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广东省揭阳一中、潮州金山中学2013届高三上学期联合摸底考试 数学文


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广东省揭阳一中、潮州金山中学 2013 届高三上学期联合摸底考试

数学(文)试题
本试卷分共 21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 参考公式:V=

1 Sh (S 是锥体的底面积,h 是锥体的高) 3

? ? ? ? 线性回归方程 y ? a ? bx中系数公式b ?

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y ? nx
2

?x
i ?1

? ? , a ? y ? bx

2 i

第Ⅰ卷(选择题

共 50 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求。 ) 1.设集合 P ? {1, 2,3, 4}, Q ? {3, 4,5,6}, 则P ? Q = A. ? 2.复数 B.{3,4} C.{1,2,5,6} D.{1,2,3,4,5,6}

1? i 的值是 1? i

A.1 B.—i C.i D.—1 3.从某小学随机抽取 100 名同学,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如右 图) 。由图中数据可知身高在[120,130]内的学生人数为 A.20 B.25 C.30 D.35 4.设 {an } 是等差数列,且 a2 ? a3 ? a4 ? 15, 则这个数列的前 5 项和 S5= A.10 B.15 C.20 D.25 5.函数 f ( x) ? x ? lg x ? 3 的零点所在区间为 A. (3, ??) B. (2,3) C. (1,2) D. (0,1)

6.已知 ? 为第四象限的角,且 sin(

?
2

??) ?

4 , 则 tan ? = 5
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A. ?

3 4

B.

3 4

C. ?

4 3

D.

4 3

7.平面向量 a 与 b 的夹角为 60°, a ? (2,0),| b |? 1, 则 | a ? 2b | 等于 A. 3 B.2 3 C.4 D.12

8.如图,一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰三角形,且直角边长为 1,那么 这个几何体的体积为 A.1

1 2 1 C. 3 1 D. 6
B.

x2 y 2 9.已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2,且 | F1 F2 |? 2c ,若点 P 在椭圆上, a b
且满足 PF2 ? F1 F2 ? 0, PF2 ? PF2 ? c 2 ,则该椭圆的离心率等于

???? ????? ?
5 ?1 2

???? ???? ? ?
3 ?1 2

A.

B.

C.

1 2

D.

2 2

10 . 若 在 曲 线 f ( x, y) ? 0(或y ? f ( x)) 上 两 个 不 同 点 处 的 切 线 重 合 , 则 称 这 条 切 线 为 曲 线 。 f ( x, y) ? 0或y=f(x) 的 “ 自 公 切 线 ” 下 列 方 程 : ① x2 ? y 2 ? 1; ② y ? x2 ? | x |; ③

y ? 3sin x ? 4cos x; ④ | x | ?1 ? 4 ? y 2 对应的曲线中存在“自公切线”的有
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题(本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。 ) (一)必选题(第 11 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答) 11.函数 f ( x ) ? ln

x ?1 的定义域为 1 ? 2x

.

? x ? 1, ? , 12.若实数 x、y 满足不等式组 ? y ? x ? 1 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
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则 z=2x+y 的最大值为 . 13.已知某程序框如图所示,则执行该程序后输出的 结果为 .

(二)选做题(14—15 题,考生只能从中选做一题,两道题都做的,只记第一题的分) 14. (坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? 以原点 O 为极点,以 x 轴的正半轴为极轴建立极 坐标,曲线 c 的极坐标方程为 ? ? 4 2 sin(? ?

? x ? t, (t 为参数) , y ? 4?t ?

?
4

),

则直线 l 和曲线 C 的公共点有 个. 15.(几何证明选讲选做题)已知 PA 是圆 O 的切线, 线点为 A,直线 PO 交圆 O 于 B,C 两点,AC=2, ∠PAB=120°,则圆 O 的面积为 . 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤。 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ? ? ) 为偶函数,周期为 2 ? . (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)若 ? ? (?

? ?

? 1 2? , ), f (? ? ) ? , 求 sin(2? ? ) 的值. 3 2 3 3 3

17. (本小题满分 12 分)一商场对每天进店人数和商品销售件数进行了统计对比,得到如下表格:

人数 xi

10

15

20

25

30

35

40

件数 yi

4

7

12

15

20

23

27

2 3 4 5 6 7 其中 i ? 1, ,, ,, , .
(Ⅰ)以每天进店人数为横轴,每天商品销售件数为纵轴,画出散点 图. (Ⅱ)求回归直线方程. (结果保留到小数点后两位) (Ⅲ)预测进店人数为 80 人时,商品销售的件数. (结果保留整数) (参考数据:

? xi yi ? 3245 , y ? 15.43 , ? xi2 ? 5075 , 7( x)2 ? 4375 ,
i=1 i ?1

7

7

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7 x y ? 2695 )

? 18. 本小题满分 14 分) ( 如图, PAD 为等边三角形,ABCD



矩 形 , 平 面 PAD ? 平 面 A B C D, AB ? 2 , E 、F 、G 分 别 为 PA 、 BC 、 PD 中 点 ,

AD ? 2 2 .
(Ⅰ)求证:EF//平面 PCD. (Ⅱ)求证: AG ? EF (Ⅲ)求多面体 P ? AGF 的体积.

19. (本小题满分 14 分) 在数列 {an } 中,已知 a1 ? 1,.an ? an?1 ? an?2 ? ? ? a2 ? a1 (n ? N*, n ? 2) . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)若 bn ? log 2 , an , m 的取值范围。

1 1 1 ? ??? ? m 对于任意的 n ? N * ,且 n ? 3 恒成立,求 b3b4 b4 b5 bn bn?1

20. (本小题满分 14 分)如图,在△ABC 中, | AB |?| AC |? 以 B、C 为焦点的椭圆恰好过 AC 的中点 P。 (1)求椭圆的标准方程;

7 ,| BC |? 2 ,原点 O 是 BC 的中点, 2

(2)过椭圆的右顶点 A1 作直线 l 与圆 E : ( x ? 1)2 ? y 2 ? ? 2 相交于 M、N 两点,试探究点 M、 N 能将圆 E 分割成弧长比值为 1:3 的两段弧吗?若能,求出直线 l 的方程;若不能,请说明理由。
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21. (本小题满分 14 分)

ex 已知函数 f ( x) ? 2 (a ? 0). x ? ax ? 1
(1)求函数 f ( x ) 的定义域; (2)试讨论函数 f ( x ) 的单调区间;

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