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福建省各地市2011年高考数学最新联考试题分类大汇编(4)数列


福建省各地市 2011年高考数学最新联考试题分类大汇编 第 4 部分:数列
一、选择题: 3. (福建省福州市 2011 年 3 月高中毕业班质量检查理科)已知数列 {an } 为等差数列,且

a1 ? a7 ? a13 ? ? , 则 tan( a2 ? a12 ) 的值为( B )
B. ? 3 C. ? 3 D. ?

A. 3

3 3

4. (福建省福州市 2011 年 3 月高中毕业班质量检查文科等差数列 {a n } 的前 n 项和为

S n , 若 a1 ? a 9 ? a11 ? 30 ,那么 S13 值的是( C )
A.65 B.70 C.130 D.260

5.(福建省厦门市 2011 年高三质量检查文科)已知等比数列 {an }的公比 q ? 2 ,其前 4 项和

S 5 ? 60, 则 a2 等于
A.8

( A ) B .6 C.—8 D.—6
*

2.(福建省莆 田市 2011 年高中毕业班质量检查理科) “点 Pn ( n , an )(n ? N ) 都在直线

y ? x ? 1 上”是“数列 {an } 为 等 差数列”的
A.充分但不必要条件 C.充要条件

( A )

B.必要但不充分条件 D.既不充分不必要条件

a 3. (福建省古田县 2011 年高中毕业班高考适应性测试理科)在数列 {a n } 中, n ?1 ? c a n( c
为非零常数) ,前 n 项和为 S n ? 3 ? k ,则实数 k 为:( C )
n

A.0

B.1

C. ? 1

D.2

4. (福建省四地六校联考 2011 届高三第三次月考理科)已知数列{an }的通项公式为

an ?

2 n ? 4n ? 5
2

则{an}的最大项是( B ) B.a2 C.a3 D.a4
2 3

A.a1 二、填空题:

12. (福建省福州市2011年3月高中毕业班质量检查理科)在等比数列 ?a n ? 中,首项 a1 ?



a4 ? ?

4 1

?1 ? 2 x ? dx ,则公比 q 为

3

.

15. (福建省福州市 2011 年 3 月高中毕业班质量检查理科)将杨辉三角中的奇数换成 1,偶数

换成 0,得到如图 1 所示的 0—1 三角数表.从上往下数,第 1 次全行的数都为 1 的是第 1 行,第 2 次全行的数都为 1 的是第 3 行,?,第 n 次全行的数都为 1 的是第 . 2n ? 1 第1行 第2行 第3行 第4行 第5行 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 行

?? ?????????????? 16. (福建省福州市 2011 年 3 月高中毕业班质量检查文科将正整数按下表的规律排列,把行 与列交叉处的一个数称为某行某列的数,记作 a ij (i , j ? N ) ,如第 2 行第 4 列的数是 15,
*

记作 a24 ? 15 ,则有序数对 ?a 82 , a 28 ? 是 1 2 9 10 …… 4 3 8 11 5 6 7 12 …… 16 15 14 13 …… …… …… …… …… ……
[来源:学科网 ZXXK]

. (51,63)

[来源:Zxxk.Com]

16.(福建省厦门市 2011 年高三质量检查文科)把正整数 1,2 ,3,4,5,6,??按某种规 律填入下表, 2 1
[来源:Zxxk.Com]

6 4 5
[来源:学&科&网]

10 8
[来源:Z_xx_k.Com]

14 12 13 15 列。
*

9

[来源:Z#xx#k.Com]

??

3

7

11 3 行第 1508
2

按照这种规律继续填写,2011 出现在第

14.(福建省厦门市 2011 年高三质 量检查理科)若 f ( n )为n ? 1( n ? N ) 的各位数字之和, 如:

6 2 ? 1 ? 37, f (6) ? 3 ? 7 ? 10.
f1 ( m ) ? f ( n ), f 2 ( n ) ? f ( f1 ( n )),? f k ?1 ( n ) ? f ( f k ( n )), k ? N * , 则f 2015 (4) = 8


12.(福建省四地六校联考 2011 届高三第三次月考理科)在数列{an}中,若 a1=1,an+1=2an+3 (n≥1),则该数列的通项 an=_________. 2
n?1

?3

12. (福建省三明市 2011 年高三三校联考理科) 设等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,已知

S10 ? ? (1 ? 2 x)?dx , S 20 ? 18 ,则 S 30 =
?0

?3

21

.

三、解答题:

[来源:Zxxk.Com]

17. (福建省福州市 2011 年 3 月高中毕业班质量检查文科(本小题满分 12 分) 等差数列 {an } 中,已知 a1 ? 3, a 4 ? 12 , (I)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 a 2 , a 4 分别为等比数列 {bn } 的第 1 项和第 2 项,试求数列 {bn } 的通项公式 及前 n 项和 S n . 17.解: (I)设数列 ?a n ? 的公差为 d , 由已知有 ? 解得 d ? 3

? a1 ? 3 ? a1 ? 3d ? 12

…………2 分 …………4 分 …………6 分

? a n ? 3 ? ?n ? 1?3 ? 3n

(Ⅱ)由(I)得 a 2 ? 6, a 4 ? 12 , 则 b1 ? 6, b2 ? 12 ,…………8 分 设 ?bn ? 的公比为 q , 则 q ? 从而 bn ? 6 ? 2
n ?1

b2 b1

? 2,

…………9 分

? 3 ? 2n

…………11 分

所以数列 ?bn ? 的前 n 项和 s n ?

6 1 ? 2n 1? 2

?

? ? 6?2

n

? 1 …………12 分

?

17.(福建省古田县 2011 年高中毕业班高考适应性测试文科)(本题满分 12 分) 某市投资甲、乙两个工厂,2008 年两工厂的产量均为 100 万吨,在今后的若干年内, 甲工厂的年产量每年比上一年增加 10 万吨,乙工厂第 n 年比上一年增加 2 年为第一年,甲、乙两工厂第 n 年的年产量分别为 a n 万吨和 bn 万吨. (Ⅰ)求数列 ? a n ? , ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)若某工厂年产量超过另一工厂年产量的 2 倍,则将另一工厂兼并,问到哪一年 底,其中哪一个工厂被另一个工厂兼并. 17. (Ⅰ) an ? 10 n ? 90 , bn ? 2 ? 98
n

n?1

万吨,记 2008

?????6 分 ?????12 分

(Ⅱ)2015 年底甲工厂将被乙工厂兼并。

19(福建省四地六校 联考 2011 届高三第三次月考理科)(本题满分 13 分)

数列 ?a n ? 满足 a1 ? 1, a 2 ? 2, a n ? 2 ? ?1 ?

? ?

1 3

cos 2

n? ? 2 n? , n ? 1,2,3 ? ? ? ? a n ? 2 sin 2 ? 2

(1)求 a 3 , a 4 及数列 ?a n ? 的通项公式;(2)设 S n ? a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a n ,求 S 2 n ;

解: (1)
?? ? ? 1 a3 ? ?1 ? cos 2 ? a1 ? 2 sin 2 ? a1 ? 2 ? 1 ? 2 ? 3 2? 2 ? 3
1 1? 2 4 ? ? 2 2? ? 2 2? a 4 ? ?1 ? c o s ? ?1 ? ? a 2 ? ? 2 ? ?a 2 ? 2 s i n 3 2 ? 2 3? 3 3 ? ?
一般地,即

----2 分

a 2 n ?1 a 2 n ?1
-

=2

2n ? 1 ? ? 1 2 2n ? 1 a 2 n ?1 ? ?1 ? cos 2 ? ? a 2 n ?1 ? 2 即数列{ a 2 n ?1 }是以 a1 ? 1 , ? a 2 n ?1 ? 2 sin 3 2 ? 2 ?
公差为 2 的等差数列。? a 2 n ?1 ? 2 n ? 1

----4 分

1 2n ? 2n 2 ? 又 ? a 2 m ? 2 ? ?1 ? cos 2 ? ? a 2 n ? 2 sin 2 ? ? a2n 3 2 ? 2 3 ?
?2? }是首项为 a 2 ? 2 ,公比为 3 的等比数列? a 2 n ? a 2 ? ? ?3?

2

即数列{

a2n

n ?1

?2? ? 2? ? ?3?

n ?1

--6 分

? n, n ? 2 m ? 1, m ? N ? ? ? n?2 综上可得 a n ? ? ?2? 2 ? ? 2? ? , n ? 2 m , m ? N ? ? ?3?

----8 分

(2) S 2 n ? a1 ? a 2 ? ? ? ? ? ? a 2 n ?1 ? a 2 n ? ?a1 ? a 3 ? ? ? ? ? a 2 n ?1 ? ? ?a 2 ? a 4 ? ? ? ? ? a 2 n ?
n ?1 n ? 4 ?2? ? ?2? 2 ? ?1 ? 3 ? ? ? ? ? ?2 n ? 1?? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? n ? 6 ? 6 ? ? ? 3 ?3? ? ? 3 ? ---13 分 ? ? ?

17、(福建省三明市 2011 年高三三校联考文科)(本小题满分 12 分)已知等差数列 ?a n ? 和正 项等比数列 ?b n ? , a1 ? b1 ? 1 , a 3 ? a 7 ? 10 , b 3 = a 4 (1)求数列 ?a n ? 、 ?b n ? 的通项公式 (2)若 c n ? a n ? bn ,求数列 ?c n ? 的前 n 项和 T n

n ?1 (2)∵ c n ? a n ? b n = n ? 2

∴ ∴

T n = 1 ? 2 0 ? 2 ? 21 ? 3 ? 2 2 ? ? ? n ? 2 n ?1
2T n


1 ? 21 ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 2 3 ? ? ? ( n ? 1) ? 2 n ?1 ? n ? 2 n
0 1 2 n ?1

以上两式相减,得- T n = 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2

? n ? 2 n ?????????9 分



1 ? (1 ? 2 n ) 1? 2

? n ? 2 n = (1 ? n ) ? 2 n ? 1



T n = ( n ? 1) ? 2 n ? 1 ????????????????????????12 分
已知等差数列 {an } 的 (1)

19.(福建省三明市 2011 年高三三校联考理科) (本题满分 13 分)

首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 0 .且 a2 ,a5 ,a14 分别是等比数列 {bn } 的 b2 , b3 , b4 . 求数列 {an } 与 {bn } 的通项公式; ( 2 ) 设 数 列 {c n } 对 任 意 自 然 数 n 均 有 :
c1 ? c2 ? c3 ? ? ? c2010 的值。

c1 c2 c ? ? ? ? n ? a n ?1 成 立 . 求 b1 b2 bn

19.解: (1)∵a2=1+d ,a5=1+4d ,a14=1+13d,且 a2、a5、a14 成等比数列 ∴ (1 ? 4 d ) ? (1 ? d )(1 ? 13 d )
2

即d ? 2

∴ an ? 1 ? ( n ? 1) ? 2 ? 2 n ? 1

????3 分 又 ∵

b2 ? a2 ? 3,

b3 ? a5 ? 9

.



q ? 3, b1 ? 1, bn ? 3n ?1

???????6 分 (2)∵

C C1 C 2 ? ? ? ? n ? a n ?1 b1 b2 bn





C1 b1

? a2

即 C1 ? b1 a 2 ? 3



C1 b1

?

C2 b2

???

C n ?1 bn ?1

? a n ( n ? 2)



① - ② :

Cn bn

? a n ?1 ? a n ? 2
?3 ?2 ? 3
n ?1

∴ C n ? 2 ? bn ? 2 ? 3 ????10 分 ∴

n ?1

( n ? 2)

∴ Cn ? ?

( n ? 1) ( n ? 2)

C1 ? C 2 ? C3 ? ? ? C 2010 ? 3 ? 2 ? 31 ? 2 ? 32 ? ? ? 2 ? 32010 ?1 3(1 ? 32009 ) 1? 3 ? 32010
???????13 分

? 3 ? 2 ? (31 ? 32 ? 33 ? ? ? 32009 ) ? 3 ? 2 ?


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