2 (2 ?1) ? 2 ? 2 对, ……………8 分 当 k 依次取 1, 2,3, , n ? 1 时,可分别得到集合对 ( A, B) 的个数,
求和可得 P n ? (n ?1) ? 2
n?1

? (20 ? 21 ? 22 ? L ? 2n?2 ) ? (n ? 2) ? 2n?1 ?1 . …………10 分

高三数学答案 第 8 页 共 8 页


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