3.1.4--3.1.5空间向量的正交分解及其坐标表示

3.1.4 空间向量的正交分解 及坐标表示

1

复习： 平面向量基本定理：

如果e1，是同一平面内的两个不共线向量， e2 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有 一对实数?1，?2，使a＝?1 e1＋?2 e2。 （e1、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。） e2
y

平面向量的正交分解及坐标表示

a
j
o i x

a ? xi ? y j
i ? (1,0), j ? (0,1),0 ? (0,0).

在空间中，能得出类似的结论: 一、空间向量基本定理：

如果三个向量 a, b, c 不共面，那么对空间任一
向量 p ，存在一个唯一的有序实数组x，y，z， 使

p ? xa ? yb ? zc.

任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。

a, b, c 都叫做基向量

解读：
1、空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量 的一组基底 2、由于零向量与任意向量都共线，与任意两个向量 都共面，所以三个向量不共面，隐含它们都不是零 向量。

3、用空间三个不共面的已知向量组可以线性表示 出空间任意向量，且表示的结果唯一。

4

空间向量的直角坐标：
给定一个空间坐标系和向 量 p,且设e1,e2,e3为坐标向量， 由空间向量基本定理，存在唯 一的有序实数组(x,y, z)使 p = xe1+ye2+ze3 有序数组( x, y, z)叫做p在空间 直角坐标系O--xyz中的坐标， 记作.P=(x,y,z)其中x叫做点A的 横坐标，y叫做点A的纵坐标， z叫做点A的竖坐标.
e3 e1 O e2 y

z

A(x,y,z)

x

3.1.5 空间向量运算的坐 标表示

空间向量类似于平面向量可以用坐标表示 ,而且 也类似于平面向量可以用坐标来进行各种运算及进行 有关判断. 设a ? (a1，a2，a3 )，b ? (b1，b2，b3 )，则
a ? b ? (a 1 ?b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ;

a ? b ? (a 1 ?b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ;

?a ? (?a1 , ?a2 , ?a3 ),(? ? R) ;
a // b ? a1 ? ?b1 , a2 ? ?b2 , a3 ? ?b3 (? ? R) ; a // b且a、b均各坐标值非0 ? a1 / b1 ? a2 / b2 ? a3 / b3
规定： 0? a ? 0

.

如果知道有向线段的起点和终点的坐标, 那么有向线段表示的向量坐标怎样求? 结论：若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则

AB = OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1)
=(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1)
空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个
向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.

1.中点坐标公式 已知 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) x1 ? x2 y1 ? y2 z1 ? z2 , , ) 则线段 AB 的中点坐标为 ( 2 2 2 2.空间向量数量积的坐标表示：

设空间两个非零向量 a ? ( x1，y1，z1 )，b ? ( x2，y2，z2 )，
则a ? b ? x1x2 ? y1 y2 ? z1z2
3.长度的计算 已知 a ? ( x, y, z ) ,则 a ?
x2 ? y2 ? z2

4.空间两点间的距离公式 B( x2 , y2 , z2 ) 已知 A( x1 , y1 , z1 ) 、

，则

AB ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? ( z2 ? z1 ) 2

5.角度的计算 已知空间两非零向量 a ? ( x1 , y1 , z1 ) , b ? ( x2 , y2 , z2 ) 则 cos a , b ?
a?b a?b ? x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 x12 ? y12 ? z12 ? x2 2 ? y2 2 ? z2 2

a 与 b 同向； 注意：（1）当 cos ? a , b ?? 1 时，
（2）当cos ? a , b ?? ?1 时， a 与 b 反向；
（3）当 cos ? a , b ?? 0 时，a ? b 。
6.空间两非零向量垂直的条件

a ? b ? a ? b ? 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? z1z2 ? 0
思考：当 0 ? cos ? a , b ?? 1 及 夹角在什么范围内？
?1 ? cos ? a , b ??时， 0

1、将空间向量的运算与坐标表示结合起来， 不仅可以解决夹角和距离的计算问题， 而且可以使一些问题的解决变得简单 2、几何问题---向量问题---向量坐标问题 3、几何推理---向量坐标计算

练习：
1.求下列两点间的距离：
(1) A(1,1, 0) , B(1,1,1) ; (2) C (?3 ,1, 5) , D(0 , ? 2 , 3) .

2.求下列两个向量的夹角：
(1) a ? (2 , ? 3 , 3)，b ? (1, 0 , 0) ; (2) a ? (?1, ? 1,1)，b ? (?1, 0 ,1) ;

ABCD ,顶点 A(1,0,0), B(0,1,0) , C (0,0,2) , 3．已知 (1,-1,2) 则顶点 D 的坐标为______________;
4． Rt △ ABC 中, ?BAC ? 90 , A(2,1,1), B(1,1, 2) , C ( x,0,1) ,则 x ? ____; 2

例1 已知 A(3 , 3 ,1)、B(1, 0 , 5) ，求： （2）到 A 、B 两点距离相等的点 P ( x , y , z ) 的 坐标 x , y , z 满足的条件。 解：点P ( x , y , z )到 A 、B 的距离相等，则
( x ? 3) 2 ? ( y ? 3) 2 ? ( z ? 1) 2 ? ( x ? 1) 2 ? ( y ? 0) 2 ? ( z ? 5) 2 ,

化简整理，得 4 x ? 6 y ? 8z ? 7 ? 0 即到A 、B 两点距离相等的点的坐标 ( x , y , z ) 满 足的条件是 4 x ? 6 y ? 8z ? 7 ? 0

例2：已知两点（， A 1 2， 3），（ B 2， 1， 2），（， P 11， 2），点Q在 OP上运动，求当QA ? QB取得最小值时，点Q的坐标。

解： 设OQ ? ?OP ? (?, ?, 2?),
?QA ? QB ? 6? 2 ?16? ? 10
4 2 ?当? ? 时， QA ? QB取得最小值 ? 3 3 4 4 8 此时Q （ ， ，） 3 3 3

（教材P96 例5)如图， 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中，
A1 B1 B1 E1 ? D1 F1 ? ，求 BE1 与 DF1 所成的角的余弦值. 4

z
D1 A1 F1 E1 B1 C1

D

O
B

C

y

A

x

（教材P96 例6) 如图，正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中， E ， F 分别是 BB1 ， D1 B1 中点，求证： EF ? DA1
证明：如图，不妨设正方体的棱长为 1， 分别以 DA 、 DC 、 DD1 为单位正交基底 建立空间直角坐标系 Oxyz ， 1 1 1 则 E (1 , 1 , ) ， F ( , , 1) 2 2 2 1 1 1 所以 EF ? ( ? , ? , ) ， 2 2 2 又 A1 (1 , 0 , 1) ， D(0 , 0 , 0) ，

所以 DA1 ? (1, 0 , 1)
1 1 1 所以 EF ? DA1 ? ( ? , ? , ) ? (1 , 0 , 1) ? 0 ， 2 2 2 因此 EF ? DA1 ，即 EF ? DA1

例5.在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中，E、F分别是BB1,， CD中点，求证：D1F ? 平面ADE
以DA??， ??DC??,??DD1为单位正交 证明：设正方体棱长为1， 基底，建立如图所示坐标系D-xyz，则可得：

1 DA ? (1, 0, 0)， DE ? (1,1, , ) 2 1 因为D1 F ? (0, , ?1) 2 所以D1 F ? DA ? 0??， ??

D1

z

C1 B1 E

A1

???????? D1 F ? DE ? 0

D

即D1F ? DA??， ??D1F ? DE
即 D1F ? DA,D1F ? DE,又DE 所以 D1 F ? 平面ADE

F B

C y

A
x

DA ? D

例：如图，在直三棱柱ABC -A1 B1C1中，?ACB =900， ?BAC =30 ，BC =1，A1 A= 6，M 是棱CC1的中点。
0

求证：A1 B ? AM。
z
B1 C1 A1 C1

z
B1

A
1

M

y

M B C A

x
C B

y

x

A

练习：
z
C1 A1 M B1

N C

建立空间直角坐 标系来解题。

A

B

x

y