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河北省唐山一中11-12学年高二数学下学期期末考试 理【会员独享】

唐山市第一中学

2011—2012 学年第二学期期末考试高二年级数学试 题 (理科)

试卷Ⅰ(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.每小题选出答案后,请填涂在答题卡上. 1.已知集合 S ? {x ? R x ? 1 ? 2}, T ? {?2, ?1, 0,1, 2} ,则 S A.2 B.4 C.5 D.7
x

T 的子集的个数





2. 已知函数 f ( x ) 为定义在 R 上的奇函数, 当 x≥0 时,f ( x ) =2 +2x+m(m 为常数), 则 f (? ) 1 的值为( A.-3 3.若 ) B.-1 C.1 ( D.6 ) D.3 )

?

a

1

1 (2 x ? )dx ? 3 ? ln 2(a ? 1) ,则 a 的值是 x
B.3 C.4

A.2

4.设 x, y ? R ,则 x2 ? y 2 ? 2 是 | x | ? | y |? 2 的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5.用数学归纳法证明 (n ? 1)(n ? 2) (n ? n) ? 2n ?1? 3 乘的代数式为

(2n ?1) ,从 k 到 k ? 1 ,左边需要增

2k ? 1 2k ? 3 D. k ?1 k ?1 2 6.六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体. 在图甲所示的平行四边形 ABCD 中, 有 AC
A. 2 k ? 1 B. 2(2k ? 1) C. +BD =2(AB +AD ),那么在图乙所示的平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,AC1+BD1+CA1+DB1等于 ( )
2 2 2 2 2 2 2

A . 2(AB + AD + AA 1 ) B . 3(AB +
2

2

2

2

AD2+AA2 1)
C . 4(AB + AD + AA 1 )
2 2 2

D.4(AB +AD ) 7.设 0 ? a ? b ,且 f ( x) ? A. f (a ) ? f (

2

2

1? 1? x ,则下列大小关系式成立的是( ). x
B. f (

a?b ) ? f ( ab ) 2

a?b ) ? f (b) ? f ( ab ) 2

C. f ( ab ) ? f (

a?b ) ? f (a ) 2

D. f (b) ? f (

a?b ) ? f ( ab ) 2
a 的值为 b

8.已知函数 y ? x 3 ? ax2 ? bx ? a 2 ? 7a 在 x ? 1 处取得极大值 10,则 A. ?

2 3

B.-2

C.-2 或 ?

2 3

D.不存在

9.下列四个命题中,正确的是( ) 2 2 A.对两个相关变量 y 和 x 进行线性回归分析时,用相关指数 R 来刻画回归效果,R 的值越 小,说明模型的拟合效果越好

? ? 2 ? 2.5 x ,当变量 x 增加 1 个单位时, y 平均增加 2 个单位个单 B.设回归直线方程为 y
位)
2 C.已知 X 服从正态分布 N 0, ? ,且 P(?2 ? x ? 0) ? 0.4 ,则 P( X ? 2) ? 0.1

?

?

D.对于命题 p : ?x ? R 使得 x ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R ,均有 x ? x ? 1 ? 0
2 2

10.某单位拟安排 6 位员工在今年 10 月 1 日至 3 日(国庆节假期)值班,每天安排 2 人,每 人值班 1 天.若 6 位员工中的甲不值 1 日,乙不值 3 日,则不同的安排方法共有 A. 30 种 B.36 种 C.42 种
? 1 2 ,则(

D.48 种 ) D. c ? b ? a
3

11. 设 a ? log3 2, b ? ln 2, c ? 5 A. a ? b ? c

B. b ? c ? a

C. c ? a ? b

12.已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数,且当 0≤x<2 时,f(x)=x -x,则函数 y =f(x)的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点的个数为( A.6 B.7 C.8 D.9 ).

试卷Ⅱ(共 90 分) 二、填空题(本题共4个小题,每题5分,共计20分) 13.已知

z ? ?3 ? i ,则在复平面内,复数 z 对应的点位于第 1? i

象限

14.不等式 | 2 x ? 1|?| x | ?1 的解集是
3n?1 n ?6 15.若 C23 ? C23 (n ? N ? ) 且 (3 ? x)n ? a0 ? a1x ? a2 x2 ?

? an xn ,

则 a0 ? a1 ? a2 ?

? (?1)n an ?



16. 对于定义域为 D 的函数 f ?x ? ,若存在区间 M ? ?a, b? ? D?a < b? ,使得

?y y ? f ?x?, x ? M ?? M ,则称区间 M 为函数 f ?x ? 的“等值区间”.给出下列四个函数:

① f ?x ? ? 2 x ; ② f ?x ? ? x3 ; ③ f ?x ? ? sin x; ④ f ?x ? ? log2 x ? 1. 则存在“等值区间”的函数的序号是 三、解答题(本题共6个小题 共计70分) 17. (本题满分 10 分)

? 1 ? 2 a x? ? 若 a ? ? sin xdx ,求二项式 ? ? ? 展开式中含 x 的项以及二项式系数最大的项. 0 x? ?
?

6

18. (本题满分 12 分) (1)若 (log a ) ? 1, 求 a 的取值范围;
2

2 3

(2)已知不等式 2 ? 3 ? a ? 4 ? 0 对 ?x ? (1, 2) 均成立,
x x x

求实数 a 的取值范围。 19. (本题满分 12 分) 19.如图,△ABC 的 ? A 平分线 AD 的延长线交它 点E (1) 证明:△ABE∽△ADC; (2) 若△ABC 的面积 S ? 20. (本题满分 12 分) 在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为 ? 的外接圆于

1 AD ? AE ,求 ?BAC 2

的大小.

? ? x ? 2 2 ? 2t ? ? y ? 1 ? 2t

(t 为参数) .在极坐标系(与直

角坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的方 程为 ? ? 4 2 cos? . (1) 求圆 C 的直角坐标方程; (2) 设圆 C 与直线 l 交于点 A、B,求|AB|. 21. (本题满分 12 分) 甲、乙两位篮球运动员进行定点投蓝,每人各投 4 个球,甲投篮命中的概率为 中的概率为

1 ,乙投篮命 2

2 . 3

(1)求甲至多命中 2 个且乙至少命中 2 个的概率; (2)若规定每投篮一次命中得 3 分, 未命中得 ? 1 分, 求乙所得分数? 的概率分布和数学期望. 22. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e ? kx,x ? R
x

(Ⅰ)若 k ? e ,试确定函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若 k ? 0 ,且对于任意 x ? R , f (| x |) ? 0 恒成立, 试确定实数 k 的取值范围; (Ⅲ)设函数 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) , 求证: F (1) F (2)

F (n) ? (e

n ?1

? 2) (n ? N? )

n 2

XX 市第 XX 中学 2011—2012 学年第二学期期末考试高二年级数学试题 (理科) 参考答案与评分标准 一.选择题(共 12 小题,每小题 5 分,计 60 分) BAADB CDACC CB

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,计 20 分) 13.二 14.

?x | 0 ? x ? 2?

15.

256

16.② ④

三、解答题(本题共6个小题 共计70分) 17.解: a ?

?

?

0

sin xdx ? ? cos x |? 0 ? 2,
1 x

…………………2 分

r Tr ?1 ? C6 (2 x ) 6? r (?

r 3? r ) r ? (?1) r 2 6?r C6 x , …………………5 分

令 3 ? r ? 2 ,得 r ? 1 ,

? 1 ? 2 2 ? ?? ?2 x ? ? 展开式中含 x 的项为 ? 192x , …………………8 分 x? ?
二项式系数最大的项为 T4 ? C 6 (2 x ) (?
3 3

6

1 x

) 3 ? ?160 …………10 分

2 (log a ) 2 ? 1, 3 2 1 2 ? ?1 ? log a ? 1, 即 log a ? log a ? log a a 3 a 3 1 2 3 3 当a ? 1时, ? ? a,? a ? , 且a ? 1 ? a ? . a 3 2 2
18. 解:(1)

……………1 分 …………3 分

1 2 2 2 当0<a ? 1时, ? ? a,? a ? , 且0<a ? 1 ? 0 ? a ? . …………5 分 a 3 3 3

2 3 ? a的取值范围是{a 0 ? a ? 或a ? } . 3 2
1 2
x

…………6 分

(2)由题设可得: a ? ?( ) ? ( ) 对一切(1,2)上 x 均成立 ………8 分
x

3 4

设 f ( x) ? ?( ) ? ( ) ,则函数为定义域上的递增函数 …………9 分
x x

1 2

3 4

5 13 ? 函数的值域是 (? , ? ) ……………11 分 4 16 13 ?a ? ? ……………12 分 16
19.证明:(1) 由已知条件,可得 ?BAE ? ?CAD , 因为 ?AEB与?ACB 是同弧上的圆周角,所以

?AEB=?ACD ,故
△ABE∽△ADC. …………………4 分

(2) 因为△ABE∽△ADC ,所以

AB AD ? ,即 AE AC

AB·AC=AD·AE.

………8 分

又 S=

1 1 AB·ACsin ?BAC ,且 S= AD·AE,故 AB·ACsin ?BAC = AD·AE. 2 2

则 sin ?BAC =1,又 ?BAC 为三角形内角,所以 ?BAC =90° ……………12 分 20.解:(1) 由 ? ? 4 2 cos? 得 x 2 ? y 2 ? 4 2 x ? 0 即 (x ? 2 2)2 ? y 2 ? 8 ………4 分

? 2 t? ?x ? 2 2 ? ? 2 (2) 将 l 的参数方程变形为 ? ( t ? 为参数)…………6 分 ? y ? 1 ? 2 t? ? ? 2
代入圆 C 的直角坐标方程,得 (? 即 t ? ? 2t ? ? 7 ? 0 ,
2

2 2 2 2 t ?) ? (1 ? t ?) ? 8 , 2 2
………8 分

?, t2 ? 是方程的两实根, 设 t1

? ? t2 ? ? ? 2,t1 ? ? t2 ? ? ?7 ? 0 , ………9 分 所以有 t1
又直线过点 P(2 2, 1) ,故由上式及 t ? 的几何意义得:

? ? t2 ? ? (t1 ? ? t2 ? ) 2 ? 4t1 ?t2 ? ? 30 .……………12 分 AB ?| AP | ? | BP ? t1
21.解: (1)设“甲至多命中 2 个球”为事件 A, “乙至少命中两个球”为事件 B, 由题意得,

1 1 1 11 1 1 1 2 1 2 P( A) ? ( ) 4 ? C 4 ( ) ? ( ) 3 ? C4 ( ) ? ( )2 ? …………2 分 2 2 2 2 2 16 1 1 2 8 2 2 2 3 2 3 P( B) ? C 4 ( ) ? ( ) 2 ? C4 ( ) ? ? ( )4 ? ………4 分 3 3 3 3 3 9
∴甲至多命中 2 个球且乙至少命中 2 个球的概率为

P ( A) ? P ( B ) ?

11 8 11 ? ? 16 9 18
1 3

…………5 分 …………6 分

(2)? 的可能取值为-4,0,4,8,12, 则

1 8 1 2 1 3 , p(? ? 0) = C4 ( )( ) ? 81 3 3 81 24 2 2 2 1 2 p(? ? 4) = C4 ( ) ( ) ? 3 3 81 2 1 32 2 16 3 p(? ? 8) = C4 p(? ? 12) = ( )4 ? …………9 分 ( )3 ( ) ? 3 81 3 3 81

p(? ? ?4) = ( )4 ?

?

?4

0
8 81

4

8
32 81

12

P

1 81

24 81

16 81
…………10 分

E? ? ?4 ?

1 8 24 32 16 20 ? 0? ? 4? ? 8? ? 12 ? ? 81 81 81 81 81 3

…………12 分

22. 解: (Ⅰ)由 k ? e 得 f ( x) ? e x ? ex ,所以 f ?( x) ? e x ? e .

, ? ?) ,…………2 分 由 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 ,故 f ( x ) 的单调递增区间是 (1 1) 由 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 ,故 f ( x ) 的单调递减区间是 (??,
(Ⅱ)由 f (| x |) ? f (| x |) 可知 f (| x |) 是偶函数. 于是 f (| x |) ? 0 对任意 x ? R 成立等价于 f ( x) ? 0 对任意 x ? 0 成立……5 分
x 由 f ?( x) ? e ? k ? 0 得 x ? ln k .

………4 分

①当 k ? (0, 1] 时, f ?( x) ? ex ? k ? 1 ? k ? 0( x ? 0) .

? ?) 上单调递增. 此时 f ( x ) 在 [0,
故 f ( x) ? f (0) ? 1 ? 0 ,符合题意.…………6 分

, ? ?) 时, ln k ? 0 . ②当 k ? (1
当 x 变化时 f ?( x),f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x )
f ( x)

(0, ln k )

ln k
0
极小值

(ln k, ? ?)

?
单调递减

?
单调递增

? ?) 上, f ( x) ≥ f (ln k ) ? k ? k ln k . 由此可得,在 [0,
, ?1 ? k ? e . 依题意, k ? k ln k ? 0 ,又 k ? 1
综合①,②得,实数 k 的取值范围是 0 ? k ? e .…………8 分 (Ⅲ)

F ( x) ? f ( x) ? f (? x) ? ex ? e? x ,
……

? F ( x1 ) F ( x2 ) ? e x1 ? x2 ? e?( x1 ? x2 ) ? e x1 ? x2 ? e? x1 ? x2 ? e x1 ? x2 ? e?( x1 ? x2 ) ? 2 ? e x1 ? x2 ? 2
……9 分

? F (1) F (n) ? en?1 ? 2 ,
F (2) F ( n ? 1) ? e n ?1 ? 2 F (n) F (1) ? e n ?1 ? 2.
由此得, [ F (1) F (2) 故 F (1) F (2)

F (n)]2 ? [ F (1) F (n)][ F (2) F (n ?1)] [ F (n) F (1)] ? (en?1 ? 2) n
n ?1

F (n) ? (e

? 2) ,n ? N? .…………12 分

n 2