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北京市2015届2014年高三数学(文)模拟试题分类汇编:导数

北京市 2015 届 2014 年高三数学(文)模拟试题分类汇编: 导数及其应用
1. (2013 北京卷文)已知函数 f ( x) ? x2 ? x sin x ? cos x (1)若曲线 y ? f ( x) 在点 (a, f (a)) 处与直线 y ? b 相切,求 a 与 b 的值。 (2)若曲线 y ? f ( x) 与直线 y ? b 有两个不同的交点,求 b 的取值范围。

2. (2014 北京卷文)已知函数 f ( x) ? 2 x3 ? 3x . (1)求 f ( x ) 在区间 [?2,1] 上的最大值; (2)若过点 P(1, t ) 存在 3 条直线与曲线 y ? f ( x) 相切,求 t 的取值范围; (3)问过点 A(?1, 2), B(2,10), C (0, 2) 分别存在几条直线与曲线 y ? f ( x) 相切?(只需写 出结论)

3. (2014 昌平第一学期期末) 设函数 f ( x) ? a ln x ? bx2 , a, b ? R . (Ⅰ)若曲线 f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? ? (II)若 b ? 1 ,求函数 f ( x ) 的最大值.

1 ,求实数 a , b 的值; 2

4. (2013-2014 朝阳第一学期期末)已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? a2 x ,其中 a ? 0 . (Ⅰ)若 f ?(0) ? ?4 ,求 a 的值,并求此时曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 ? 0, 2? 上的最小值.

5. (2013-2014 东城第一学期期末) 已知函数 f(x)=lnx-ax(a>0) . (I)当 a=2 时,求 f(x)的单调区间与极值; (Ⅱ)若对于任意的 x∈(0,+ ? ) ,都有 f(x)<0,求 a 的取值范围.

6. (2013-2014 丰台第一学期期末)已知函数 f ( x) ?

1 3 1 2 x + ax ? 2a 2 x . 3 2

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的极值点;

(Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间.

7. (2013-2014 海淀第一学期期末) 已知函数 f ( x) ? ( x ? a)e x ,其中 a 为常数. (Ⅰ)若函数 f ( x ) 是区间 [?3, ??) 上的增函数,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若 f ( x ) ? e2 在 x ? [0,2] 时恒成立,求实数 a 的取值范围.

8. (2013-2014 石景山第一学期期末) 已知函数 f ( x) ? e x ? 2 x ( e 为自然对数的底数). (Ⅰ)求曲线 f ( x ) 在点 (0 , f (0)) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)若存在 2 使不等式 f ( x) ? mx 成立,求实数 m 的取值范围. ..x ? ? , 2 ?

?1 ?

? ?

9. (2013-2014 西城第一学期期末) 已知函数 f ( x) ? ( x ? a)e x ,其中 e 是自然对数的底数,

a ?R .
(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)当 a ? 1 时,试确定函数 g ( x) ? f ( x ? a) ? x 的零点个数,并说明理由.
2

x) ?f ( x) g? ( x) 10. (2014 朝阳一模) 设函数 f ( x) ? ln x ,g ( x) ? ax ? 1 ,a ? R , 记 F(
(Ⅰ)求曲线 y ? f ( x) 在 x ? e 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 F ( x) 的单调区间; (Ⅲ)当 a ? 0 时,若函数 F ( x) 没有零点,求 a 的取值范围.

.

11.(2014 大兴一模)已知函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? x ? a . (I)当 a ? 2 时,求函数 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (II)若函数 y ? f ( x) 有且仅有一个零点,求实数 a 的范围.

12. (2014 东城一模) (I)当 a=

已知函数

1 时,求曲线 y ? f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; 2

(Ⅱ)讨论 f ( x ) 的单调性。

13. (2014 房山一模) 已知函数 f ( x) ? e ( x ? 1) .
x

(Ⅰ)求曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (Ⅱ)若 对 于 任 意 的 x ? (??,0) ,都有 f ( x) ? k ,求 k 的取值范围.

14. (2014 丰台一模) 已知曲线 f ( x) ? ax ? e ( a ? 0) .
x

(Ⅰ)求曲线在点( 0, f (0) )处的切线; (Ⅱ)若存在实数

x0 使得 f ( x0 ) ? 0 ,求 a 的取值范围.

15. (2014 海淀一模) 已知函数 f ( x) ? x ln x . (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ) 当 k ? 1 时,求证: f ( x) ? kx ? 1 恒成立.

16.(2014 石景山一模)已知函数 f ( x) ? x ? 2a ln x (a ? 0) .
2 2

(Ⅰ)若 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值,求实数 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间;

e] 上没有零点,求实数 a 的取值范围. (Ⅲ)若 f ( x ) 在 [1,

17.(2014 西城一模)已知函数 f ( x) ? ln x ?

a ,其中 a ? R . x

(Ⅰ)当 a ? 2 时,求函数 f ( x) 的图象在点 (1, f (1)) 处的切线方程;

(Ⅱ)如果对于任意 x ? (1, ??) ,都有 f ( x) ? ? x ? 2 ,求 a 的取值范围.

18.(2014 延庆一模)已知函数 f ( x) ? x 3 ? 3ax ? 2a , (a ? R) . (Ⅰ) 求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)曲线 y ? f ( x) 与 x 轴有且只有一个公共点,求 a 的取值范围.

19.(2014 昌平二模)已知函数 f ( x) ? (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间;

a 3 x ? x 2 ? 2ax ? 1 , f '(?1) ? 0 . 3

(Ⅱ)如果对于任意的 x ? [?2, 0) ,都有 f ( x) ? bx ? 3 ,求 b 的取值范围.

a ? ex 20.(2014 朝阳二模)已知函数 f ( x ) ? ( a ? R , a ? 0 ). x
(Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 f ( x ) 在点 ?1, f (1) ? 处切线的方程; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)当 x ? ? 0, ??? 时,若 f ( x ) ? 1 恒成立,求 a 的取值范围.

21.(2014 东城二模)

22.(2014 丰台二模)已知函数 f ( x) ? (1 ? a ) ln x ?

a ? x ,其中 a ? R . x (Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线垂直于 y 轴,求 a 的值;
[来源:学科网 ZXXK]

(Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 [1,e](e ? 2.718

) 上的最小值.

1 23.(2014 海淀二模)已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? 4 x ? b ,其中 a , b ? R 且 a ? 0 . 3

(Ⅰ)求证:函数 f ( x ) 在点 (0, f (0)) 处的切线与 f ( x ) 总有两个不同的公共点; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在区间 ( ?1,1) 上有且仅有一个极值点,求实数 a 的取值范围.

24.(2014 石景山二模)已知函数 f ( x) ? x2 ? 2a2 ln x (a ? 0) . (Ⅰ)若 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值,求实数 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间;

e] 上没有零点,求实数 a 的取值范围. (Ⅲ)若 f ( x ) 在 [1,

25. (2014 顺义二模) (难) 已知函数 f ( x) ? 的切线方程为 y ? 3x ? 5 . (Ⅰ)求实数 a , b 的值; (Ⅱ)设 g ( x ) ? f ( x ) ?

1 3 x ? 2 x 2 ? ax ? b 的图象在点 P(3, f (3)) 处 3

m . x?2

①若 g ( x) 是 [3, ??) 上的增函数,求实数 m 的最大值; ②是否存在点 Q ,使得过点 Q 的直线若能与曲线 y ? g ( x) 围成两个封闭图形,则 这两个封闭图形的面积总相等. 若存在,求出点 Q 坐标;若不存在,说明理由.

26.(2014 西城二模)已知函数 f ( x ) ?

ex ,其中 a ? R . ax 2 ? x ? 1

(Ⅰ)若 a ? 0 ,求函数 f ( x) 的定义域和极值; (Ⅱ)当 a ? 1 时,试确定函数 g ( x) ? f ( x) ? 1 的零点个数,并证明.

北京市 2015 届 2014 年高三数学(文)模拟试题分类汇编: 导数及其应用参考答案
1. 解: (1) f '( x) ? 2 x ? x cos x ? x(2 ? cos x) 因为曲线 y ? f ( x) 在点 (a, f (a)) 处的切线为 y ? b

所以 ?

?2a ? a cos a ? 0 ? f '(a) ? 0 ?a ? 0 ,即 ? 2 ,解得 ? ?a ? a sin a ? cos a ? b ? f (a) ? b ?b ? 1

(2)因为 2 ? cos x ? 0 所以当 x ? 0 时 f '( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增 当 x ? 0 时 f '( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减 所以当 x ? 0 时, f ( x ) 取得最小值 f (0) ? 1 , 所以 b 的取值范围是 (1, ??) 2. 解: (Ⅰ)由 f ? x ? ? 2 x3 ? 3x 得 f ? ? x ? ? 6x2 ? 3 . 令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x ? ?
2 2 或x? . 2 2

? 2? 因为 f ? ?2? ? ?10 , f ? ?? 2 ? ?? 2, ? ?

? 2? f? ? 2 ? ? ? ? 2 ,f ?1? ? ?1 ? ?

? 2? 1? 上的最大值为 f ? ? 所以 f ? x ? 在区间 ? ?2 , ? 2 ? ?? 2 . ? ?

t ? 的直线与曲线 y ? f ? x ? 相切于点 ? x0 ,y0 ? , (Ⅱ)设过点 P ?1,
3 2 ? 3x0 , 且切线斜率为 k ? 6 x0 ? 3, 则 y0 ? 2x0

2 所以切线方程为 y ? y0 ? 6x0 ?3 2 因此 t ? y0 ? 6x0 ? 3 ?1 ? x0 ? .

?

? ?x ? x ?,
0

?

?

3 2 ? 6 x0 ? t ? 3 ? 0. 整理得 4 x0

设 g ? x ? ? 4 x3 ? 6 x 2 ? t ? 3 ,

t ? 存在 3 条直线与曲线 y ? f ? x ? 相切” 则 “过点 P ?1, 等价于 “ g ? x ? 有 3 个不同零点” .

g ? ? x ? ? 12x2 ? 12x ? 12x ? x ? 1? .

g ? x ? 与 g ? ? x ? 的情况如下:
x
g ?( x) g ( x)
(?? , 0)

0 0
t ?3

(0 , 1)

1 0
t ?1

(1,? ?)

?

?

?



↘ ↗ 所以, g (0) ? t ? 3 是 g ( x) 的极大值, g (1) ? t ? 1 是 g ( x) 的极小值.

1? 和 (1,? ?) 上分别至多有 1 当 g (0) ? t ? 3 ≤ 0 ,即 t ≤ ?3 时,此时 g ( x) 在区间 ? ?? ,
个零点,所以 g ( x) 至多有 2 个零点.

? ? ? 上分别至多有 1 当 g (1) ? t ? 1≥ 0 ,即 t ≥ ?1 时,此时 g ( x) 在区间 (?? ,0) 和 ?0 ,
个零点,所以 g ( x) 至多有 2 个零点. 当 g ? 0? ? 0 且 g ?1? ? 0 ,即 ?3 ? t ? ?1 时,因为 g ? ?1? ? t ? 7 ? 0 ,g ? 2? ? t ? 11 ? 0 ,所以

1? 和 ?1, 2? 上恰有 1 个零点 . 由于 g ? x ? 在区间 ? ?? , 0? 和 g ? x ? 分别在区间 ? ?1,0 ? , ?0 ,

?1,? ?? 上单调,所以 g ? x ? 分别在区间 ? ?? ,0? 和 ?1,? ?? 上恰有 1 个零点.
t ? 存在 3 条直线与曲线 y ? f ? x ? 相切时, t 的取值范围是 综上可知,当过点 P ?1,

? ?3 ,? 1?

.

(Ⅲ)过点 A ? ?1,2 ? 存在 3 条直线与曲线 y ? f ? x ? 相切;

10 ? 存在 2 条直线与曲线 y ? f ? x ? 相切; 过点 B ? 2 , 2? 存在 1 条直线与曲线 y ? f ? x ? 相切.: 过点 C ? 0 ,
3. 解:(Ⅰ) 函数 f ( x) 的定义域为 (0, ??) .
f '( x) ? a ? 2bx , x

1 因为曲线 f ( x) 在 x ? 1 处与直线 y ? ? 相切, 2

? f '(1) ? a ? 2b ? 0, ? 所以 ? 1 f (1) ? ?b ? ? , ? ? 2

?a ? 1, ? 解得 ? 1 b? . ? ? 2

………6 分

(Ⅱ) 当 b ? 1 时, f ( x) ? a ln x ? x2 .
a ?2 x 2 ? a ? 因为 f '( x) ? ? 2 x ? x x a ?2( x 2 ? ) 2 , x

(1)当 a ? 0 时, f '( x) ? ?2 x . 因为 x ? 0 时, f '( x) ? 0 , 所以 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递减,无最大值. (2)当 a ? 0 时, x 2 ?
a ? 0, 2

所以 x ? 0 时, f '( x) ? 0 , 所以 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递减,无最大值.
?2( x ?

(3)当 a ? 0 时, f '( x) ? 因为 f '( x) ? 0 时, 0 ? x ?
f '( x) ? 0 时, x ?

a a )( x ? ) 2 2 . x
a , 2

a , 2

所以 f ( x) 在 (0, 所以 f max ( x) ? f (
3

a a ) 上单调递增,在 ( , ?? ) 上单调递减. 2 2 a a a a ) ? ln ? . 2 2 2 2
2 2

………13 分

4. 解: (Ⅰ)已知函数 f ( x) ? x ? ax ? a x , 所以 f ?( x) ? 3x ? 2ax ? a , f ?(0) ? ?a ? ?4 ,
2 2 2

又 a ? 0 ,所以 a ? 2 . 又 f ?(1) ? ?5, f (1) ? ?5 , 所以曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 5 x ? y ? 0 . ………….…..…5 分
2 2 (Ⅱ) x ? ?0, 2? , f ?( x) ? 3x ? 2ax ? a ? ( x ? a)(3x ? a)

令 f ?( x) ? 0 ,则 x1 ? ?

a , x2 ? a . 3

2 (1)当 a ? 0 时, f ?( x) ? 3x ? 0 在 0, 2 上恒成立,所以函数 f ( x ) 在区间 0, 2 上

?

?

?

?

单调递增,所以 f ( x)min ? f (0) ? 0 ; (2)当 0 ? a ? 2 时,在区间 [0, a ) 上, f ?( x) ? 0 ,在区间 ( a, 2] 上, f ?( x) ? 0 ,所

以函数 f ( x ) 在区间 [0, a ) 上单调递减,在区间 ( a, 2] 上单调递增,且 x ? a 是 0, 2 上唯一极值点,所以 f ( x)min ? f (a) ? ?a3 ;

?

?

(3) 当 a ? 2 时, 在区间 0, 2 上, f ?( x) ? 0(仅有当 a ? 2 时 f ?(2) ? 0 ) , 所以 f ( x ) 在区间 0, 2 上单调递减 所以函数 f ( x)min ? f (2) ? 8 ? 4a ? 2a2 . 综上所述,当 0 ? a ? 2 时,函数 f ( x ) 的最小值为 ? a 3 ,

?

?

?

?

a ? 2 时,函数 f ( x) 的最小值为 8 ? 4a ? 2a 2
5. 5.

………………13 分

6.

解:
1 1 (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x ) ? x 3 ? x 2 ? 2 x .------------------------1 分 3 2

所以 f ?( x) ? x 2 ? x ? 2 .--------------------------------------3 分 令 f ?( x) ? 0 得, x1 ? ?2, x2 ? 1 .-------------------------------4 分
f '( x) 与 f ( x ) 变化规律如下表:

x
f ?( x ) f ( x)

(-∞,-2) + ↑

-2 0 极大值

(-2,1) ↓

1 0 极小值

(1,+∞) + ↑

所以函数 f ( x) 的极大值点为-2,极小值点为 1.-------------------6 分 (Ⅱ) f ?( x) ? x 2 ? ax ? 2a 2 ---------- -----------------------------8 分 令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? ?2a, x2 ? a .---------------------------------9 分 (1)当 a ? 0 时, f ?( x) ? x2 ? 0 , f ( x) 在的单调递增区间为 (??, ??) -----10 分 (2)当 a ? 0 时, f '( x) 与 f ( x ) 变化规律如下表: x (-∞,-2a) -2a (-2a,a) a (a,+∞)

f ?( x ) f ( x)

+ ↑

0 极大值



0

[来源:学科网 ZXXK]

+ ↑

极小值

所以 f(x)的增区间是(-∞,-2a)和(a,+∞),减区间是(-2a,a)------- 12 分 (3)当 a ? 0 时, f '( x) 与 f ( x ) 变化规律如下表: x
f ?( x ) f ( x)

(-∞,a)
源:学科网 ZXXK]

[来

a 0 极大值

(a,-2a) ↓

-2a 0 极小值

(-2a,+∞) + ↑

+ ↑

所以 f(x)的增区间是(-∞,a)和(-2a,+∞),减区间是(a,-2a) 综上所述,当 a ? 0 时, f ?( x) ? x2 ? 0 ,f(x)在 R 上单调递增; 当 a ? 0 时,f(x)的增区间是(-∞,-2a)和(a,+∞),减区间是(-2a,a); 当 a ? 0 时,f(x)的增区间是(-∞,a)和(-2a,+∞),减区间是(a,-2a).--14 分 (无综上所述不扣分)
7. 解: (Ⅰ) f '( x) ? ( x ? a ? 1)e x , x ? R . 因为函数 f ( x ) 是区间 [?3, ??) 上的增函数, 所以 f '( x ) ? 0 ,即 x ? a ? 1 ? 0 在 [?3, ??) 上恒成立.------------------------------3 分 因为 y ? x ? a ? 1 是增函数, 所以满足题意只需 ?3 ? a ? 1 ? 0 ,即 a ? 2 . (Ⅱ)令 f '( x ) ? 0 ,解得 x ? ? a ? 1 -------------------------------5 分 -------------------------------6 分 -------------------------------2 分

f ( x ), f '( x ) 的情况如下:

x
f '( x ) f ( x)
[来源:学科网]

( ??, ?a ? 1)

?a ? 1
0 极小值

( ?a ? 1, ??)

?


?

[来源:学*科*网

-------- ------------------------------10 分
Z*X*X*K]

①当 ?a ? 1 ? 0 ,即 a ? ?1 时, f ( x ) 在 [0,2] 上的最小值为 f (0) , 若满足题意只需 f (0) ? e2 ,解得 a ? e ,
2

所以此时, a ? e ;
2

--------------------------------------11 分

②当 0 ? ? a ? 1 ? 2 , 即 ?3 ? a ? ?1 时, f ( x ) 在 [0,2] 上的最小值为 f ( ? a ? 1) , 若满足题意只需 f (?a ? 1) ? e2 ,求解可得此不等式无解, 所以 a 不存在; ------------------------12 分

③当 ?a ? 1 ? 2 ,即 a ? ?3 时, f ( x ) 在 [0,2] 上的最小值为 f (2) , 若满足题意只需 f (2) ? e2 ,解得 a ? ?1 , 所以此时, a 不存在. 综上讨论,所求实数 a 的取值范围为 [e2 , ??) . ------------------------------13 分

8. 解: (Ⅰ) f (0) ? 1 .

……………1 分 ……………2 分 ……………3 分

f ?( x) ? ex ? 2 得 f ?(0) ? ?1 ,
所以曲线 f ( x ) 在点 (0 , f (0)) 处的切线方程为 y ? ? x ? 1 . (Ⅱ) f ?( x) ? e x ? 2 . 令 f ?( x) ? 0 ,即 e x ? 2=0 ,解得 x ? ln 2 .

……………5 分

x ? (?? , ln 2) 时, f ?( x) ? 0 , x ? (ln 2 , ? ?) 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 的单调递
减区间为 (?? , ln 2) ,单调递增区间为 (ln 2 , ? ?) . ……………7 分

2] 使 f ( x) ? mx 成 立 , 即 ?x ? [ , 2] 使 m ? ( Ⅲ ) 由 题 意 知 ?x ? [ ,
立;

1 2

1 2

e x ? 2x 成 x

……………8 分 ……………9 分

e x ? 2x ( ) 所以 m ? min x
令 g ( x) ?

ex ( x ? 1)e x ? 2 , g ?( x) ? , x x2
1 2

1] 上单调递减,在 [1 , 所以 g ( x) 在 [ , 2] 上单调递增,
则 g ( x)min ? g (1) ? e ? 2 , 所以 m ? (e ? 2 , ? ?) . 9. (Ⅰ)解:因为 f ( x) ? ( x ? a)e , x ? R ,
x

……………12 分 ……………13 分

所以 f ?( x) ? ( x ? a ? 1)e .
x

……………… 2 分 ……………… 3 分

令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ?a ? 1 .

当 x 变化时, f ( x ) 和 f ?( x ) 的变化情况如下:

x
f ?( x)

(??, ? a ? 1)

?a ? 1 0

(?a ? 1, ? ?)

?


?


f ( x)
……………… 5 分

故 f ( x ) 的单调减区间为 (??, ? a ? 1) ;单调增区间为 (?a ? 1, ? ?) .…… 6 分 (Ⅱ)解:结论:函数 g ( x) 有且仅有一个零点. 理由如下: 由 g ( x) ? f ( x ? a) ? x2 ? 0 ,得方程 xe x ?a ? x 2 , 显然 x ? 0 为此方程的一个实数解. 所以 x ? 0 是函数 g ( x) 的一个零点. 当 x ? 0 时,方程可化简为 e x ?a ? x . 设函数 F ( x) ? e x?a ? x ,则 F ?( x) ? e x?a ?1 , 令 F ?( x) ? 0 ,得 x ? a . 当 x 变化时, F ( x) 和 F ?( x) 的变化情况如下: ……………… 9 分 ……………… 7 分

x
F ?( x) F ( x)

(??, a)

a
0

( a, ? ? )

?


?


即 F ( x) 的单调增区间为 ( a, ? ? ) ;单调减区间为 (??, a ) . 所以 F ( x) 的最小值 F ( x)min ? F (a) ? 1 ? a . 因为 a ? 1 , 所以 F ( x)min ? F (a) ? 1 ? a ? 0 , 所以对于任意 x ? R , F ( x) ? 0 , 因此方程 e
x ?a

………………11 分

? x 无实数解.

所以当 x ? 0 时,函数 g ( x) 不存在零点. 综上,函数 g ( x) 有且仅有一个零点. 10. 解:(I) f ?( x) ? 又 f (e) ? 1 , ………………13 分

1 1 ,则函数 f ( x ) 在 x ? e 处的切线的斜率为 k ? . x e

所以函数 f ( x ) 在 x ? e 处的切线方程为 y ? 1 ?

1 1 ( x ? e) ,即 y ? x e e

………………4 分

(Ⅱ) F ( x) ? ln x ? ax ? 1 , F ?( x) ?

1 1 ? ax ?a ? , ( x ? 0 ). x x

①当 a ≤ 0 时, F ?( x) ? 0 , F ( x) 在区间 (0, ??) 上单调递增; ②当 a ? 0 时,令 F ?( x) ? 0 ,解得 x ?

1 1 ;令 F ?( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? . a a

综上所述,当 a ≤ 0 时,函数 F ( x) 的增区间是 (0, ??) ; 当 a ? 0 时,函数 F ( x) 的增区间是 (0, ) ,减区间是 ( , ??) . ………………9 分

1 a

1 a

(Ⅲ)依题意,函数 F ( x) 没有零点,即 F ( x) ? ln x ? ax ? 1 ? 0 无解.

1 1 a a 1 1 1 由于 F (1) ? ?a ? 1 ? 0 ,只需 F ( ) ? ln ? a ? ? 1 ? ? ln a ? 2 ? 0 , a a a
解得 a ? e ?2 . 所以实数 a 的取值范围为 ( 11. 解 : (

由(Ⅱ)知,当 a ? 0 时,函数 F ( x) 在区间 (0, ) 上为增函数,区间 ( , ??) 上为减函数,

1 , ?? ) . …………………………………………………13 分 e2
Ⅰ ) 由

f ( x) ? x 3 ? x 2 ? x ? a

,



x ? R,

f ?( x) ? 3x2 ? 2x ?1 ………………………………………………2 分 当 a ? 2 时, f (0) ? 2 , k ? f ?(0) ? ?1 ………………3 分
分 (Ⅱ) f ?( x) ? 3x ? 2 x ?1 = (3x ? 1)( x ? 1) ,
2

切线方程: y ? ? x ? 2 ……………4

令 f ?( x) ? 0 得, x1 ? ? , x2 ? 1

1 3

……2 分

x
f ?( x ) f ( x)

1? ? ? ??, ? ? 3? ?
+ ↗

?

1 3

? 1 ? ? ? ,1? ? 3 ?


1 0 极小

?1, ???
+ ↗ …………6 分

0 极大

5 ?a f ( x) 极大值是 f (? 1 3) ? 27

f ( x) 极小值是 f ( 1 ) ? a ?1 ,

函数 y ? f ( x) 有且仅有一个零点,须 即, a ? ? 12.

5 ? a ? 0 ,或 a ? 1 ? 0 ……………………8 分 27

5 或 a ? 1 时,函数有且仅有一个零点。……………………9 分. 27

13. 解: (Ⅰ) f ?( x) ? e ( x ? 1) ? e ? e ( x ? 2)
x x x

-----------------2 分

f (0) ? 1 , f ?(0) ? 2

-----------------4 分

∴曲线 y ? f ( x) 在 (0, f (0)) 处的切线方程为

y ? 1 ? 2( x ? 0) , 即 2 x ? y ? 1 ? 0 .
(Ⅱ)令 f ?( x) ? 0 得 x ? ?2 , 当 -----------------2 分

-----------------6 分

x 变化时, f ( x) 和 f ?( x ) 的变化情况如下表: x
f ?( x ) (??, ?2)
?2

(?2,0)

?

0

?

f ( x)



极小值

↗ -----------------4 分 -----------------6 分

∴ f ( x ) 在 (??, ?2) 上递减,在 (?2,0) 上递增 ∴ f ( x ) 在 (??,0) 上的最小值是 f (?2) ? ?e?2 ∴ ?e?2 ? k ,即 k ? ?e?2 ∴ k 的取值范围是 (??, ?e?2 ) . 14. 解: (Ⅰ)因为 f (0) ? ?1 ,所以切点为(0,-1).

-----------------8 分

f ?( x) ? a ? e x , f ?(0) ? a ? 1 ,
所以曲线在点( 0, f (0) )处的切线方程为:y=(a-1)x-1.---------------4 分

? ? (Ⅱ)因为 a>0,由 f ( x) ? 0 得, x ? ln a ,由 f ( x) ? 0 得, x ? ln a ,所以函数 f ( x) 在
(??,ln a) 上 单 调 递 增 , 在 ( l n a ?? , 上 ) 单 调 递 减 , 所 以 f ( x) 的 最 大 值 为 f (ln a) ? a ln a ? a .
因为存在

x0 使得 f ( x0 ) ? 0 ,所以 a ln a ? a ? 0 ,所以 a ? e .----------13 分
-----------------------------------1 分 ------------------------------------2 分

15. 解:(Ⅰ) 定义域为 ? 0, ?? ?

f '( x) ? ln x ? 1
令 f '( x) ? 0 ,得 x ?

1 e

------------------------------------3 分

f '( x) 与 f ( x) 的情况如下:

x
f '( x) f ( x)

1 (0, ) e

1 e
0 极小值

1 ( , ??) e

?


?
↗ --------------------------------5 分

所以 f ( x ) 的单调减区间为 (0, ) ,单调增区间为 ( , ??) --------------------------6 分

1 e

1 e

(Ⅱ) 证明 1: 设 g ( x) ? ln x ?

1 ,x ?0 x

------------------------------------7 分

g '( x) ?

1 1 x ?1 ? ? 2 x x2 x

-------------------------------8 分

g '( x ) 与 g ( x) 的情况如下:

x
f '( x) f ( x)
所以 g ( x) ? g (1) ? 1 ,即

(0,1)

1 0 极小值

(1, ??)

?


?


ln x ?

1 ? 1在 x ? 0 时恒成立, x 1 ?k, x

----------------------10 分

所以,当 k ? 1 时, ln x ?

所以 x ln x ? 1 ? kx ,即 x ln x ? kx ? 1 , 所以,当 k ? 1 时,有 f ( x) ? kx ? 1 . 证明 2: 令 g ( x) ? f ( x) ? (kx ? 1) ? x ln x ? kx ? 1 ----------------------------------7 分 -----------------------------------8 分 -----------------------------------9 分 ------------------------13 分

g '( x) ? ln x ? 1 ? k
令 g '( x) ? 0 ,得 x ? ek ?1

g '( x ) 与 g ( x) 的情况如下:

x
f '( x)
f ( x)

(0,ek ?1 )

e k ?1
0 极小值

(ek ?1 , ??)

?


?
↗ ---------------------10 分

g ( x) 的最小值为 g (ek ?1 ) ? 1 ? ek ?1

-------------------11 分

当 k ? 1 时, e k ?1 ? 1 ,所以 1 ? e k ?1 ? 0 故 g ( x) ? 0 即当 k ? 1 时, f ( x) ? kx ? 1 .
2 2

-----------------------------12 分 ------------------------------------13 分 ………………1 分

? ?) . 16. 解: (Ⅰ) f ( x) ? x ? 2a ln x (a ? 0) 的定义域为 (0,
f ?( x) ? 2 x ?

2( x ? a)( x ? a ) 2a 2 2 x 2 ? 2a 2 ? ? x x x .

………………2 分

f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,

? f ?(1) ? 0 ,解得 a ? 1 或 a ? -1 (舍).

………………3 分

x ? ? 0, 1? f ?( x) ? 0 x ? ?1, ? ?? f ?( x) ? 0 当 a ? 1 时, , ; , ,
所以 a 的值为 1 . ………………4 分 ………………5 分

? (Ⅱ)令 f ( x) ? 0 ,解得 x ? a 或 x ? ?a (舍).

? ?) 内变化时, 当 x 在 (0,

f ?( x),f ? x ?
(0, a)

的变化情况如下:

x
f ?( x )

a
0
极小值

(a , ? ?)

?


?
↗ ……………8 分

f ( x)

? ?) ,单调递减区间为 (0, a) . 由上表知 f ( x) 的单调递增区间为 (a ,

, e] 上没有零点,只需在 [1, e] 上 f ( x)min ? 0 或 f ( x)max ? 0 , (Ⅲ)要使 f ( x ) 在 [1 e] 上 f ( x)min ? 0 . 又 f (1) ? 1 ? 0 ,只须在区间 [1, e] 上单调递减, (ⅰ)当 a ? e 时, f ( x ) 在区间 [1,
f ( x)min ? f (e) ? e2 ? 2a2 ? 0 ,
0?a?
解得

2e 2 与 a ? e 矛盾.

………………10 分

a ) 上单调递减,在区间 ( a , e] 上单调递增, (ⅱ) 当 1 ? a ? e 时, f ( x ) 在区间 [1,

f ( x) ? f ( a) ? 2 a (? 1 2 la n? , ) 0 min
解得 0 ? a ?

e,
………………12 分

所以 1 ? a ? e .

e] 上单调递增, f ( x)min ? f (1) ? 0 ,满足题意. (ⅲ)当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 在区间 [1,
综上, a 的取值范围为 0 ? a ? 17. (Ⅰ)解:由 f ( x) ? ln x ? 所以 f ?(1) ? 3 , 又因为 f (1) ? ?2 , 所以函数 f ( x) 的图象在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 3x ? y ? 5 ? 0 . ……… 4 分 (Ⅱ)解:由 f ( x) ? ? x ? 2 ,得 ln x ? 即 a ? x ln x ? x 2 ? 2 x . 设函数 g ( x) ? x ln x ? x 2 ? 2 x , 则 g ?( x) ? ln x ? 2 x ? 1 , 因为 x ? (1, ??) , 所以 ln x ? 0 , 2 x ? 1 ? 0 , 所以当 x ? (1, ??) 时, g ?( x) ? ln x ? 2 x ? 1 ? 0 , 故函数 g ( x) 在 x ? (1, ??) 上单调递增, 所以当 x ? (1, ??) 时, g ( x) ? g (1) ? ?1 . ……………… 11 分 ……………… 10 分 ……………… 8 分

e.

………………13 分 ……………… 2 分

1 2 2 ,得 f ?( x) ? ? 2 , x x x

a ? ?x ? 2 , x
……………… 6 分

因为对于任意 x ? (1, ??) ,都有 f ( x) ? ? x ? 2 成立, 所以对于任意 x ? (1, ??) ,都有 a ? g ( x) 成立. 所以 a≤ ? 1 . ……………… 13 分

18. 解: (Ⅰ) f ?( x) ? 3x ? 3a ,
2

………1 分

(1) 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 恒成立,此时 f ( x) 在 (??,??) 上是增函数,…2 分 (2)当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ? a ; 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ? a 或 x ? 令 f ?( x) ? 0 ,得 ? a ? x ?

a

a

∴ f ( x) 在 (??,? a ) 和 ( a ,??) 上是增函数, 在 [? a , a ] 上是减函数. (Ⅱ)由(Ⅰ)知, (1)当 a ? 0 时, f ( x) 在区间 (??,??) 单调递增,所以题设成立………6 分 (2)当 a ? 0 时, f ( x) 在 x ? ? a 处达到极大值,在 x ? 此时题设成立等价条件是 f (? a ) ? 0 或 f ( a ) ? 0 , 即: (? a )3 ? 3a(? a ) ? 2a ? 0 或 ( a )3 ? 3a( a ) ? 2a ? 0 即: ? a a ? 3a a ? 2a ? 0 或 a a ? 3a a ? 2a ? 0 解得: 0 ? a ? 1 由(1) (2)可知 a 的取值范围是 (??,1) . ………11 分 ………12 分 ………13 分 ………5 分

a 处达到极小值,

19. 解:(Ⅰ) 因为 f '( x) ? ax2 ? 2 x ? 2a , 因为 f '(?1) ? 0 , 所以 a ? ?2 . 所以 f '( x) ? ?2 x2 ? 2 x ? 4

………1 分

………2 分

? ?2( x2 ? x ? 2)
? ?2( x ? 1)( x ? 2) .

令 f '( x) ? 0 ,解得 x1 ? ?1, x2 ? 2 . 随着 x 的变化, f '( x) 和 f ( x) 的变化情况如下:
x
f '( x) (??, ?1)
?

………3 分

?1
0

(?1, 2)

2
0

(2, ??)
?

?

f ( x)







即 f ( x) 在 (??, ?1) 和 (2, ??) 上单调递减,在 (?1, 2) 上单调递增.…… …6 分 (Ⅱ) 因为对于任意的 x ? [?2, 0) , 都有 f ( x) ? bx ? 3 ,

2 3 x ? x2 ? 4x ?1 , 3 2 2 4 所以 b ? ? x ? x ? 4 ? . 3 x 2 2 4 设 h( x ) ? ? x ? x ? 4 ? . 3 x 4 4 因为 h '( x) ? ? x ? 1 ? 2 , 3 x
即 bx ? 3 ? ? 又因为 x ? [?2, 0) , 所以 ?

………8 分

………9 分

4 4 x ? 0, 2 ? 0 . 3 x

………10 分

所以 h '( x) ? 0 . 所以 h( x) 在 [?2, 0) 上单调递增. 所以 hmin ( x) ? h( ?2) ? 即b ? ………11 分 ………12 分 ………13 分

4 . 3

4 . 3

20. (Ⅰ) f ?( x) ?

ax ? e x ? ae x ae x ( x ? 1) ? ,x ? 0. x2 x2 e x ( x ? 1) . x2

当 a ? 1 时, f ?( x) ?

依题意 f ?(1) ? 0 ,即在 x ? 1 处切线的斜率为 0 . 把 x ? 1 代入 f ( x) ?

ex 中,得 f (1) ? e . x
………………….4 分

则曲线 f ( x ) 在 x ? 1 处切线的方程为 y ? e . (Ⅱ)函数 f ( x ) 的定义域为 x x ? 0 . 由于 f ?( x) ?

?

?

ax ? e x ? ae x ae x ( x ? 1) ? . x2 x2

(1)若 a ? 0 , 当 f ?( x) ? 0 ,即 x ? 1 时,函数 f ( x ) 为增函数; 当 f ?( x) ? 0 ,即 x ? 0 和 0 ? x ? 1 时,函数 f ( x ) 为减函数. (2)若 a ? 0 , 当 f ?( x) ? 0 ,即 x ? 0 和 0 ? x ? 1 时,函数 f ( x ) 为增函数; 当 f ?( x) ? 0 ,即 x ? 1 时,函数 f ( x ) 为减函数. 综上所述, a ? 0 时,函数 f ( x ) 的单调增区间为 ?1, ?? ? ;单调减区间为 ? ??,0? , ? 0,1? .

a ? 0 时, 函数 f ( x) 的单调增区间为 ? ??,0? , ? 0,1? ;单调减区间为 ?1, ?? ? .
………………….9 分 (Ⅲ)当 x ? ? 0, ??? 时,要使 f ( x) ?

x a ? ex ? 1 恒成立,即使 a ? x 在 x ?? 0, ??? 时恒成 e x

立. 设 g ( x ) ?

x 1? x ,则 g ?( x ) ? x .可知在 0 ? x ? 1 时, g ?( x ) ? 0 , g ( x) 为增函数; x e e

1 1 x ? 1 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 为减函数.则 g ( x) max ? g (1) ? .从而 a ? . e e
另解:(1)当 a ? 0 时, f (a) ? ea ? 1 ,所以 f ( x ) ? 1 不恒成立. (2)当 a ? 0 且 x ? ? 0, ??? 时,由(Ⅰ)知,函数 f ( x ) 的单调增区间为 ?1, ?? ? , 单调减区间为 ? 0,1? .所以函数 f ( x ) 的最小值为 f (1) ? ae , 依题意 f (1) ? ae ? 1, 解得 a ?

1 . e 1 . e
………………….13 分

综上所述, a ?

21. 解: (Ⅰ) f '( x) ?

1 2 3 x ? (a ? 2) x , f '(1) ? a ? . 2 2

g '( x ) ?

2a , g '(1) ? 2a . x

依题意有 f '(1) g '(1) ? ?1 ,

可得 2a (a ? ) ? ?1 ,解得 a ? 1 ,或 a ? (Ⅱ) F ( x) ?

3 2

1 . 2

… …………6分

1 2 x ? (a ? 2) x ? 2a ln x . 2

不妨设 x1 ? x2 , 则

F ( x2 ) ? F ( x1 ) ? a 等价于 F ( x2 ) ? F ( x1 ) ? a( x2 ? x1 ) , x2 ? x1

即 F ( x2 ) ? ax2 ? F ( x1 ) ? ax1 . 设 G( x) ? F ( x) ? ax , 则对任意的 x1 , x2 ? (0, ??) ,且 x1 ? x2 ,都有 等价于 G( x) ? F ( x) ? ax 在 (0, ??) 是增函数.

F ( x2 ) ? F ( x1 ) ?a, x2 ? x1

G ( x) ?

1 2 x ? 2a ln x ? 2 x , 2

可得 G '( x) ? x ?

2a x 2 ? 2 x ? 2a ?2? , x x

2 依题意有,对任意 x ? 0 ,有 x ? 2 x ? 2a ? 0 .

2 2 由 2a ? x ? 2 x ? ( x ? 1) ? 1,可得 a ? ?

1 .……………13 分 2

22.

23.解: (Ⅰ)由已知可得 f '( x) ? x 2 ? 2ax ? 4 . -------------------1 分 ---------------------------------2 分 f (0) ? b 又 ? f ( x ) 在 x ? 0 处的切线方程为 y ? 4 x ? b . ---------------------------------4 分
? f '(0) ? 4 ,

1 令 x3 ? ax2 ? 4 x ? b ? 4 x ? b ,整理得 ( x ? 3a) x2 ? 0 . 3 ? x ? 0 或 x ? ?3a , -----------------------------------5 分 a?0 ??3a ? 0 , ----------------------------------------6 分 ? f ( x ) 与切线有两个不同的公共点. ---------------------------------------7 分 (Ⅱ) f ( x ) 在 ( ?1,1) 上有且仅有一个极值点,

? f '( x) ? x 2 ? 2ax ? 4 在 (?1,1) 上有且仅有一个异号零点, -----------------------9 分
由二次函数图象性质可得 f '( ?1) f '(1) ? 0 , ----------------------10 分

5 5 或 a ? ? , -----------------------12 分 2 2 5 5 综上, a 的取值范围是 (??, ? ) ( , ??) . ------------------------13 分 2 2
即 (5 ? 2a )(5 ? 2a ) ? 0 ,解得 a ?

? ?) . 24. 解: (Ⅰ) f ( x) ? x2 ? 2a2 ln x (a ? 0) 的定义域为 (0,

…………1 分

f ?( x) ? 2 x ?

2a 2 2 x 2 ? 2a 2 2( x ? a)( x ? a ) ? . ? x x x

………2 分

f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,? f ?(1) ? 0 ,解得 a ? 1 或 a ? -1 (舍). …3 分

1? , f ?( x) ? 0 ; x ? ?1, ? ?? , f ?( x) ? 0 , 当 a ? 1 时, x ? ? 0,
所以 a 的值为 1 . ………4 分

(Ⅱ)令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? a 或 x ? ?a (舍).……5 分

? ?) 内变化时, f ?( x),f ? x ? 的变化情况如下: 当 x 在 (0,

x
f ?( x )
f ( x)

(0, a)

a
0
极小值

(a , ? ?)

?


?
↗ ……8 分

? ?) ,单调递减区间为 (0, a) . 由上表知 f ( x) 的单调递增区间为 (a ,

, e] 上没有零点,只需在 [1, e] 上 f ( x)min ? 0 或 f ( x)max ? 0 , (Ⅲ)要使 f ( x ) 在 [1 e] 上 f ( x)min ? 0 . 又 f (1) ? 1 ? 0 ,只须在区间 [1, e] 上单调递减, (ⅰ)当 a ? e 时, f ( x ) 在区间 [1,
f ( x)min ? f (e) ? e2 ? 2a2 ? 0 , 解得 0 ? a ?
2e a ? e 与 矛盾. 2
……10 分

a ) 上单调递减,在区间 ( a , e] 上单调递增, (ⅱ) 当 1 ? a ? e 时, f ( x ) 在区间 [1,

f ( x) ? f ( a) ? 2 a (? 1 2 la n? , ) 0 min
解得 0 ? a ? e ,所以 1 ? a ? e . ………12 分

e] 上单调递增, f ( x)min ? f (1) ? 0 ,满足题意. (ⅲ)当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 在区间 [1,
综上, a 的取值范围为 0 ? a ? e . ………13 分

25. 解: (Ⅰ) x ? 3 时, f (3) ? 3a ? b ? 9

f ' ( x) ? x2 ? 4 x ? a, ? f ' (3) ? 9 ?12 ? a ? 3 , ? a ? 6 ————2 分
(3, f (3)) 在直线 y ? 3x ? 5 上, ? f (3) ? 4 ,即 3a ? b ? 9 ? 4,

? b ? ?5

? a ? 6, b ? ?5
f ( x) ?

————4 分

1 3 x ? 2x2 ? 6x ? 5 , 3 1 3 m 2 (Ⅱ)① g ( x) ? x ? 2 x ? 6 x ? 5 ? 3 x?2
g ( x) 是 [3, ??) 上的增函数,

? g ' ( x) ? x 2 ? 4 x ? 6 ?

m m ? ( x ? 2)2 ? ?2 ? 0, 2 ( x ? 2) ( x ? 2)2

在 [3, ??) 上恒成立,————6 分 令 ( x ? 2) ? t ,
2

则 t ?1,

设y ?t?

m ?2, t

?t ?

m ? 2 ? 0 在 [1, ??) 上恒成立————7 分 t

m ? t 2 ? 2t ? (t ? 1)2 ?1 恒成立, ? m ? 3 , 实数 m 最大值为 3 ————9 分
1 3 m x ? 2x2 ? 6x ? 5 ? , 3 x?2 1 m ? g (4 ? x) ? (4 ? x)3 ? 2(4 ? x) 2 ? 6(4 ? x) ? 5 ? 3 4? x?2 1 3 25 m ? ? x ? 2x2 ? 6x ? ? 3 3 x?2 10 5 ? g ( x) ? g (4 ? x) ? , ? Q(2, ) ————11 分 3 3 10 ? y ) 也在图象上, 表明:若点 A( x, y) 为 g ( x) 图象上任意一点,则点 (4 ? x, 3 5 5 而线段 AB 的中点恒为 Q(2, ) ;由此可知 g ( x) 图象关于点 Q(2, ) 对称. 3 3 5 这也表明存在点 Q(2, ) ,使得过 Q 的直线若能与 g ( x) 图象相交围成封闭图形, 3
②由 g ( x) ? 则这两个封闭图形面积相等. ————13 分(其它解法相应给分).

26.(Ⅰ)解:函数 f ( x) ?

ex 的定义域为 {x | x ? R ,且 x ? ?1} . ……………… 1 分 x ?1

f ?( x) ?

e x ( x ? 1) ? e x xe x ? . ( x ? 1)2 ( x ? 1)2

……………… 3 分

令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 0 , 当

x 变化时, f ( x) 和 f ?( x ) 的变化情况如下:

x
f ?( x)

(??, ? 1)

(?1, 0)

0 0

(0, ? ?)

?


?


?


f ( x)
……………… 4 分

故 f ( x ) 的单调减区间为 (??, ? 1) , (?1,0) ;单调增区间为 (0, ? ? ) . 所以当 x ? 0 时,函数 f ( x ) 有极小值 f (0) ? 1 . (Ⅱ)解:结论:函数 g ( x) 存在两个零点. 证明过程如下: ……………… 5 分

ex ?1 , 由题意,函数 g ( x) ? 2 x ? x ?1
因为 x ? x ? 1 ? ( x ? ) ?
2 2

1 2

3 ?0, 4
……………… 6 分

所以函数 g ( x) 的定义域为 R . 求导,得 g ?( x) ?

e x ( x 2 ? x ? 1) ? e x (2 x ? 1) e x x( x ? 1) ? 2 ,……………7 分 ( x 2 ? x ? 1) 2 ( x ? x ? 1) 2

令 g ?( x) ? 0 ,得 x1 ? 0 , x2 ? 1 , 当

x 变化时, g ( x) 和 g ?( x) 的变化情况如下:

x
g ?( x)

(??, 0)

0 0

(0, 1)

1

(1, ? ?)

?


?


0

?


g ( x)

故函数 g ( x) 的单调减区间为 ( 0,1) ;单调增区间为 (??, 0) , (1, ? ?) .

当 x ? 0 时 , 函 数 g ( x) 有 极 大 值 g (0) ? 0 ; 当 x ? 1 时 , 函 数 g ( x) 有 极 小 值

e g (1) ? ? 1 . 3

……………… 9 分

因为函数 g ( x) 在 (??, 0) 单调递增,且 g (0) ? 0 , 所以对于任意 x ? (??, 0) , g ( x) ? 0 . ……………… 10 分

因为函数 g ( x) 在 ( 0,1) 单调递减,且 g (0) ? 0 , 所以对于任意 x ? (0,1) , g ( x) ? 0 . ……………… 11 分

因为函数 g ( x) 在 (1, ? ?) 单调递增,且 g (1) ?

e2 e ? 1 ? 0 , g (2) ? ? 1 ? 0 , 3 7

所以函数 g ( x) 在 (1, ? ?) 上仅存在一个 x 0 ,使得函数 g ( x0 ) ? 0 ,……… 12 分 故函数 g ( x) 存在两个零点(即 0 和 x 0 ). ……………… 13 分