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辽宁省大连市第二十高级中学2016届高三数学12月月考试题 理


2015-2016 学年度上学期十二月考试高三数学试卷(理)
考试时间:120 分钟 试题分数:150 分 第Ⅰ卷 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.复数 z ? 1 ? i 的虚部是 ( A. 1 B. ? 1 ) C. i D. ? i 则 (CU M ) ? N ? 4 ? x2 } , ( A. (-2,-1) B.[-2,-1)
2

2. 已知全集 U=R, 集合 M ? { y | y ? x2 ? 1} , 集合 N ? {x | y ? C.[-2,1)



D.[-2,1]

3.若数列 {an } 的前 n 项和为 S n ? an ? n(a ? R) ,则下列关于数列 {an } 的说法正确的是 ( A. {an } 一定是等差数列 C. a ? 0 时, {an } 是等差数列 4.抛物线 x ?
2



B. {an } 从第二项开始构成等差数列 D.不能确定其为等差数列 ) C.

1 y 的焦点 F 到准线 l 的距离是( 2
B. 1

A. 2 5.函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? A.(0,1)

1 2
)

D.

1 4

2 的零点所在的区间是( x
C.(2,3)

B.(1,2)

D.(3,4) ) D.奇函数

6.非零向量 a, b 满足 a ? b ,则函数 f ( x) ? (ax ? b) 2 ( x ? R) 是( A.既是奇函数又是偶函数 7.为得到函数 y ? sin( x ? B.非奇非偶函数 C.偶函数

?
6

) 的图象,可将函数 y ? sin x 的图象向左平移 m 个单位长度,或
)

向右平移 n 个单位长度( m , n 均为正数) ,则 | m ? n | 的最小值为( A.

? 3

B.

5? 3

C. ?

D. 2?

8.下列说法中,正确的是
2 2 A.命题“若 am ? bm ,则 a ? b ”的逆命题是真命题

B.命题“ p 或 q ”为真命题,则命题“ p ”和命题“ q ”均为真命题 C.已知 x ? R ,则“ x ? 1 ”是“ x ? 2 ”的充分不必要条件 D.命题“ ?x ? R , x ? x ? 0 ”的否定是:“ ?x ? R , x ? x ? 0 ”
2 2

-1-

9 . 函 数 f ( x) ? ?2 x 2 ? 7 x ? 6 与 函 数 g ( x) ? ? x 的 图 象 所 围 成 的 封 闭 图 形 的 面 积 为 ( A. )

2 3

B.2

C.

8 3

D.3

10. F1 , F2 是双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与双曲线的左、 a2 b2
)

右两支分别交于 A, B 两点.若△ ABF 2 是等边三角形,则该双曲线的离心率为( A.2 B. 7 C. 13 D. 15

11.已知 M (a, 2) 是抛物线 y 2 ? 2 x 上的一点,直线 MP、MQ 分别与抛物线交于 P、Q 两点,且 直线 MP、MQ 的倾斜角之和为 ? ,则直线 PQ 的斜率为 ( )

1 A. 2

1 B. 4

1 C. ? 2

1 D. ? 4

12 . 已 知 f ( x), g ( x) 都 是 定 义 在 R 上 的 函 数 , 且

f ( x) ? a x (a ? 0, 且a ? 1) , g ( x)


f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x),
A.

f (1) f (?1) 5 ? ? ,则 a 的值为 ( g (1) g (?1) 2
C.

1 2

B.

3 5

5 3

D.2

第Ⅱ卷 二.填空题: 本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 13.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为________.

? x ? 2y ?1 ? 0 ? 2x ? y ? 1 ? 0 ? 14. 已知实数 x 、 y 满足不等式组 ? ,则 3 x ? y 的取值范围为_____________ ?4 x ? 2 y ? 1 ? 0 2 2 ? ? x ? y ?1
-2-

15.函数 y ? loga ? x ? 3? ? 1 ? a ? 0 且 a ? 1? 的图象恒过定点 A ,若点 A 在直线 mx ? ny ? 1 ? 0 上,其中 mn ? 0 ,则 16.已知双曲线 x ?
2

1 2 ? 的最小值为 m n

___ .

y2 ? 1 上存在两点 M , N 关于直线 y ? x ? m 对称,且 MN 中点在抛物 3

线 y 2 ? 18x 上,则实数 m 的值为________. 三.解答题:本大题共 6 题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 设函数 f ? x ? = x ? 1 ? x ? a (a ? 0) (Ⅰ)证明: f ? x ? ≥ 2; (Ⅱ)若 f ? 3? ? 5 ,求 a 的取值范围 . 18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 4 cos( 最低点的横坐标为

a

? . 12

2? ? ? x) sin ? x ? 3 (? ? 0, x ? R) ,且 f ( x ) 在 y 轴右侧的第一个 3

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调减区间; (Ⅱ)若 ? ? [0, ? ] ,且 f (? ) ? ?1 ,求 ? . 19. (本小题满分 12 分) 等差数列 ?an ? 中, a2 ? 4 , a4 ? a7 ? 15 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? 2
an ?2

? n ,求 b1 ? b2 ? b3 ? ??? ? b10 的值.

20. (本小题满分 12 分) 0 已知四棱锥 P ? ABCD 的底面为直角梯形, AB // CD , ?DAB ? 90 , PA ? 底面 ABCD ,

1 , AB ? 1 , M 是 PB 的中点。 2 (Ⅰ)证明:平面 PAD ? 平面 PCD; (Ⅱ)求 AC 与 PB 所成的角余弦值; (Ⅲ)求平面 AMC 与平面 BMC 所成二面角的余弦值。
且 PA ? AD ? DC ?

P
M

A
D
C

B

21. (本小题满分 12 分) 已知椭圆的中心是坐标原点 O ,它的短轴长为 2 2 ,一个焦点 F 的坐标为 (c, 0) ( c ? 0 ) ,
-3-

一个定点 A 的坐标为 (

??? ? ???? 10 ? c, 0) ,且 OF ? 2FA, 过点 A 的直线与椭圆相交于 P, Q 两点。 c

(1)求椭圆的方程和离心率; (2)如果 OP ? OQ ,求直线 PQ 的方程。

22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ln x ( e 为无理数, e ? 2.718 ) (1)求函数 f ( x ) 在点 ? e, f (e) ? 处的切线方程; (2)设实数 a ?

1 ,求函数 f ( x ) 在 ? a, 2a? 上的最小值; 2e

(3)若 k 为正整数,且 f ( x) ? ? k ?1? x ? k 对任意 x ? 1 恒成立,求 k 的最大值.

-4-

2015-2016 学年度上学期 12 月月考高三数学参考答案 一.选择题 ABADB CADCB CA

二.填空题 13.3 14. [ ? 10,? ]

17.解: (1) f ( x) min (2) a ? (

3 15.8 16.-8 或 0 8 1 ? a ? ? 2 当且仅当 a ? 1 时取“=” a

1 ? 5 5 ? 21 , ), 2 2
2? 1 3 ? ? x) sin ? x ? 3 ? 4(? cos?x ? sin ?x ) sin ?x ? 3 3 2 2

18.解(Ⅰ) f ( x) ? 4 cos(

? ?2 sin ?x cos ?x ? 2 3 sin 2 ?x ? 3 ? ? sin 2?x ? 3 cos 2?x ? 2 sin( 2?x ?

? ? 2? ? ? ? ? ,得 ? ? 1 ,所以 2? ? 12 12 3 2 2? ? 2? 3? ) ,当 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? 所以 f ( x ) ? 2 sin( 2 x ? , 3 2 3 2 7? 13? , k? ? ], k ? Z 时单调递减; 即 x ? [ k? ? 12 12 2? 2? 4? 1 2? ? ? [? , ] ,因为 f (? ) ? ? ,所以 2? ? ?? 或 (Ⅱ) ? ? [0, ? ] 可得 2? ? 3 3 3 2 3 6 7? , 6 ? 11? 所以 ? ? 或 . 4 12
f ( x ) 在 y 轴右侧的第一个最低点的横坐标为
19. (I)设等差数列 ?an ? 的公差为 d . 由已知得 ?

2? ) 3

? ?a1 ? d ? 4 , ? ?? a1 ? 3d ? ? ? a1 ? 6d ? ? 15

解得 ?

?a1 ? 3 . ?d ? 1

所以 an ? a1 ? ? n ?1? d ? n ? 2 .

-5-

20.解:因为 PA⊥PD,PA⊥AB,AD⊥AB,以 A 为坐标原点 AD 长为单位长度,如图建立空间直 角坐标系,则各点坐标为 A(0,0,0)B(0,2,0) ,C(1,1,0) ,D(1,0,0) ,P(0,0,1) ,M(0,1, ) . (Ⅰ)证明:因 AP ? (0,0,1), DC ? (0,1,0),故AP ? DC ? 0, 所以AP ? DC. 由题设知 AD⊥DC,且 AP 与 AD 是平面 PAD 内的两条相交直线,由此得 DC⊥面 PAD. 又 DC 在面 PCD 上,故面 PAD⊥面 PCD. (Ⅱ)解:因 AC ? (1,1,0), PB ? (0,2,?1),

1 2

故 | AC |? 2 , | PB |? 5 , AC ? PB ? 2, 所以 cos ? AC, PB ??
(Ⅲ) ?

AC ? PB | AC | ? | PB |

?

10 . 5

2 3

21. (1)

x2 y 2 6 ? ? 1; e ? 6 2 3 5 x?3 5

(2) y ? ?

22.⑴∵ f ( x)定义域为(0, ??) f ?( x) ? ln x ? 1 , f (e) ? e又f ?(e) ? 2

?函数y ? f ( x)在点(e,f(e))处的切线方程为 : y ? 2( x ? e) ? e, 即y ? 2 x ? e ------3 分 1 ? 1? (2)∵ f ?( x) ? ln x ? 1 令f ?( x) ? 0 得x ? 当x ? ? 0, ? 时 , F ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减; e ? e? ?1 ? 当 x ? ? , ?? ? 时 , F ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增. ?e ? 1 当 a ? 时, f ( x)在[a, 2a ]单调递增,[ f ( x)]min ? f ( a ) ? a ln a, e 1 1 1 1 ?1? 当 ? a ? 时,得a ? ? 2a,[ f ( x)]min ? f ? ? ? ? 2e e e e ?e? (3) f ( x) ? (k ? 1) x ? k 对任意 x ? 1 恒成立,
-6-

x ln x ? x ? k 对任意 x ? 1 恒成立 x ?1 x ln x ? x x ? ln x ? 2 令 g ( x) ? ( x ? 1) ? g '( x) ? ( x ? 1) x ?1 ( x ? 1) 2 x ?1 令 h( x) ? x ? ln x ? 2( x ? 1) ? h '( x) ? ? 0 ? h( x) 在 (1, ??) 上单调递增。 x ∵ h(3) ? 1 ? ln 3 ? 0, h(4) ? 2 ? ln 4 ? 0, ∴所以 h( x) 存在唯一零点 x0 ? (3, 4) ,即 x0 ? ln x0 ? 2 ? 0 。
即 x ln x ? x ? k ( x ? 1) 对任意 x ? 1 恒成立, 即 当 x ? (1, x0 ) 时, h( x) ? h( x0 ) ? 0 ? g '( x) ? 0 ; 当 x ? ( x0 , ??) 时, h( x) ? h( x0 ) ? 0 ? g '( x) ? 0 ; ∴ g ( x) 在 x ? (1, x0 ) 时单调递减;在 x ? ( x0 , ??) 时,单调递增; ∴ [ g ( x)]min ? g ( x0 ) ? 由题意 k ? [ g ( x)]min

x0 (ln x0 ? 1) x0 ( x0 ? 1) ? ? x0 x0 ? 1 x0 ? 1 ? x0 ,又因为 k ? Z ,所以 k 的最大值是 3

-7-


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