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【轻松突破120分】2014高考数学精炼10 理


2014 高考数学(理)轻松突破 120 分 10
【选题明细表】 知识点、方法 空间直角坐标系 空间向量的线性运算 共线、共面向量定理以及应用 空间向量的数量积以及应用 一、选择题 1.已知 a=(2,3,-4),b=(-4,-3,-2),b= x-2a,则 x 等于( (A)(0,3,-6) (B)(0,6,-20) (C)(0,6,-6) (D)(6,6,-6) 解析:由 b= x-2a, 得 x=4a+2b=(8,12,-16)+(-8,-6,-4)=(0,6,-20). 故选 B. 2.设 A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),AB 的中点为 M,则|CM|等于( (A) (B) (C) (D) B ) 题号 2、4、5、7、10 1、8 3 6、9、11

C )

解析:设 M(x,y,z), 则 x= =2,y= = ,z= =3,即 M ,

|CM|=

=

.故选 C.

3.在下列命题中: ①若向量 a、b 共线,则向量 a、b 所在的直线平行; ②若三个向量 a、b、c 两两共面,则向量 a、b、c 共面; ③已知空间的三个向量 a、b、c,则对于空间的任意一个向量 p,总存在实数 x、y、z,使得 p=xa+yb+zc. 其中正确命题的个数是( A ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 解析:a 与 b 共线,a、b 所在直线也可能重合,故①不正确;三个向量 a、b、c 中任两个一定共 面,但它们三个却不一定共面,故②不正确;只有当 a、b、c 不共面时,空间任意一向量 p 才能 表示为 p=xa+yb+zc,若三个向量共面,则不能表示空间任意向量,故③不正确,综上可知三个命 题中正确的个数为 0,故选 A. 4.正方体不在同一表面上的两个顶点为 A(-1,2,-1),B(3,-2,3),则正方体的体积为( C ) (A)8 (B)27 (C)64 (D)128
-1-

解析:由于 A、B 是正方体上不共面的两个顶点, 则 A、B 必为正方体一对角线的两顶点, 由于|AB|=
3

=4

,

故正方体的边长为 4,体积为 4 =64. 故选 C. 5.以棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱 AB、AD、AA1 所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标 系,如图所示,则正方形 AA1B1B 的对角线交点的坐标为( B )

(A)

(B)

(C)

(D)

解析:连接 AB1 和 A1B 交于点 O.

据题意知 AB1 与 A1B 的交点即为 AB1 的中点. 由题意得 A(0,0,0),B1(1,0,1), ∴AB1 的中点坐标为 故选 B. ,

6.如图所示,已知空间四边形 OABC 中,|OB|=|OC|,且∠AOB=∠AOC,则



夹角θ 的余弦值

-2-

为( A ) (A)0 (B) (C) (D)

解析:设

=a,

=b,

=c.

由已知条件∠AOB=∠AOC,且|b|=|c|, · =a·(c-b)=a·c-a·b=

|a||c|cos∠AOC-|a||b|cos∠AOB=0, ∴cos θ =0. 故选 A. 二、填空题 7. 在空间直角坐标系中 ,点 P(1, , ), 过点 P 作平面 yOz 的垂线 PQ, 则垂足 Q 的坐标

为 . 解析:由题意知点 Q 即为点 P 在平面 yOz 内的射影, 所以垂足 Q 的坐标为(0, 答案:(0, , ) , ).

8.已知空间四边形 OABC,点 M、N 分别是 OA、BC 的中点,且

=a,

=b,

=c,用 a、b、c 表示

向量

=

.

解析:如图所示,

= (

+

)

= [(

-

)+(

-

)]

= (

+

-2

)
-3-

= (

+

-

)= (b+c-a).

答案: (b+c-a) 9.已知 ABCDA1B1C1D1 为正方体, ①( + + ) =3
2

;



·(

-

)=0;

③向量

与向量

的夹角是 60°;

④正方体 ABCDA1B1C1D1 的体积为| 其中正确的序号是 解析:①中,( + + . )=
2

·

·

|.

+

+

=3

,故①正确;

②中,

-

=

,因为 AB1⊥A1C,故②正确;

③中,两异面直线 A1B 与 AD1 所成的角为 60°,但



的夹角为 120°,故③不正确;

④中,|

·

·

|=0,

故④也不正确. 答案:①② 三、解答题 10.在空间直角坐标系中,|BC|=2,原点 O 是 BC 的中点,点 D 在平面 yOz 上,且∠BDC=90°,∠ DCB=30°,求点 D 的坐标.

-4-

解:过 D 作 DE⊥BC,垂足为 E.

在 Rt△BCD 中,由∠BDC=90°, ∠DCB=30°,|BC|=2 得|BD|=1,|CD|= ,

∴|DE|=|CD|sin 30°= , |OE|=|OB|-|BE|=|OB|-|BD|cos 60°= 1- = ,

∴点 D 的坐标为

.

11.如图所示,已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等于 1,点 E、F、G 分别是 AB、AD、 CD 的中点,计算:

(1)

·

;

(2)

·

;

(3)EG 的长; (4)异面直线 AG 与 CE 所成角的余弦值. 解:设 =a, =b, =c.

则|a|=|b|=|c|=1, <a,b>=<b,c>=<c,a>=60°. = = c- a, =-a, =b-c,

(1)

·

=

·(-a)
-5-

= a - a·c= ;

2

(2)

·

= (c-a)·(b-c)

= (b·c-a·b-c +a·c)=- ;

2

(3)

=

+

+

= a+b-a+ c- b=- a+ b+ c.

|

| = a + b + c - a·b+ b·c- c·a

2

2

2

2

= ,

即|

|= ,

所以 EG 的长为 .

(4)设



的夹角为θ .

= b+ c,

=

+

=-b+ a,

cos θ =

=- ,

由于异面直线所成角的范围是(0°,90°], 所以异面直线 AG 与 CE 所成角的余弦值为 .

-6-

-7-


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