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高考数学复习全套课件


1.了解平面向量基本定理.

2.理解平面向量的坐标概念,掌握平面向量的
坐标运算.

1.平面向量基本定理

2.平面向量的坐标运算

1.设

=(2,3), =(m,n), =(-1,4),则 (

等于 )

A.(1+m,7+n)

B.(-1-m,-7-n)

C.(1-m,7-n)

D.(-1+m,-7+n)

解析:∵ =(2,3)+(m,n)+(-1,4) =(1+m,7+n) ∴ 答案:B =(-1-m,-7-n).

2.已知a=(2,-3), b=(3,λ),若a∥b,则λ等于
? A. C. B.-2 D.

(

)?

解析:∵a∥b,∴2×λ-(-3)×3=0,?

∴λ=
答案:C

.?

3.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),若表示向量4a、3b-2a,

c的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量c为
A.(1,-1) C.(-4,6) B.(-1,1) D.(4,-6)

(

)

解析:4a=(4,-12),3b-2a=(-8,18),设向量c=(x,y), 依题意,得4a+(3b-2a)+c=0,所以4-8+x=0,-12 +18+y=0,解得x=4,y=-6. 答案:D

4.若点O(0,0),A(1,2),B(-1,3),且 则点A′的坐标为 ,点B′的坐标为

, ,

向量

的坐标为

.

解析:∵O(0,0),A(1,2),B(-1,3), ∴ =(1,2), =(-1,3), =2×(1,2)=(2,4), =3×(-1,3)=(-3,9).

∴A′(2,4),B′(-3,9),
=(-3-2,9-4)=(-5,5).

答案:(2,4)

(-3,9)

(-5,5)

5.若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线,则
的值等于 .

解析: =(a-2,-2), =(-2,b-2),
依题意,有(a-2)· (b-2)-4=0, 即ab-2a-2b=0,所以 答案: .

1.以平面内任意两个不共线的向量为一组基底,该平面内 的任意一个向量都可表示成这组基底的线性组合,基 底不同,表示也不同.

2.利用已知向量表示未知向量,实质就是利用平行四边形
法则或三角形法则进行向量的加减运算或进行数乘运算.

[特别警示] 由于基底向量不共线,所以0不能作为一
个基底向量.

如图所示,在△OAB中,



AD与BC交于点M,
设 =a, =b,以a、b为基底表示 .

[思路点拨]

[课堂笔记] 设
则 =

=ma+nb(m,n∈R).
=(m-1)a+nb, b-a=-a+ b. 即m+2n=1,

因为A,M,D三点共线,所以



=(m-

)a+nb,

=b-

a=-

a+b,
,即4m+n=1.

因为C,M,B三点共线,所以



解得

所以

保持例1条件不变,求
解:

1.向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行,

若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,
解题过程中要注意方程思想的运用 2.利用向量的坐标运算解题.主要是根据相等的向量坐标相 同这一原则,通过列方程(组)进行求解. 3.利用坐标运算求向量的基底表示,一般先求出基底向量

和被表示向量的坐标,再用待定系数法求出线性系数.

已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设 a, =b, =c,且 =3c, =-2b,



(1)求3a+b-3c;
(2)求满足a=mb+nc的实数m,n; (3)求M、N的坐标及向量 的坐标.

[思路点拨]

[课堂笔记] 由已知得 a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8). (1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8) =(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42). (2)∵mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),

(3)∵ ∴ =3c+ ∴M(0,20).

=3c, =(3,24)+(-3,-4)=(0,20).

又∵
∴ =-2b+

=-2b,
=(12,6)+(-3,-4)=(9,2),

∴N(9,2). ∴ =(9,-18).

1.凡遇到与平行有关的问题时,一般要考虑运用向量平行
的充要条件. 2.两个向量共线的充要条件在解题中具有重要的应用,一 般地,如果已知两向量共线,求某些参数的值,则利用 “若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2

-x2y1=0”比较简捷.

3.在求与一个已知向量a共线的向量时,采取待定系数法 更为简单,即设所求向量为λa(λ∈R),然后结合其他条 件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa即可得到欲求 向量,这样可以使未知数的个数少一些,便于求解.

已知向量a=(1,2),b=(x,1),u=a+2b,v=
2a-b,且u∥v,求实数x的值. [思路点拨]

[课堂笔记] 因为a=(1,2),b=(x,1),u=a+2b,v= 2a-b, 所以u=(1,2)+2(x,1)=(2x+1,4), v=2(1,2)-(x,1)=(2-x,3), 又因为u∥v,所以3(2x+1)-4(2-x)=0. 即10x=5,解得x= .

向量u和v是同向还是反向? 解:例题可知x= ∴a=(1,2),b=( ∴u=(2,4),v=( ∴u= v,且 >0. , 1), 3),

∴u与v同向共线.

高考对本节内容的常规考法是:以选择题或填空题 的形式直接考查两向量共线的充要条件的应用,主要题

型为判断两向量是否共线,已知两向量共线求参数等.而
09年安徽高考则打破常规,没有直接给出向量的坐标, 而是考查学生根据部分问题的需要建立平面直角坐标系 化几何问题为代数问题的能力,并将问题与三角函数的 最值问题相结合命题,是一个新的考查方向.

[考题印证]
(2009· 安徽高考)给定两个长度为1的平面向量 和 ,

它们的夹角为120°.如图所示,点C在以O为圆心的圆弧
上变动. 若 值是 . 其中x,y∈R,则x+y的最大

【解析】

=1, =120°,

=1, =1,


=(x+y)2-3xy=1, ∴(x+y)2=1+3xy. ∵C在

=x2+y2-xy

上,∴x≥0,y≥0,

∴(x+y)2≤1+

?(x+y)2≤4?x+y≤2.

当且仅当x=y=1时取“=”. 【答案】 2

[自主体验] 已知向量a=(1,1),b=(1,-1),c=( cosα,

sinα)(α∈R),实数m,n满足ma+nb=c,则(m-3)2 +n2的最大值为 A.2 C.4 B.3 D.16 ( )

解析:化简条件以后,注意(m-3)2+n2的几何意义,数
形结合可解. ∵ma+nb=c,∴(m+n,m-n)=( cosα, sinα).

两式平方相加,得m2+n2=1.点(m,n) 的轨迹是以原点为圆心,以1为半径的圆, ∴(m-3)2+n2表示单位圆上的点到点(3,0)的距离的平方. 最大距离为4,故其平方为16. 答案:D

1.在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,若
=(1,3),则 等于

=(2,4),
( )

A.(-2,-4)
C.(3,5)

B.(-3,-5)
D.(2,4)

解析:∵ ∴ (-3,-5). 答案:B =(1,3)-2(2,4)=(1,3)-(4,8)=

2.(2010· 湛江模拟)已知向量a=(1,2),b=(x,1),c=a+2b, d=2a-b,且c∥d,则实数x的值等于 A. C. B. D. ( )

解析:∵c=a+2b=(1+2x,4),

d=2a-b=(2-x,3),又c∥d,

答案:D

3.(2009· 广东高考)已知平面向量a=(x,1),b=(-x,x2), 则向量a+b ( )

A.平行于x轴
B.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于y轴 D.平行于第二、四象限的角平分线 解析:∵a+b=(0,1+x2),∴a+b平行于y轴. 答案:C

4.(2009· 辽宁高考)在平面直角坐标系xOy中,四边形 ABCD的边AB∥DC,AD∥BC.已知点A(-2,0),B(6,8), C(8,6),则D点的坐标为 .

解析:设D(x,y),因为AB∥DC,AD∥BC,
所以 而 , =(8,8), =(x-8,y-6), =(x+2,y), 所以 解之得x=0,y=-2,故D(0,-2). =(2,-2),

答案:(0,-2)

5.已知向量a=(3,1),b=(-2, ),直线l过点A(1,2), 且a+2b是其方向向量,则直线l的一般式方程为 .

解析:∵a=(3,1),b=(-2, ),∴a+2b=(-1,2),故
直线l的斜率为-2,又l过点A(1,2),∴l的方程为y-2= -2(x-1),即2x+y-4=0. 答案:2x+y-4=0

6.已知点O(0,0),A(1,2),B(4,5)及

,试问:

(1)当t为何值时,P在x轴上?P在y轴上?P在第三象限? (2)四边形OABP是否能成为平行四边形?若能,则求出t

的值;若不能,请说明理由.

解:(1)∵O(0,0),A(1,2),B(4,5),
∴ =(1,2), =(3,3). =(1+3t,2+3t), 则P(1+3t,2+3t), 若P在x轴上,则2+3t=0,所以t=- ;

若P在y轴上,则1+3t=0,所以t=-
若P在第三象限,则 所以t<- .



(2)∵

=(1,2), =(3-3t,3-3t).

若OABP是平行四边形,则 即 而此方程组无解,



故四边形OABP不可能是平行四边形.


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