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高中数学 第二章 平面向量 2.3 向量的坐标表示导学案 苏教版必修4


2.3 向量的坐标表示 课堂导学 三点剖析 1.平面向量基本定理的理解与应用 【例 1】已知 A(1,-2) 、B(2,1) 、C(3,2)和 D(-2,3) ,以 AB 、 AC 为一组基底来 表示 AD + BD + CD . 思路分析:本题主要考查向量的坐标表示、向量的坐标运算、平面向量基本定理以及待定系 数法等知识.求解时首先由点 A、B、C、D 的坐标求得向量 AB 、 AC 、 AD 、 BD 、 CD 等 的坐标,然后根据平面向量基本定理得到等式 AD + BD + CD =m· AB +n· AC ,再列出关 于 m、n 的方程组,进而解方程求出所表示的系数. 解: AB =(1,3) , AC =(2,4) , AD =(-3,5) , , CD =(-5,1) , BD =(-4,2) ∴ AD + BD + CD =(-3,5)+(-4,2)+(-5,1)=(-12,8). 根据平面向量基本定理,一定存在实数 m、n 使得 AD + BD + CD =m· AB +n· AC , ∴(-12,8)=m(1,3)+n(2,4). 也就是(-12,8)=(m+2n,3m+4n). 可得 ? ?m ? 2n ? ?12, ?3m ? 4n ? 8. 解得 ? ?m ? 32, ?n ? ?22. ∴ AD + BD + CD =32· AB -22· AC . 温馨提示 用一组基底 e1、e2 表示平面内的任何一个向量 a,应首先根据平面向量基本定理写成: a=λ 1e1+λ 2e2,然后代入各向量的坐标,转化成方程组,解得待定系数 λ 1、λ 2,这就是常用 的待定系数法. 2.向量的直角坐标运算法则与对向量平行的应用 【例 2】 平面内给定三个向量 a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1). (1)若(a+kc)∥(2b-a).求实数 k 的值. (2)设 d=(x,y)满足(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1.求 d. 思路分析: (1)将 a、b、c 的坐标代入 a+kc 和 2b-a 并分别求出其坐标,利用两向量共线的条件即可求得 k 值.(2)利用 d-c 与 a+b 共 线与|d-c|=1 列出两个关于 x、y 的方程,解方程即可. 解 : ( 1 ) ∵ ( a+kc ) a+kc=(3,2)+k(4,1)=(3,2)+(4k,k)=(3+4k,2+k),2b-a=2(-1,2)-(3,2)= =(-5,2).∴2×(3+4k)-(-5)(2+k)=0. ∴k= ? ∥(2b-a), 又 (-2,4)-(3,2) 16 . 13 (2)∵d-c=(x,y)-(4,1)=(x-4,y-1),a+b=(2,4),又(d-c)∥(a+b)且|d-c|=1, ∴? ?4( x ? 4) ? 2( y ? 1) ? 0, 2 2 ?( x ? 4) ? ( y ? 1) ? 1. ? ? 5 5 , ?x ? 4 ? , ?x ? 4 ? ? ? 5 5 解之得 ? 或? ?y ? 1 ? 2 5 ?y ? 1? 2 5 . ? ? 5 5 ? ? ∴d=( 20 ? 5 5 ? 2 5 20 ? 5 5 ? 2 5 , )或( , ). 5 5 5 5 温馨提示 向量的加减及实数与向量的积, 两向量共线的等价条件、 向量的模都可用于列方程求未 知数的值. 【例 3】平面内已知三个点 A(1,-2) ,B(7,0) ,C(-5,6).求 AB , AC , AB + AC , AB +

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