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辽宁省大连市真金教育信息咨询有限公司高三数学 第09章 圆锥曲线A精炼试题 新人教A版


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【知识图解】 定义 椭圆 几何性质 定义 标准方程 圆锥曲线应用 几何性质 定义 抛物线 几何性质 【方法点拨】 解析几何是高中数学的重要内容之一,也是衔接初等数学和高等数学的纽带。而圆锥曲线是解析几何 的重要内容,因而成为高考考查的重点。研究圆锥曲线,无外乎抓住其方程和曲线两大特征。它的方程形 式具有代数的特性,而它的图像具有典型的几何特性,因此,它是代数与几何的完美结合。高中阶段所学 习和研究的圆锥曲线主要包括三类:椭圆、双曲线和抛物线。圆锥曲线问题的基本特点是解题思路比较简 单清晰,解题方法的规律性比较强,但是运算过程往往比较复杂,对学生运算能力,恒等变 形能力,数形 结合能力及综合运用各种数学知识和方法的能力要求较高。 1. 一要重视定义,这是学好圆锥曲线最重要的思想方法,二要数形结合,既熟练掌握方程组理论,又关 注图形的几何性质. 2.着力抓好运算关,提高运算与变形的能力,解析几何 问题一般涉及的变量多,计算量大,解决问题的思 路分析出来以后,往往因为运算不过关导致半途而废,因此要寻求合理的运算方案,探究简化运算的基本 途径与方法,并在克服困难的过程中,增强解决复杂问题的信心,提高运算能力. 3.突出主体内容,要紧紧围绕解析几何的两大任务来学习:一是根据已知条件求曲线方程,其中待定系数 法是重要方法,二是通过方程研究圆锥曲线的性质,往往通过数形结合来体现,应引起重视. 4.重视对数学思想如方程思想、函数思想、数形结合思想的归纳提炼,达到优化解题思维、简化解题过程 标准方程 标准方程

圆 锥 曲 线

双曲线

第1课 【考点导读】

椭圆 A

1. 掌握椭圆的第一定义和几何图形,掌握椭圆的标准方程,会求椭圆的标准方程,掌握椭圆简单的几何性 质; 2. 了解运用曲线方程研究曲线几何性质的思想方法;能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的
1

实际问题. 【基础练习】 1.已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆

x2 ? y 2 ? 1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在 BC 3

边上,则△ABC 的周长是 4 3 2.椭圆 x ? 4 y ? 1 的离心率为
2 2

3 2

3.已知椭圆中心在原点,一个焦点为 F(-2 3 ,0) ,且长轴长是短轴长的 2 倍,则该椭圆的标准方程是

x2 y2 ? ?1 16 4
x2 y2 1 5 4. 已知椭圆 ? ? 1 的离心率 e ? ,则 k 的值为 k ? 4或k ? ? k ?8 9 2 4
【范例导析】 例 1.(1)求经过点 (?

3 5 , ) ,且 9 x 2 ? 4 y 2 ? 45 与椭圆有共同焦点的椭圆方程。 2 2

(2)已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴长是短轴长的 3 倍,点 P(3,0)在该椭圆上,求椭圆的方程。 【分析】由所给条件求椭圆的标准方程的基本步骤是:①定位,即确定椭圆的焦点在哪轴上;②定量,即 根据条件列出基本量 a、b、c 的方程组,解方程组求得 a、b 的值;③写出方程. 解: (1)∵椭圆焦点在 y 轴上,故设椭圆的标准方程为 由椭圆的定义知,

y 2 x2 , ? ? 1( a ? b ? 0 ) a 2 b2

3 5 3 5 3 1 2a ? (? ) 2 ? ( ? 2) 2 ? (? ) 2 ? ( ? 2) 2 ? 10 ? 10 ? 2 10 , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∴ a ? 10 ,又∵ c ? 2 ,∴ b ? a ? c ? 10 ? 4 ? 6 ,

y 2 x2 ? ? 1。 所以,椭圆的标准方程为 10 6
(2)方法一:①若焦点在 x 轴上,设方程为

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? , a 2 b2

∵点 P(3,0)在该椭圆上∴

x2 9 ? 1 即 a 2 ? 9 又 a ? 3b ,∴ b2 ? 1 ∴椭圆的方程为 ? y 2 ? 1 . 9 a2

y 2 x2 ②若焦点在 y 轴上,设方程为 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? , a b
∵点 P(3,0)在该椭圆上∴

y 2 x2 9 ?1 ? 1 即 b2 ? 9 又 a ? 3b ,∴ a 2 ? 81 ∴椭圆的方程为 ? 81 9 b2
2

方法二:设椭圆方程为 Ax ? By ? 1? A ? 0, B ? 0, A ? B ? .∵点 P(3,0)在该椭圆上∴9A=1,即 A ?
2 2

1 , 9

又 a ? 3b ∴ B ? 1或

x2 y 2 x2 1 2 , a ? 81 ∴椭圆的方程为 ? y 2 ? 1或 ? ? 1. 9 81 9 81 x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? ,若 a 2 b2

【点拨】求椭圆标准方程通常采用待定系数法,若焦点在 x 轴上,设方程为

焦点在 y 轴上,设方程为

y 2 x2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? ,有时为了运算方便,也可设为 Ax 2 ? By 2 ? 1 ,其中 2 a b

A ? 0, B ? 0, A ? B .
例 2.点 A、B 分别是椭圆 轴上方, PA ? PF 。 (1)求点 P 的坐标; (2)设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点,M 到直线 AP 的距离等于 | MB | ,求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最小 值。 【分析】①列方程组求得 P 坐标;②解几中的最值问题通常可转化为函数的最值来求解,要注意椭圆上点 坐标的范围. 解: (1)由已知可得点 A(-6,0),F(0,4) 设点 P( x , y ),则 AP =( x +6, y ), FP =( x -4, y ),由已知可得

x2 y2 ? ? 1 长轴的左、右端点,点 F 是椭圆的右焦点,点 P 在椭圆上,且位于 x 36 20

??? ?

??? ?

? x2 y 2 ?1 ? ? ? 36 20 ?( x ? 6)( x ? 4) ? y 2 ? 0 ?
由于 y >0,只能 x =

则 2 x +9 x -18=0, x =

2

3 或 x =-6. 2

5 3 3 3 5 3 ,于是 y = . ∴点 P 的坐标是( , ) 2 2 2 2 m?6 2
.

(2) 直线 AP 的方程是 x - 3 y +6=0. 设点 M( m ,0),则 M 到直线 AP 的距离是

于是

m?6 2

= m ? 6 ,又-6≤ m ≤6,解得 m =2.

椭圆上的点( x , y )到点 M 的距离 d 有

5 4 9 d 2 ? ( x ? 2)2 ? y 2 ? x 2 ? 4 x ? 4 ? 20 ? x 2 ? ( x ? )2 ? 15 , 9 9 2 9 由于-6≤ m ≤6, ∴当 x = 时,d 取得最小值 15 2
点拨:本题考查了二次曲线上的动点与定点的距离范围问题,通常转化为二次函数值域问题. 【反馈练习】
3

1.如果 x ? ky ? 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是(0,1)
2 2

2.设椭圆的两个焦点分别为 F1、 2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若△F1PF2 为等腰直角三角形, 、F 则椭圆的离心率是 2 ? 1

x2 y2 ? 3.椭圆 =1 的焦点为 F1 和 F2,点 P 在椭圆上.如果线段 PF1 的中点在 y 轴上,那么|PF1|是|PF2|的 7 12 3
倍 4.若椭圆

x2 y2 10 25 ,则 m 的值为 3或 ? ? 1 的离心率 e ? 5 5 m 3 x2 y2 3 ? ? 1 的右焦点到直线 y ? 3 x 的距离为 2 4 3
x2 y2 x2 y2 ? ? 1 具有相同的离心率且过点(2,- 3 )的椭圆的标准方程是 ? ?1或 4 3 8 6

5..椭圆

6. 与 椭 圆

3 y2 4 x2 ? ?1 25 25
7.椭圆

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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x2 y2 ? ? 1 上的点到直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 的最大距离是 10 16 4
4 5 2 5 和 ,过 P 点作焦点所 3 3

8. 已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点 P 到两焦点的距离分别为 在轴的垂线,它恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆方程.

分析:讨论椭圆方程的类型,根据题设求出 a 和 b (或 a 和 b )的值.从而求得椭圆方程. 解:设两焦点为 F1 、 F2 ,且 PF1 ?

2

2

4 5 2 5 , PF2 ? . 3 3

从椭圆定义知 2a ? PF1 ? PF2 ? 2 5 .即 a ? 5 . 从 PF1 ? PF2 知 PF2 垂直焦点所在的对称轴,所以在 Rt?PF2 F1 中, sin ?PF1 F2 ?

PF2 PF1

?

1 , 2

可求出 ?PF1 F2 ?

?
6

, 2c ? PF1 ? cos

?
6

?

2 5 10 2 2 2 ,从而 b ? a ? c ? . 3 3

∴所求椭圆方程为

x2 3y2 3x 2 y 2 ? ? 1或 ? ? 1. 5 10 10 5

第 2 课 椭圆 B 【考点导读】
4

1. 掌握椭圆的第二定义,能熟练运用两个定义解决椭圆的有关问题; 2. 能解决椭圆有关的综合性问题. 【基础练习】 1.曲线 A

x2 y2 x2 y2 ? ? 1? m ? 6 ? 与曲线 ? ? 1? 5 ? n ? 9 ? 的(D) 10 ? m 6 ? m 5?n 9?n
B 离心率相等 C 准线相同 D 焦距相等

焦点相同

2.如果椭圆

x2 y2 20 ? ? 1 上的点 A 到右焦点的距离等于 4,那么点 A 到两条准线的距离分别是 10, 25 16 3

5 x2 9 y2 3 离心率 e ? ,一条准线为 x ? 3 的椭圆的标准方程是 ? ?1 5 20 3
【范例导析】 例 1.椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)的二个焦点 F1(-c,0),F2(c,0),M 是椭圆上一点,且 F1 M ? F2 M ? 0 。 a2 b2

求离心率 e 的取值范围. 分析:离心率与椭圆的基本量 a、b、c 有关,所以本题可以用基本量表示椭圆上点的坐标,再借助椭圆椭 圆上点坐标的范围建立关于基本量的不等式,从而确定离心率的范围. 解:设点 M 的坐标为(x,y),则 F1 M ? ( x ? c, y ) , F2 M ? ( x ? c, y ) 。由 F1 M ? F2 M ? 0 ,得 x -c +y =0, 2 2 2 即 x -c =-y 。 ①
2 2 2

b2 2 b2 2 a 2b 2 2 2 2 2 2 又由点 M 在椭圆上,得 y =b ? 2 x ,代入 ①,得 x -c ? 2 x ? b ,即 x ? a ? 2 。 a c a 2 2 2 2 2 a b a ?c 1 2 2 2 2 ∵0≤ x ≤ a ,∴0≤ a ? ≤ a ,即 0≤ ≤1,0≤ 2 ? 1 ≤1,解得 ≤ e ≤1。 2 2 2 c c e 2 又∵0< e <1,∵ ≤ e ≤1. 2
2 2

例 2.如图,已知某椭圆的焦点是 F1(-4,0)、F2(4,0),过点 F2 并垂直于 x 轴的直线与椭圆的一个交点为

B,且|F1B|+|F2B|=10,椭圆上不同的两点 A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件:|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列.
(1)求该弦椭圆的方程; (2)求弦 AC 中点的横坐标. 分析:第一问直接可有第一定义得出基本量 a,从而写出方程;第二问涉及到焦半径问题,可以考虑利用 第二定义的得出焦半径表达式,结合等差数列的定义解决. y 例2 2 2 解: (1)由椭圆定义及条件知, a=|F1B|+|F2B|=10,得 a=5,又 c=4,所以 b= a ? c =3. 2 故椭圆方程为
x2 y2 =1. ? 25 9

A B C F1 o F2 B' x

9 25 (2)由点 B(4,yB)在椭圆上, F2B|=|yB|= .因为椭圆右准线方程为 x= 得| ,离心 4 5
率为
4 4 25 4 25 ,根据椭圆定义,有|F2A|= ( -x1),|F2C|= ( -x2), 5 5 4 5 4
5

由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列,得 设弦 AC 的中点为 P(x0,y0),则 x0=

4 25 4 25 9 ( -x1)+ ( -x2)=2× ,由此得出:x1+x2=8. 5 4 5 4 5

x1 ? x2 =4. 2

【反馈练习】 1.在给定椭圆中,过焦点且垂直于长轴的弦长为 2 ,焦点到相应准线的距离为 1,则该椭圆的离心率为

2 2
2.已知 F1、F2 为椭圆

x2 ? 4 ? y 2 ? 1 的两个焦点,过 F1 作倾斜角为 的弦 AB,则△F2AB 的面积为 2 4 3

3.已知正方形 ABCD ,则以 A,B 为焦点,且过 C,D 两点的椭圆的离心率为 2 ? 1

4.椭圆

x2 y2 ? ? 1 上的点 P 到它的左准线的距离是 10,那么点 P 到它的右焦点的距离是 100 36
2

12

x2 y ? 9? ? ? 1 上不同三点 A?x1,y1 ? , B? 4, ? , C ?x2,y2 ? 与焦点 F ?4,? 的距离成等差数列. 5.椭圆 0 25 9 ? 5?
求证: x1 ? x2 ? 8 ; 证明:由椭圆方程知 a ? 5 , b ? 3 , c ? 4 . 由圆锥曲线的统一定义知:

AF a ? x1 c
2

?

c ,∴ a

AF ? a ? ex1 ? 5 ?

4 x1 . 5

同理 ∵

CF ? 5 ?

4 x2 . 5 9 , 5
x1 ? x2 ? 8 .

AF ? CF ? 2 BF ,且 BF ?



4 ? ? 4 ? 18 ? ? 5 ? x1 ? ? ? 5 ? x2 ? ? ,即 5 ? ? 5 ? 5 ?

第3课 【考点导读】

双曲线

1. 了解双曲线 的定义、几何图形和标准方程,了解其几何性质 2. 能用双曲线的标准方程和几何性质解决一些简单的实际问题.
6

【基础练习】 1.双曲线 mx ? y ? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m ? ?
2 2

1 4

2. 方程

y2 x2 ? ? 1 表示双曲线,则 k 的范围是 k ? 3或k ? ?3 k ?3 k ?3

3.已知中心在原点,焦点在 y 轴的双曲线的渐近线方程为 y ? ?

1 x ,则此双曲线的离心率为 5 2

4. 已知焦点 F1 (5, 0), F2 (?5, 0) ,双曲线上的一点 P 到 F1 , F2 的距离差的绝对值等于 6 ,则双曲线的标准 方程为

x2 y 2 ? ?1 9 16

【范例导析】 例 1. (1) 已知双曲线的焦点在 y 轴上,并且双曲线上两点 P , P2 坐标分别为 (3, ?4 2), ( ,5) ,求双曲线 1 的标准方程; (2)求与双曲线

9 4

x2 y2 ? ? ? 1 共渐近线且过 A 2 3, 3 点的双曲线方程及离心率. 16 9

?

?

分析:由所给条件求双曲线的标准方程的基本步骤是:①定位,即确定双曲线的焦点在哪轴上;②定量, 即根据条件列出基本量 a、b、c 的方程组,解方程组求得 a、b 的值;③写出方程.

y 2 x2 解: (1)因为双曲线的焦点在 y 轴上,所以设所求双曲线的标准方程为 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) ①; a b ∵点 P , P2 在双曲线上,∴点 P , P2 的坐标适合方程①。 1 1

? (?4 2) 2 32 ? 2 ?1 ? 2 b 9 ? a 将 (3, ?4 2), ( ,5) 分别代入方程①中,得方程组: ? 9 2 4 ? 25 ( ) ? 2 ? 42 ? 1 b ?a 1 ?1 ? a 2 ? 16 1 1 ? 将 2 和 2 看着整体,解得 ? , a b ?1 ?1 ? b2 9 ? 2 ? y 2 x2 ? a ? 16 ? ? 1。 ∴? 2 即双曲线的标准方程为 16 9 ?b ? 9 ?
点评:本题只要解得 a , b 即可得到双曲线的方程,没有必要求出 a, b 的值;在求解的过程中也可以 用换元思想,可能会看的更清楚。 (2)解法一:双曲线
2 2

x2 y2 3 ? ? 1 的渐近线方程为: y ? ? x 16 9 4

x2 y2 当 焦点在 x 轴时,设所求双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 ? a ? 0, b ? 0 ? a b
7



a 3 3 ? ,∴ b ? a b 4 4



? ∵ A 2 3, 3 在双曲线上


?

?

12 9 ? ?1 a 2 b2



由①-②,得方程组无解 当 焦点在 y 轴时,设双曲线方程为

y2 x2 ? ? 1 ? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2




4 b 3 ? ,∴ b ? a 3 a 4

? ∵ A 2 3, 3 在双曲线上,∴
由③④得 a ?
2

?

?

9 12 ? ?1 a 2 b2



9 2 ,b ? 4 4
y2 x2 5 ? ? 1 且离心率 e ? 9 4 3 4

∴所求双曲线方程为:

点评:一般地,在已知渐近线方程或与已知双曲线有相同渐近线的条件下,利用双曲线系方程

x2 y2 ? ? ? ?? ? 0? 求双曲线方程较为方便.通常是根据题设中的另一条件确定参数 ? . a 2 b2
例 2. 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告:正西、正北两个观测点同时听到了一声巨 响,正东观测点听到的时间比其他两观测点晚 4s. 已知各观测点到该中心的距离都是 1020m. 试确定该巨 响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为 340m/ s :相关各点均在同一平面上) 解:如图: 以接报中心为原点 O,正东、正北方向为 x 轴、y 轴正向,建立直角坐标系.设 A、B、C 分别是西、东、北 观测点,则 A(-1020,0) ,B(1020,0) ,C(0,1020) 设 P(x,y)为巨响为生点,由 A、C 同时听到巨响声, 得|PA|=|PB|,故 P 在 AC 的垂直平分线 PO 上,PO 的方程为 y=-x,因 B 点比 A 点晚 4s 听到爆炸声,故|PB|- |PA|=340×4=1360

x2
由双曲线定义知 P 点在以 A、B 为焦点的双曲线 依题意得 a=680, c=1020,

a2

?

y2 b2

? 1 上,

8

? b 2 ? c 2 ? a 2 ? 1020 2 ? 680 2 ? 5 ? 340 2 故双曲线方程为 x
2 2

y P A C o B x

680

?

y

2

5 ? 340 2

?1

用 y=-x 代入上式,得 x ? ?680 5 ,∵|PB|>|PA|,

? x ? ?680 5 , y ? 680 5 ,即P(?680 5 ,680 5 ), 故PO ? 680 10
答:巨响发生在接报中心的西偏北 45 距中心 680 10 m 处.
0

例2

x2 y2 例 3.双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 1, b ? 0) 的焦距为 2c,直线 l 过点(a,0)和(0,b) ,且点(1,0)到直线 a b

l 的距离与点(-1,0)到直线 l 的距离之和 s ?
解:直线 l 的方程为

4 c. 求双曲线的离心率 e 的取值范围. 5

x y ? ? 1 ,即 bx ? ay ? ab ? 0. a b
b(a ? 1) a2 ? b2


由点到直线的距离公式,且 a ? 1 ,得到点(1,0)到直线 l 的距离 d1 ?

同理得到点(-1,0)到 直线 l 的距离 d 2 ?

b(a ? 1) a2 ? b2

s ? d1 ? d 2 ?
由s ?

2ab a ?b
2 2

?

2ab . c


4 2ab 4 c, 得 ? c, 5 c 5
5 e 2 ? 1 ? 2e 2 ,

5a c 2 ? a 2 ? 2c 2 .

于是得

即4e 4 ? 25e 2 ? 25 ? 0.

解不等式,得

5 5 ? e ? 5. ? e 2 ? 5. 由于 e ? 1 ? 0, 所以 e 的取值范围是 2 4

点拨:本小题主要考查点到直线距离公式,双曲线的基本性质以及综合运算能力.

【反馈练习】 1.双曲线

x2 y2 ? ? ?1 的渐近线方程为 y ? ? 2 x 2 4

x2 y 2 ? ?1 2.已知双曲线的离心率为 2 ,焦点是 (?4, , (4, ,则双曲线方程为 0) 0) 4 12

9

3. 已 知 双 曲 线 的 两 个 焦 点 为 F1 ( ? 5 ,0) , F2 ( 5 ,0) , P 是 此 双 曲 线 上 的 一 点 , 且 PF1 ? PF2 ,

| PF1 | ? | PF2 |? 2 ,则该双曲线的方程是

x2 ? y2 ? 1 4

4. 设 P 是双曲线

x 2 y2 - =1 上一点,双曲线的一条渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0 , F1 、 F2 分别是双曲线左 a2 9

右焦点,若 PF1 =3,则 PF2 =7 5.与椭圆

x2 y2 x2 y 2 ? ?1 ? ? 1 共焦点且过点 (3 2, 2) 的双曲线的方程 25 5 20 ? 2 10 2 10

6. (1)求中心在原点,对称轴为坐标轴经过点 P?1 ? 3? 且离心率为 2 的双曲线标准方程. , (2)求以曲线 2 x ? y ? 4 x ? 10 ? 0 和 y ? 2 x ? 2 的交点与原点的连线为渐近线,且实轴长为 12 的双
2 2 2

曲线的标准方程. 解: (1)设所求双曲线方程为:

x2 y2 1 ?? 3? ? ? 1?k ? 0? ,则 ? ?1 , k k k k
2

y2 x2 1 9 ∴ ? ? 1 ,∴ k ? ?8 ,∴所求双曲线方程为 ? ?1 8 8 k k
?2 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 10 ? 0 ?x ? 3 ?x ? 3 2 ? (2)∵ ? 2 ,∴ ? 或? ,∴渐近线方程为 y ? ? x 3 ? y ? 2x ? 2 ? y ? 2 ? y ? ?2 ?
当焦点在 x 轴上时,由

b 2 ? 且 a ? 6 ,得 b ? 4 . a 3

∴所求双曲线方程为

x2 y2 ? ?1 36 16

当焦点在 y 轴上时,由

a 2 ? ,且 a ? 6 ,得 b ? 9 . b 3

∴所求双曲线方程为

y2 x2 ? ?1 36 81

7.设双曲线

x2 y2 ? ? 1 (0 ? a ? b) 的半焦距为 c ,直线 l 过 (a , 0) 、 (0 , b) 两点,且原点到直线 l 的距离 a 2 b2



3 c ,求双曲线的离心率. 4

分析:由两点式得直线 l 的方程,再由双曲线中 a 、 b 、 c 的关系及原点到直线 l 的距离建立等式,从而解 出

c 的值. a
10

解:由 l 过两点 (a , 0) , (0 , b) ,得 l 的方程为 bx ? ay ? ab ? 0 .

由点到 l 的距离为

ab 3 3 ? c. c ,得 4 4 a2 ? b2

将b ?

c 2 ? a 2 代入,平方后整理,得 16(

a2 2 a2 ) ? 16 ? 2 ? 3 ? 0 . c2 c



a2 3 1 ? x ,则 16 x 2 ? 16 x ? 3 ? 0 .解得 x ? 或 x ? . 2 c 4 4

而e ?

c ,有 e ? a

1 2 3 .故 e ? 或e ? 2. x 3
c ? a a 2 ? b2 b2 ? 1? 2 ? 2 , a a

因 0 ? a ? b ,故 e ?

所以应舍去 e ?

2 3 .故所求离心率 e ? 2 . 3 2 3 .其原因是未注意到题设条件 (0 ? a ? b) ,从而离心率 3

说明:此题易得出错误答案: e ? 2 或 e ?

e ? 2 .而

2 3 ? 2 ,故应舍去. 3

8.已知双曲线的中心在原点,焦点 F1 , F2 在坐标轴上,离心率为 2 ,且过点 4, ? 10 . (1)求双曲线方程; (2)若点 M ? 3, m ? 在双曲线上,求证: MF1 ? MF2 ? 0 ; (3)对于(2)中的点 M ,求 ?F1 MF2 的面积.
2 2 解: (1)由题意,可设双曲线方程为 x ? y ? ? ,又双曲线过点 4, ? 10 ,解得 ? ? 6

?

?

???? ???? ? ?

?

?

∴ 双曲线方程为 x ? y ? 6 ;
2 2

(2)由(1)可知, a ? b ?

6 ,c ? 2 3 ,
?????

∴ F1 ?2 3, 0 , F2 2 3, 0

?

?

?

?

2 ∴ MF1 ? ?2 3 ? 3, ? m , MF2 ? 2 3 ? 3, ? m , ∴ MF1 ?MF2 ? m ? 3 ,

???? ?

?

?

?

?

???? ?????? ?

又点 M ? 3, m ? 在双曲线上, ∴ 9 ? m ? 6 ,
2 2 ∴ m ? 3 , 即 MF1 ? MF2 ? 0 ;

???? ????? ?

(3) S ? F1MF2 ?

1 1 F1F2 m ? ? 4 3 ? 3 ? 6 ∴ ?F1MF2 的面积为 6. 2 2
11

第4课 【考点导读】

抛物线

1.了解抛物线的定义,掌握抛物线标准方程的四种形式和抛 物线的简单几何性质. 2.会用抛物线的标准方程和几何性质解决简单的实际问题. 【基础练习】 1.焦点在直线 x-2y-4=0 上的抛物线的标准方程是 y =16x或x ? ?8 y
2 2

x2 y2 2.若抛物线 y ? 2 px 的焦点与椭圆 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为 4 6 2
2

3.抛物线 y ? 4ax(a ? 0) 的焦点坐标是__(a,0)_
2
2 4.抛物线 y ? 12 x 上与焦点的距离等于 9 的点的坐标是 6, 6 2

?

?

5. P 是抛物线 y ? 4 x 上一动点, 点 则点 P 到点 A(0, ? 1) 的距离与 P 到直线 x ? ?1 的距离和的最小值 2
2

【范例导析】 例 1. 给定抛物线 y =2x,设 A(a,0) a>0,P 是抛物线上的一点,且|PA|=d,试求 d 的最小值. , 2 解:设 P(x0,y0) x0≥0) ( ,则 y0 =2x0,
2 ∴d=|PA|= ( x 0 ? a ) 2 ? y 0
2

= ( x 0 ? a) 2 ? 2 x 0 = [ x 0 ? (1 ? a)]2 ? 2a ? 1 . ∵a>0,x0≥0, ∴(1)当 0<a<1 时,1-a>0, 此时有 x0=0 时,dmin= (1 ? a ) 2 ? 2a ? 1 =a. (2)当 a≥1 时,1-a≤0, 此时有 x0=a-1 时,dmin= 2a ? 1 .

例 2.如图所示,直线 l1 和 l 2 相交于点 M, l1 ⊥ l 2 ,点 N ? l1 ,以 A、B 为端点的曲线段 C 上的任一点到 l 2 的 距离与到点 N 的距离相等,若△AMN 为锐角三角形, AM ? 标系,求曲线段 C 的方程. 分析:因为曲线段 C 上的任一点是以点 N 为焦点,以 l 2 为准线的抛物线的一段,所以本题关键是建立适当 坐标系,确定 C 所满足的抛物线方程. 解:以 l1 为 x 轴,MN 的中点为坐标原点 O,建立直角坐标系. 例2
12

7 , AN ? 3 ,且 BN ? 6 ,建立适当的坐

由题意,曲线段 C 是 N 为焦点,以 l 2 为准线的抛物线的一段,其中 A、B 分别为曲线段的两端点.

∴设曲线段 C 满足的抛物线方程为: y ? 2 px( p ? 0)( x A ? x ? xB , y ? 0), 其中 x A 、 x B 为 A、B 的横坐标
2

令 MN ? p, 则 M (?

p p ,0), N ( ,0) ,? AM ? 17 , AN ? 3 2 2
p 2 ) ? 2 pxA ? 17 2 p 2 ) ? 2 pxA ? 9 2

? ?( x A ? ? ∴由两点间的距离公式,得方程组: ? ?( x ? ? A ?
∵△AMN 为锐角三角形,∴

解得 ?

?p ? 4 ?p ? 2 或? ?xA ? 1 ? x A ? 2

p ? x A ,则 p ? 4 , x A ? 1 2 p ? 6?2 ? 4 2

又 B 在曲线段 C 上,? xB ? BN ?

则曲线段 C 的方程为 y ? 8 x(1 ? x ? 4, y ? 0).
2

【反馈练习】

y2 1.抛物线 x ? 的准线方程是 x ? ?2 8
2.抛物线 y ? ax(a ? 0) 的焦点到其准线的距离是
2 2

|a| 2

3.设 O 为坐标原点 ,F 为抛物线 y ? 4 x 的焦点,A 为抛物线上的一点,若 OA ? AF ? ?4 ,则点 A 的坐标 为 2, 2 ?

?

2

?
2

4.抛物线 y ? ? x 上的点到直线 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 距离的最小值是
2

4 3

5.若直线 l 过抛物线 y ? ax (a>0)的焦点,并且与 y 轴垂直,若 l 被抛物线截得的线段长为 4,则 a=

1 4

6.某抛物线形拱桥跨度是 20 米,拱高 4 米,在建桥时每隔 4 米需用一支柱支撑,求其中最长的支柱的长.

解:以拱顶为原点,水平线为 x 轴,建立坐标系,
13

如图,由题意知,|AB|=20,|OM|=4,A、B 坐标分别为(-10,-4) 、(10,-4) 设抛物线方程为 x =-2py,将 A 点坐标代入,得 100=-2p×(-4),解得 p=12.5, 于是抛物线方程为 x =-25y.
2 2

第6题 由题意知 E 点坐标为(2,-4),E′点横坐标也为 2,将 2 代入得 y=-0.16,从而|EE′|= (-0.16)-(-4)=3.84.故最长支柱长应为 3.84 米. 7.已知抛物线的顶点在原点,焦点 F 在 x 轴的正半轴,且过点 P(2,2) ,过 F 的直线交抛物线于 A,B 两点. (1)求抛物线的方程; (2)设直线 l 是抛物线的准线,求证:以 AB 为直径的圆与直线 l 相切. 分析:可设抛物线方程为 y ? 2 px( p ? 0) .用待定系数法求得方程,对于第二问的证明只须证明
2

AB 2

? MM1 ,则以 AB 为直径的圆,必与抛物线准线相切.

14


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