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波利亚考查试题纸 A - 2012-2


广 东 商 学 院 试 题 纸
2011-2012 学年第 2 学期 课程名称 波利亚数学启发法导引 课程代码 108091 ________________________________________________________________________________
1. (20 分)举出一个用递归模式解决问题的例子。 2. (20 分)举出一个用叠加模式解决问题的例子。 3. (20 分)在课堂上讨论过的四棱台的体积问题中,如果把已知上下底边长改为已知上下底的对角线长, 你能解决同样的问题吗?你能提出一个与此类似的关于球缺的问题并解决它吗?按照例题的模式画出解 题过程的几何图示。 4. (20 分)仿照课堂上分析求 secx 的不定积分的思维过程,运用波利亚数学启发法分析求 cscx 的不定积 分的思维过程并求出这个不定积分。 5. (20 分,下列三题,任选一题完成即可) 1) 把课堂上关于自然数平方的倒数所组成的级数的和的讨论整理成文,你能通过比较两边的近似值, 用一种计算机代数系统验证这个结果么?如果能,请写出操作命令或程序。 2) 按照“生成”的观点研究平面上 n 条处于一般位置(即既没有两线平行,也没有三线共点)的直线 把平面分割成多少个部分?说明理由。

3) 仔细观察下表:S1、S2、S3 分别表示前 n 个自然数的 1、2、3 次方之和。猜测 S3 的求和公式, 你能从不同的视角找到规律吗?用数学归纳法证明你的猜想。

n S1 S2 S3

1 1 1 1

2 3 5 9

3 6 14 36

4 10 30 100

5 15 55 225

6 21 91 441

7 28 140 784

8 36 204 1296


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