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高中新课程数学(新课标人教A版)必修四《2.2.2向量减法运算及其几何意义》课件2


2.2.2 向量减法运算及其几何意义

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【课标要求】 1.了解相反向量. 2.理解向量减法法则及其几何意义. 3.能用法则及其几何意义正确作出两个向量的差. 【核心扫描】 1.向量减法的运算.(重点) 2.对向量减法法则的理解.(难点)

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自学导引 1.相反向量 与 a 长度相等,方向相反 的向量, 叫做 a 的相反向量, 记作 -a . (1)规定:零向量的相反向量 仍是零向量 ; (2)-(-a)=a; (3)a+(-a)=
(-a)+a

= 0 ;

(4)若 a 与 b 互为相反向量,则 a= -b ,b= -a ,a+b= 0 . 想一想:若 a+b=c+d,则 a-c=d-b 成立吗? 提示 成立.移项法则对向量等式适用.
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2.向量的减法 (1)定义:a-b=a+ (-b) 个向量的 相反向量 . → → → (2)几何意义:以 A 为起点,作向量AB=a,AD=b,则DB=a -b,如图所示,即 a-b 可表示从向量 b 的终点指向向量 a 的 终点的向量. ,即减去一个向量相当于加上这

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想一想:类比于向量的加法,我们有||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|吗? 提示 当向量 a 和 b 不共线时,||a|-|b||<|a-b|<|a|+|b|; 当向量 a 和 b 共线且方向相同时,||a|-|b||=|a-b|; 当向量 a 和 b 共线且方向相反时,|a-b|=|a|+|b|; 综上所述:一般地,我们有||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|(我们称之为 三角形不等式).

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名师点睛 1.向量减法的运算法则 (1)向量的减法运算与向量的加法运算是互逆运算,可以灵活转化, 减去一个向量等于加上这个向量的相反向量. (2)两个向量的差也可用平行四边形法则及三角形法则求得:用平行 四边形法则时,两个向量是共起点,和向量是起点与它们的起点重 合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向 被减向量;用三角形法则时,把减向量与被减向量的起点相重合, 则差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点. 提醒 作非零向量 a,b 的差向量 a-b,可以简记为:共起点,连
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终点,指向被减.

2.非零向量 a,b 的差向量的三角不等式 (1)当 a,b 不共线时, → → 如图①,作OA=a,OB=b, → → → 则 a-b=OA-OB=BA. (2)当 a,b 共线且同向时,若|a|>|b|, 则 a-b 与 a,b 同向(如图②), 于是|a-b|=|a|-|b| 若|a|<|b|,则 a-b 与 a,b 反向(如图③), 于是|a-b|=|b|-|a|
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(3)当 a,b 共线且反向时,a-b 与 a 同向,与 b 反向.于是|a-b| =|a|+|b|(如图④). 可见,对任意两个向量,总有向量不等式成立: ||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b| 说明:若 a,b 至少有一个零向量时,向量不等式的等号成立.

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题型一

向量加减法的基本运算

→ → → 【例 1】 化简:(1)AB-AD-DC; → → → → (2)(AB-CD)-(AC-BD). [思路探索] 解答本题可先去括号,再利用相反向量及加法交换 律、结合律化简.

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解 (1)法一

→ → → → → → AB-AD-DC=DB-DC=CB.

→ → → → → → → → → 法二 AB-AD-DC=AB-(AD+DC)=AB-AC=CB. 法三 → → → → → → → → → → AB-AD-DC =AB+(DA+CD)=AB+(CD+DA)=AB

→ → → → +CA=CA+AB=CB. → → → → (2)法一 (AB-CD)-(AC-BD) → → → → → → → → =AB-CD-AC+BD=AB+DC+CA+BD → → → → → → =(AB+BD)+(DC+CA)=AD+DA=0.

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→ → → → → → → → 法二 (AB-CD)-(AC-BD)=AB-CD-AC+BD → → → → → → → → =(OB-OA)-(OD-OC)-(OC-OA)+(OD-OB) → → → → → → → → =OB-OA-OD+OC-OC+OA+OD-OB=0. → → → → → → → → 法三 (AB-CD)-(AC-BD)=AB-CD-AC+BD → → → → → → =(AB-AC)+(DC-DB)=CB+BC=0. 规律方法 利用向量加减法的基本运算化简向量的一般思路是

将若干个求和(差)的向量最终转化为首尾相接的向量,如果遇 到差向量可利用相反向量转化为和向量.
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→ → → → 【变式 1】 化简:(1)(BA-BC)-(ED-EC); → → → → → → (2)(AC+BO+OA)-(DC-DO-OB). 解 → → → → → → → (1)(BA-BC)-(ED-EC)=CA-CD=DA.

→ → → → → → → → → → (2)(AC +BO+OA )-(DC -DO-OB )=AC +BA-DC +(DO + → → → → → → → → → → OB)=AC+BA-DC+DB=BC-DC+DB=BC+CB=0.

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题型二

用已知向量表示其他向量

【例 2】 如图所示,O 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD → → → → 的交点,设AB=a,DA=b,OC=c,试用 a,b,c 表示向量OA.

[思路探索] 利用向量加减法的几何意义求解.
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→ → → → → 解 法一 ∵b+c=DA+OC=OC+CB=OB, → → → → OA+a=OA+AB=OB; → → ∴b+c=OA+a,即 b+c-a=OA → → → → → 法二 ∵c-a=OC-AB=OC-DC=OD, → → → → OD=OA+AD=OA-b, → → ∴c-a=OA-b,即 b+c-a=OA.

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规律方法 (1)用已知向量表示其他向量时,关键是利用向量加 法的三角形法则及向量减法的几何意义. (2)用几个基本向量表示其他向量的一般步骤为: ①观察待表示的向量位置; ②寻找相应的平行四边形或三角形; ③运用法则找关系,化简得结果.

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【变式 2】 如图,在五边形 ABCDE 中, 若四边形 ACDE 是平行四边形,且 → → → AB=a,AC=b,AE=c,试用 a,b,c → → → → → 表示向量BD,BC,BE,CD及CE. 解 ∵四边形 ACDE 为平行四边形, → → → → → ∴CD=AE=c,BC=AC-AB=b-a, → → → → → → BE=AE-AB=c-a,CE=AE-AC=c-b, → → → ∴BD=BC+CD=b-a+c.
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题型三

向量的加、减法的综合应用

【例 3】 已知非零向量 a,b 满足|a|= 7+1,|b|= 7-1,且 |a-b|=4.求|a+b|的值. 审题指导 可先由|a|,|b|及|a-b|出发,找出三者之间的数量关 系,从而进一步判断三角形的形状,再求|a+b|的值.

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→ → [规范解答] 如图,OA=a,OB=b, → 则|BA|=|a-b|. 以 OA 与 OB 为邻边作平行四边形 OACB, → 则OC=|a+b|.(4 分) → → → 由于( 7+1)2+( 7-1)2=42,故|OA|2+|OB|2=|BA|2, 所以△OAB 是∠AOB 为 90° 的直角三角形, 从而 OA⊥OB,所以?OACB 是矩形.(8 分) → → 根据矩形的对角线相等有|OC|=|BA|=4,即|a+b|=4.(12 分)
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【题后反思】 向量 a+b,a-b 的几何意义在证明、运算中具 有重要的应用,应引起重视,另外对于平行四边形、菱形、矩 形、正方形对角线具有的性质要熟悉并会应用.

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→ → → 【变式 3】 已知 G 为△ABC 内一点,若GA+GB+GC=0, 求证:G 是△ABC 的重心. → → → 证明 如图,由GA+GB+GC=0 → → → 知GA=-(GB+GC). → → 以GB,GC为邻边作?BGCD, → → → → → 则GD=GB+GC,即GD=-GA. → → → → 而在?BGCD 中,BC 与 GD 相交于 E,且EC=BE,ED=GE, 则 AE 是△ABC 中 BC 边上的中线. → → 又因为|GA|=2|GE|,所以 G 为△ABC 的重心.
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误区警示 用错向量减法法则而致错 【示例】 如图所示,已知一点 O 到平行四边形 ABCD 的三个顶点 → A、B、C 的向量分别为 r1、r2,r3,求OD. → → → [错解] 因为OD=OC+CD, → → → → 因为CD=BA=OB-OA, → → → → 所以OD=OC+OB-OA=r3+r2-r1. 错误使用了向量的减法法则导致错误.

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→ → → → → [正解] OD=OC+CD=OC+BA → → → =OC+OA-OB=r3+r1-r2 减法口决:始点相同,连接终点,箭头指向被减向 量.应把首尾相接的放在一起计算,始点相同的放在一起计 算.必要时,可画出图象,结合图象观察将使问题更为直观.

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