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孔隙水压力对岩石力学参数的影响


2008 年 10 月 29 卷 5 期 : 660 2 664

地  球  学  报 ACTA GEOSC IENTI CA SI N ICA

Oct . 2008 29 (5) : 660 2 664

孔隙水压力对岩石力学参数的影响
刘  琦   卢耀如
1) 1, 2)

  李晓昭

3)

1 ) 同济大学地下建筑与工程系 ,上海 200092; 2 ) 中国地质科学院水文地质环境地质研究所 ,河北石家庄 050061; 3 ) 南京大学地球科学系 ,江苏南京 210093
摘  要  多孔多相的岩石介质中 ,孔隙水压力的变化会引起岩石的变形 ,其力学参数随之改变 ,而岩石的力学参数 变化反过来会引起渗流场发生改变 。本文利用岩石力学参数在其中的作用 , 推导出孔隙水压力变化时 , 岩石变形 与孔隙度 、 压缩系数和体积弹性模量间的关系式 。通过理论计算与分析表明 , 在渗流场和变形场的非线性程度不 很高 ,参数关系不是很复杂的情况下 ,利用岩石力学参数的更新来进行耦合分析的方法 ,对于近期工程应用行之有效。 关键词   孔隙压力 ; 流固耦合 ; 孔隙度 ; 渗透率 ; 体积弹性模量 中图分类号 : P641. 136       文献标识码 : A       文章编号 : 1006 2 3021 (2008) 05 2 660 2 05

The Effect of the Pore W a ter Pressure on the Rock M echan ics Param eters
LI U Q i  LU Yaoru
1) 1, 2)

 L I Xiaozhao

3)

1 ) D epartm en t of Geotechn ica l Eng ineering, Tongji U n iversity, Shangha i 200092; 2 ) Institute of Hyd rogeology and Environm enta l Geology, CAGS, Sh ijiazhuang, Hebei 050061; 3 ) D epartm en t of Earth S ciences, N anjing U niversity, N an jing, J iangsu 210093

Abstract  In multi2 phase porous rock media, the change of pore water p ressure will induce the deformation of rocks and the variation of rock mechanics parameters, which, in turn, will change the seepage flow field. U sing the rock mechanics param 2 eters, this paper deduces the relationship s of defor mation, porosity, coefficients of comp ressibility and bulk elastic modulus during the variation of the pore water p ressure. Theoretical calculation and analysis show that it is effective to use coup le anal2 ysis by means of renovated rock mechanics parameters when the seepage flow field and deformation field are given. Key words pore p ressure; fluid 2solid coup ling; porosity; permeability; bulk elastic modulus

   岩体力学研究中最关心的是在外部总应力为常 数的情况下 ,岩体的变形随孔隙流体压力的变化情 况 ,孔隙流体的存在对岩体变形和应力场的影响有 时起着决定作用 ,所造成的自然灾害也是单相固体 不可比拟的 ,如采矿工程中 ,由于地下水流入矿井采 区引起的地层沉陷 ,煤层中瓦斯的抽放 ,地下水运动 对露天矿边坡稳定性的影响 ,矿区水资源保护等 ; 在 石油工程中 ,油井抽注水 ,与应力有关的岩体渗透率 与孔隙度 ,孔隙弹性体中油井的稳定性等 ,这些在能

源的开发和利用中经常发生的自然灾害无一不涉及 流体和固体的耦合作用问题 (仵彦卿等 , 1995; 罗元 华等 , 1998; 董平川等 , 1999; 王红才等 , 2002 ) 。 较早的文献中 ,多把岩石中水的渗透系数或渗透 率定义为常数 ,在渗流场或变形场 — 渗流场耦合分析 中 ,渗透系数也被当作常数处理 。目前 ,以有效应力 原理为代表的岩石力学公式中 ,描述了孔隙水压力对 岩石应力大小的影响 ,但较少见从数学上反映孔隙水 压变化对固体变形参数的影响。流固耦合力学作用

本文由国家自然科学基金项目 (编号 : 40572144) 资助 。 收稿日期 : 2007 2 09 2 10; 改回日期 : 2008 2 03 2 31。 责任编辑 : 刘志强 。 第一作者简介 : 刘琦 , 女 , 1980 年生 , 博士研究生 , 水文地质工程地质专业 ; 通讯地址 : 200092,上海市四平路 1239 号 ; E 2 mail: liuqi472@ 163. com。

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第 5 期                刘琦等 : 孔隙水压力对岩石力学参数的影响

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过程中 ,固体和流体的物性参数的变化以及它们之间 的关系问题 ,一直以来都是以试验结果反分析和经验 公式来加以描述 ,缺少成熟的理论表达 ,而这些试验 分析公式和经验公式难以准确的说明这些参数的关 系。而定量研究岩石物性参数随所含流体变化的特 征 ,利用参数更新进行耦合分析对于深入了解岩石物 理力学性质 ,特别是对岩石工程 、 油气田开发等具有 重要的意义 (李生杰 , 2005;李春光等 , 2007 ) 。

1  孔隙水压力对岩石物性参数的影响
在多孔多相的岩石介质中 , 孔隙流体压力 (渗 流场 )的变化导致岩石介质变形 ; 岩石的变形引起 力学参数的改变 ,导致渗透特性和孔隙流体压力的 改变从而影响流体渗流 , 这一耦合作用过程是同时 发生的 ( Geertsma, 1957; M ichael et al . , 2001; Kevin et al . , 2007 ) 。因此 ,笔者通过研究孔隙度 、 渗透率 、 压缩系数等物性参数的变化来进行耦合分析 , 推导 这些参数间的关系 , 为孔隙流体压力变化带来的岩 石变形及其耦合作用问题提供有力的理论依据 。 1. 1   孔隙度的变化 孔隙度是反映多孔介质结构的最重要的宏观参 数之一 ,它是区分和联系固体物质与多孔介质的重 要指标 (李传亮等 , 1998 ) 。 孔隙度的定义为 : Vp Vb - Vs φ= =
Vb Vb

图 1  孔隙度与体积应变关系曲线
Fig . 1  Relationship betw een porosity and volumetric strain

不少学者认为 ,致密岩石在弹性变形过程中 ,孔 隙度不发生变化 , 即孔隙度不变性原则 (李传亮 ,
2003b, 2005 ) , 当然这给工程计算带来了很大的方

便 。虽然他们承认岩石中孔隙体积和固体骨架体积 都会发生变化 ,认为根据孔隙度的定义 ,当孔隙体积 变化的同时多孔介质单元整个的体积也在发生变 化 ,其结果是两个相互作用得到的孔隙度不会发生 变化 。但是 ,笔者从孔隙度与体积应变的关系式推 导中可以看出 ,孔隙度在岩石变形过程中是不断变 化的 ,它随着岩石的体积应变和固体骨架的体积应 变而发生变化 。由式 ( 4 ) 可以看出 , 只有当 φ0 = 1
(可认为是纯流体 )时或者 ε v =ε s (岩石介质全部为

ε 固体骨架充满 ,无孔隙 ,或者 ε v = s = 0,即固体骨架 为刚体 , 没有任何压缩变形 ) , 只有在这些情况下 φ
=φ0 ,即孔隙度不发生变化 。

(1)

式中 V s 为岩石固体骨架体积 ,其初始值为 V s 0 , 变化值用 ΔV s 表示 ; V b 为岩石的总体积 , 其初始值 V b0 ,变化用 Δ V b 表示 ; V p 为孔隙体积 , 初始值为 V p0 , 其变化用 Δ V p 表示 。在孔隙压力发生一定变化后 , 孔隙度从初始状态 φ0 变为 φ, 此时有一体积应变 ε Vb 为 : v ,岩石的总体积变化 Δ Δ (2) V b = V bε v 因此 ,可以导出计算新的孔隙度的表达式 : (V b0 - Δ V b ) - (V s0 - Δ Vs ) φ= (3) Δ V b0 - V b 将 ( 2 )式代入 ( 3 )式得 : φ Δ ε V s /V b 0 -ε v + v -ε s φ= (4) =φ 0 - (1 -φ 0 ) 1 -ε 1 -ε v v 式 ( 4 )即为孔隙度与体积应变的关系式 。由上 式可以看出 ,孔隙度的变化是由岩石的体积应变和 固体骨架体积应变同时控制的 , 而不是由孔隙本身 的体积应变引起的 ,因为孔隙本身不是物质 ,不能被 压缩 (或拉伸 ) (李传亮 , 2003a ) 。

如果不考虑固体骨架的变形 , 即 ΔV s = 0, 那么
( 4 )式变为 :

φ 0 -ε v φ= 1 -ε v

( 5)

此时 ,孔隙度的变化是由体积应变控制的 ,而岩 石的体积应变又是由孔隙压力控制的 。根据 ( 5 ) 式 的理论计算可得图 1 曲线 ,由图可以看出 ,体积应变 增大引起孔隙度降低 。
1. 2   渗透率的变化

不少学者提出了多种渗透率模型 , 其中最常用 的是毛细管渗透率模型 , 即 Carman 2Kozeny 或平均 水力直径模型 (仵彦卿等 , 1995; 贺玉龙 , 2003; Han
et al . , 2003 ) ,其渗透率方程为 :
k=

φ
kz S p
2

( 6)

设初始状态 t0 的渗透率为 : φ0 k0 = 2
kz S p0

( 7)

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2008 年

其中 : S p0 =

A s0 V p0

(8)

当初始状态变化到状态 t时 ,岩石的总体积和固 体骨架变化分别为 Δ V b ,Δ V s ,固体骨架表面积的变化 为Δ A s ,表面积的增量可用一个系数 β 来表示 ,即 : (9) A s = A s0 ( 1 - β) 则新的比表面积为 : A s0 ( 1 - β) Sp = V p - (Δ Vb - Δ Vs ) 新的渗透率与初始渗透率的比值为 : φ 2 kz S p φ S p0 2 k = = [ ] φ0 φ0 S p k0
kz S p0
2

图 2  渗流场与变形场耦合作用机理示意图
Fig . 2  M echanis m of coup ling effect bet w een seepage flow field and defor mation field

( 10 )

( 11 )

( 10 )式代入 ( 11 )式并整理得 将 ( 3) 、 2 ( Vb0 - ΔVb ) - ( V s0 - ΔV s ) V b0 A s0 k = k0 Vb0 - ΔVb V p0 V p0 2

     

[V p0 - (Δ Vb - Δ Vs ) ] A s0 ( 1 - β)
2 2

2

( 12 )
图 3  3 种灰岩获得的压缩系数 (据 Laurent等 , 1994 )
Fig . 3  Comp ressibility coefficients of three kinds of lim estone

( 2 )关系式代入 ( 12 )式整理得 将 ( 1) 、 Δ Vs 3 ε [φ ] 0 - ( v V b0 ) k = 3 2 k0 φ0 ( 1 - ε ) v ) (1 -β

( 13 )

( from Laurent et al . , 1994)

若不考虑固体骨架的变形和表面积的变化率 时 ,即 Δ V s = 0,β = 0,那么 ( 13 )式简化为 ε v 3 k 1 (1 ) ( 14 ) = φ0 k0 1 - ε v ( 14 )式体现了岩石的变形对渗透率的影响 。 从以上推导中可以清晰的看到 , 岩石介质在孔 隙压力的作用下发生体积应变 ε v , 体积发生变形必 然引起孔隙体积的变化 , 宏观上就表现为孔隙度的 变化 ,由 ( 14 )式可以看出孔隙度变化引起渗透率的 变化 ,即 k = k (φ) = k [φ (ε v ) ] , 所以说体积应变 ε v 在渗流场和变形场耦合作用中起着传递耦合效应的 作用 (图 2 ) 。
1. 3   压缩系数的变化 Hall定义了一个岩石的压缩系数 , 即单位孔隙

式中 ΔP 为孔隙压力差 。这样可以得出孔隙压 缩系数 : 1 φ ( 17 ) cp = ln ΔP φ 0 而孔隙体积弹性模量 :
Kp =

1
cp

( 18 )

结合式 ( 5 ) 可以得到孔隙压缩系数与体积应 变、 孔隙压力间的关系式为 : φ φ 0 -ε v 1 1 ( 19 ) cp = ln = ln P - P0 φ P - P0 φ 0 0 (1 -ε v) 由上式可以看出 ,压差不变的情况下 ,孔隙压缩 系数随孔隙度的增大而增大 , 该规律与 Laurent 等 ( 1994 )和李传亮 ( 2005 )等的实验研究相符合 (图 3 ) 。
1. 4   体积弹性模量的变化

压力变化所引起的孔隙体积的相对变化 , 其表达式 为 (贝尔 , 1983 ) :
cp =

1 dV p
V p dP

|σ = const

( 15 )

它等价于孔隙压缩系数

φ 1d | 。该式积分 φ dP σ = const
( 16 )

由孔隙弹性理论的 W alsh ( 1965 ) 公式可知 , 固 体的体积弹性模量与骨架的体积弹性模量和孔隙体 积弹性模量间有一定的关系 (陈颙 , 1988 ) ,即 : 1 1 φ0 ( 20 ) = +
Kb Ks Kp

后得 : φ =φ φ0 exp ( cpΔP ) 0 exp [ cp ( P - P0 ) ] =

这样可以得到固体体积弹性模量与孔隙度和孔 隙压力差间的关系式为 :
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第 5 期                刘琦等 : 孔隙水压力对岩石力学参数的影响

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图 5  考虑耦合情况下岩石的体积弹性模量变化曲线 图 4  孔隙度对体积弹性模量的影响 (据 Charles, 2001)
Fig . 4  The dependence of bulk modulus on porosity ( from Charles, 2001 ) Fig . 5  Variation of bulk elastic modulus in consideration of coupling

1
Kb

=

1
Ks

+

φ0 φ ln Δp φ0

( 21 )

根据岩土体的本构关系可以得到 , 岩石的体积 应力与体积应变的关系式 : ν 1-2 ε (σv - 3 αP ) ( 23 ) v =
E

由 ( 21 )式可以看出 , 在不考虑固体骨架的压缩 性时 ,即不考虑 Ks 变化时 ,在孔隙压力变化 ,但孔隙 压差 ΔP 保持不变的情况 , 即等比例孔隙压力变化 情况下 ,岩体的体积弹性模量与孔隙度的变化呈反 比关系 。 Charles ( 2001 ) 通过不同的数值模型所作 的试验也表明了这一点 (图 4 ) 。

变换为 : σv - 3 P ε v = 3 Kb 其中体积弹性模量 Kb =
E

( 24 )

ν) 3 (1 - 2

,α = 1。

2  参数耦合分析
2. 1   耦合计算

由 ( 22 ) , ( 24 )式联立求解 , 可得体积弹性模量 Kb 随孔隙压力 P 变化的关系曲线 (图 5 ) 。由图 5 可以看出 ,在考虑耦合情况下 , 孔隙压力降低 , 岩石 的孔隙体积减小 ,岩石不断被压缩 ,其体积弹性模量 就会增大 。 2. 2   耦合与非耦合对比分析 在油藏开采过程中 ,随着孔隙压力不断消散 ,在 不考虑耦合情况下体积弹性模量认为是一个定值 , 根据体积应力与体积应变关系式 ( 24 ) , 体积应变仅 是孔隙压力的函数 ; 而考虑耦合情况时 ,岩石的体积 弹性模量随着孔隙压力的降低而增大 , 其体积应变 同时受孔隙压力和体积弹性模量控制 。 根据上节所给条件 , 以及所得的体积弹性模量 随孔隙水压力的变化结果 , 结合 ( 24 ) 式 , 经理论计 算可以得到考虑耦合与不考虑耦合情况下 , 体积应 变与孔隙压力间的关系曲线 (图 6 ) 。可以看出 , 考 虑耦合情况下体积应变仍随孔隙压力的降低而增 大 ,但其变形程度小于不考虑耦合情况的变形程度 。

油藏工程中 ,当岩石中采出流体时 ,岩石的孔隙 压力就会减小 ,由于通常情况下岩石的外应力即上 覆负荷应力保持不变 , 因而岩石的骨架应力就会相 应增大 ,使整个岩石被压缩 ,岩石的力学特性随之发 生变化 。下面对油藏开采过程中岩体的体积弹性模 量变化特征进行了分析 , 并对比分析了考虑耦合与 不考虑耦合作用下 , 孔隙压力变化对岩石的弹性性 质的影响 。 某油藏岩石介质的初始孔隙度 φ0 = 0. 36, 岩石 的体积应 力 σv = 7. 5 M Pa, 初 始 孔 隙 压 力 P0 = 2 M Pa,初始体积弹性模量 Kb = 26 M Pa,岩石骨架的体 积弹性模量 Ks = 2000 M Pa,有效应力系数 α = 1。 由 ( 21 )式与 ( 5 ) 式联立 , 可以得到体积弹性模 量与孔隙压力 、 体积应变间的关系式 : φ φ φ 1 φ 0 0 0 -ε v 1 1 (22) = + ln = + ln φ ( ε Kb Ks p - p0 φ K p p 1 0 s 0 0 v) 从式 ( 22 )可以看出 , 岩石的体积弹性模量同时 受孔隙压力以及体积应变的控制 , 在流体压力发生 变化的同时 ,体积应变也发生变化 ,两者同时影响岩 石的体积弹性模量 ,该式本身就隐含了耦合效应 。

3  结论
在多孔多相的岩石介质中 , 利用岩石的体积应 变在流固耦合作用中的传递作用 , 推导出孔隙水压 力变化时 ,岩石变形与孔隙度 、 压缩系数和体积弹性 模量间的关系式 。分别从耦合的两个方面研究了如
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图 6  体积应变与孔隙压力关系的对比曲线
Fig . 6 Relationship bet ween volumetric strain and pore p ressure

何通过参数的耦合来实现流固耦合效应的 , 对考虑 流固耦合情况下岩石的变形进行了简化分析计算 , 得出在孔隙压力降低的情况下 ,考虑耦合作用时 ,岩 石的体积弹性模量会增大 , 体积应变的值比不考虑 耦合作用的值偏低 。通过理论计算与分析表明 , 在 渗流场和变形场的非线性程度不很高 , 参数关系不 是很复杂的情况下 , 通过参数的更新来进行耦合分 析的方法对于近期工程应用是行之有效的 。 参考文献
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References
CHARLES P U. 2001. Sim ulation of elastic moduli for porous materials

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