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第3讲:数列-学生版


专题一:数列综合
41. 已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 . ?an ? 的前 n 项和为 Sn . (Ⅰ)求 an 及 Sn ; (Ⅱ)令 bn ?

1 ( n ? N ? ),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? 1
2

42. 在数列 ?a n ? 中, a 1 =0,且对任意 k ? N* , a 2k ?1 ,a 2k ,a 2k+1 成等差数列,其公差为 2k. (Ⅰ)证明 a 4 ,a 5 ,a 6 成等比数列; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项公式;

43. 数列{ an } 中 a =

1 ?1? ,前 n 项和 Sn 满足 Sn ?1 - Sn = ? ? 3 ? 3?

n ?1

(n ? N * ).

( I ) 求数列{ an }的通项公式 an 以及前 n 项和 Sn ; (II)若 S1, t ( S1+S2 ), 3( S2+S3 ) 成等差数列,求实数 t 的值。

44. 已知 ?a n ? 为等差数列,且 a3 ? ?6 , a6 ? 0 。 (Ⅰ)求 ?a n ? 的通项公式; (Ⅱ)若等差数列 ?bn ? 满足 b1 ? ?8 , b2 ? a1 ? a2 ? a3 ,求 ?bn ? 的前 n 项和公式

45. 设 a1, d 为实数, 首项为 a1, 公差为 d 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 满足 S5 S6 +15=0。 (Ⅰ)若 S5 =5,求 S6 及 a1; (Ⅱ)求 d 的取值范围。

46. 设 C1 , C2 ,?, Cn ,? 是坐标平面上的一列圆,它们的圆心都在 x 轴的正半轴上,且都与 直线 y ?

3 x 相切,对每一个正整数 n ,圆 Cn 都 3

与圆 Cn?1 相互外切, 以 rn 表示 Cn 的半径, 已知 {rn } 为递增数列. (Ⅰ)证明: {rn } 为等比数列; (Ⅱ)设 r1 ? 1 ,求数列 { } 的前 n 项和.

n rn

47. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? n ? 5a n ?85 , n ? N (1)证明: ?an ?1 ? 是等比数列;

*

(2)求数列 ?Sn ? 的通项公式,并求出使得 Sn?1 ? Sn 成立的最小正整数 n .

48. 设等差数列 ?an ? 满足 a3 ? 5 , a10 ? ?9 。 (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求 ?an ? 的前 n 项和 Sn 及使得 Sn 最大的序号 n 的值。
*m

49. 已知 ?an ? 是首项为 19,公差为-2 的等差数列, Sn 为 ?an ? 的前 n 项和. (Ⅰ)求通项 an 及 Sn ; (Ⅱ) 设 ?bn ? an ? 是首项为 1, 公比为 3 的等比数列, 求数列 ?bn ? 的通项公 式及其前 n 项和 Tn .

50. 已 知 {an } 是 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 , 且 a1 ? a2 ? 2(

1 1 ? ) , a1 a2

a3 ? a4 ? a5 ? 64(

1 1 1 ? ? ) a3 a4 a5

(Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? (an ?
5_u.*m

1 2 ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 。 an

51. 已知等差数列 {an } 的前 3 项和为 6,前 8 项和为-4。 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;
w_w w. k#s5 _u.c o *m

(Ⅱ)设 bn ? (4 ? an )qn?1 (q ? 0, n ? N * ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn

x 52. 已知点(1, )是函数 f ( x) ? a (a ? 0, 且 a ? 1 )的图象上一点,等比数列 {an } 的

1 3



n 项和为 f (n) ? c ,数列 {bn } (bn ? 0) 的首项为 c ,且前 n 项和 Sn 满足 Sn - S n?1 =

S n + S n?1 ( n ? 2 ).
(1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2)若数列{

1000 1 的最小正整数 n 是多少? } 前 n 项和为 Tn ,问 Tn > 2009 bn bn?1

.

53. 设 Sn 为数列 {an } 的前 (I) 求 a1 及 an ;

n 项和, Sn ? kn2 ? n , n ? N * ,其中 k 是常数.

(II)若对于任意的 m ? N * , am , a2 m , a4 m 成等比数列,求 k 的值.

54. 设

?an ?

是 公 差 不 为 零 的 等 差 数 列 , Sn 为 其 前

n

项 和 , 满 足

a22 ? a32 ? a42 ? a52 , S7 ? 7 。
(1)求数列 ?an ? 的通项公式及前 (2)试求所有的正整数 m ,使得

n 项和 Sn ;
am am ?1 为数列 ?an ? 中的项。 am ? 2

? 55. 等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn , 已知对任意的 n ? N

,点 (n, Sn ) ,均在函数

y ? b x ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数)的图像上.
(1)求 r 的值; (11)当 b=2 时,记

bn ?

n ?1 (n ? N ? ) 4an

求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn

56. 已知数列 an 的前 n 项和Sn = 2n2 + 2n,数列 bn 的前 n 项和Tn = 2 ? bn (Ⅰ)求数列 an 与 bn 的通项公式; (Ⅱ)设cn = an 2 ? bn ,证明:当且仅当 n≥3 时,cn+1 < cn

57. 已知等差数列 {an } 的公差 d 不为 0,设 S n ? a1 ? a2 q ? ? ? an q n?1

Tn ? a1 ? a2 q ? ? ? (?1) n?1 an q n?1 , q ? 0, n ? N *
(Ⅰ)若 q ? 1, a1 ? 1, S 3 ? 15 ,求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 a1 ? d , 且S1 , S 2 , S3 成等比数列,求 q 的值。

58. 已知函数 f ( x) ? ( x ?1) , 数列 ?an ? 是公差为 d 的等差数列, ( q ? R, q ? 1 ) ?bn ? 是公比为 q
2

的等比数列.若 a1 ? f (d ?1), a3 ? f (d ? 1), b1 ? f (q ?1), b3 ? f (q ? 1). (1)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式;
? (2)若 ?cn ? 对 n ? N , 恒有

c c c1 c2 求 c1 ? c3 ? c5 ? ??? ? c2n?1 ? ? 3 ? ??? ? n ? an ?1 , b1 2b2 3b3 nbn

的值

59. 已

1 1 , 公比 q ? 的等比数列 4 4 bn ? 2 ? 3 log1 an (n ? N *) ,数列 {cn }满足cn ? an ? bn 。
知 数 列

{a n }是首项为 a1 ?





4

(1)求证: {bn } 是等差数列; (2)求数列 {cn } 的前 n 项和 Sn; (3)若 c n ?

1 2 m ? m ? 1对 一切正整数 n 恒成立,求实数 m 的取值范围。 4

60. 已 知 f (x) ? (x ? 1)

2

, g( x ) ? 10( x ? 1) , 数 列

?a n ?

满 足 a1 ? 2 ,

(a n ?1 ? a n )g(a n ) ? f (a n ) ? 0 , b n ?

9 (n ? 2)( a n ? 1) . 10

(Ⅰ)求证:数列 ?a n ? 1? 是等比数列; (Ⅱ)当 n 取何值时, b n 取最大值,并求出最大值;


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