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公开课课件;空间中直线与直线之间的位置关系


2.1.2空间中直线与直线 之间的位置关系
主讲老师:田斌

复习引入: 1、同一平面内不重合两条直线有几种位置 关系?
(1)、相交:有且仅有一个公共点。 (2)、平行:在同一平面内没有公共点。

2、在同一平面内,同平行于一条直线的两 条直线有什么位置关系? 互相平行 提出问题:空间中的两条直线呢?

1.空间中两条直线的位置关系 观察: 观察教室内的日光灯管所在直线与黑 板的左右两侧所在的直线,想一想:它 们相交吗?平行吗?共面吗? 观察上方体的棱所在 直线,回答类似的问题.

思考:我们把具有上述特征的两条 直线取个怎样的名字才好呢?

螺 母
e a
f b

c d

南海万泉河立交桥

请为异面直线选择合适的定义:
A、空间中不相交的两条直线; B、某平面内的一条直线和这平面 外的直线; C、分别在不同平面内的两条直线; D、不在同一平面内的两条直线。 E、不同在任一平面内的两条直线;

异面直线的定义: 我们把不同在任何一个平面内的两条直线 叫做异面直线(skew lines)。 想一想:怎样通过图形来表示异面直线? 为了表示异面直线a,b不共面的特点,作图 时,通常用一个或两个平面衬托。如下图:
m
?

m

l

l

2、空间中两直线的三种位置关系
1、相交 m l 2、平行 m 3、异面直线 m

P

l

l

P

只有一个公共点

没有公共点

没有公共点 不同在任一平面

在同一平面

空间中两直线的位置关系
m
ll P

m
l

图 图 1 2 从图中可见,直线 l 与 m 既不相交,也不平行。空间中 直线之间的这种关系称为异面直线。

异面直线的画法: 通常用一个或两个平面来衬托,异面直线 不同在任何一个平面的特点
a
?

b
a
b

?

b
?

?

a

练习:
1、一条直线与两条异面直线中的一条相交, 那么它与另一条之间的位置关系是( )
A、平行 B、相交

C、异面 D、可能平行、可能相交、可能异面 2、两条异面直线指的是( ) A、没有公共点的两条直线 B、分别位于两个不同平面的两条直线 C、某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线 D、不同在任何一个平面内的两条直线

想一想,做一做: 1.已知M、N分别是长方体的棱C1D1与CC1上的 点,那么MN与AB所在的直线是异面直线吗?
D1
M

C1

A1

B1
N

D
A

C
B

想一想,做一做: 2. 下图是一个正方体的展开图,如果将它 还原成正方体,那么AB,CD,EF,GH这 四条线段所在直线是异面直线的有几对?

C G H E F

A
D B

三对 AB与CD

AB与GH
EF与GH

探究:
G

C

A
A D B H G(C) F E D F(B)

H

E

AB,CD,EF,GH这四条线段所在的直线是异 面直线的有几对?相交直线有几对?平行直 线有几对?

空间中两条直线的位置关系 空间两条直线的位置关系有且只有三种
? ?平行直线 ?共面直线 ? ? ?相交直线 ? 异面直线 ?

位置关系 相交

只有一个 没有 没有

公共点个 数

是否共面

共面 共面 不共面

平行
异面

定义 经过空间任一点分别作两条直线的平行
线,这两条平行线所成的锐角(或直角) 叫做两条异面直线所成的角或夹角。
b
b'

? ?

O

a'

?

O'

a

两条异面直线a和b所成的角的大小,只与 它们的位置有关,而与点 o 位置无关。

三、两条异面直线所成的角
任选 如图所示,a,b是两条异面直线,在空间中任选一点 O, 过O点分别作 a,b的平行线 a′和 b′, 则这两条线所成 的锐角θ(或直角),称为异面直线a,b所成的角。 b a′ ? O P a b′

a′

θ

O

平 移

若两条异面直线所成角为90°,则称它们互相垂直。 异面直线a与b垂直也记作a⊥b 异面直线所成角θ的取值范围:

a?b
a

b a'

?

O

?
如果两条异面直线所成的角为直角, 那么就称这两条异面直线垂直。

例1: (2)求直线BA1和CC1所成角的度数。

D1

C1

A1

B1

45
C

o

D
A

B

例1: (3)哪些棱所在直线与直线AA1垂直?

D1

C1

A1

B1

D
A

C

B

二、空间直线的平行关系
1、平行关系的传递性

公理4 平行于同一直线的两直线互相平行
若a∥b,b∥c, 则a∥c

c

a a b
c

α

例1:在正方体ABCD—A1B1C1D1中,直线 AB与 C1D1 ,AD1与 BC1 是什么位置关系?为什么?
D C1

A1
练习:在上例中,AA1与CC1,AC与A1C1

1

B1
C B

的位置是什么关系? A

D

2. 空间两平行直线 提出问题:在同一平面内,如果两条直线 都与第三条直线平行,那么这两条直线互 相平行。在空间中,是否有类似的规律?
' ' ' ' ABCD ? A B C D 中, BB'∥ AA' 观察:如图2.1.2-5,长方体

DD'∥ AA'

那么 BB ' 与 DD' 平行吗?
D' C'

A' D A

B' C

B

D
A 9 0 ° 1)直线AD1与B1C所成的夹角
1 1

C
B
1 1

2)与棱BB1垂直的棱有: 相交: A1B1、 AB、 B1C1、 BC、 A D1 A1 相交垂直 垂直 异面垂直 A

D B

C

异面: A1D1、AD、D1C1、 DC、

C1 B1

D B

C

公理4:平行于同一条直线的两条直线互相 平行。
公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间 这个性质都适用。 公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。
符号表示:设空间中的三条直线分别为a, b, c,若

a∥ b

a∥ c

c∥b
想一想:空间中,如果两条直线都与第三条直 线垂直,是否也有类似的规律?

例题示范
例1: 在空间四边形ABCD中,E,F,G,H 分别是AB,BC,CD,DA的中点。 求证:四边形EFGH是平行四边形。
分析: 欲证EFGH是一个平行四边形 只需证EH∥FG且EH=FG E A H D G

连结BD,只需证: 1 EH ∥BD且EH = BD

2 1 FG ∥BD且FG = BD 2

B

F

C

E,F,G,H分别是各边中点

例题示范
例1: 在空间四边形ABCD中,E,F,G,H 分别是AB,BC,CD,DA的中点。 求证:四边形EFGH是平行四边形。
证明: 连结BD
∵ EH是△ABD的中位线 1 ∴EH ∥BD且EH = BD 2 1 同理,FG ∥BD且FG = BD E D G A H

2

∴EH ∥FG且EH =FG ∴EFGH是一个平行四边形

B

F

C

变式一:
在例2中,如果再加上条件AC=BD,那 么四边形EFGH是什么图形? A

菱形
分析: 在例题2的基础上 我们只需要证明平行四 边形的两条邻边相等。
B

E

H
D F G C

5. 异面直线的判定定理
异面直线定理:连结平面内一 点与平面外一点的直线,和这 个平面内不经过此点的直线是 异面直线

A ?? , B ?? , l ? ? , B ? l ?
王新敞
奎屯 新疆

AB

与 l 是异面直线

王新敞
奎屯

新疆

课堂小结: 这节课我们学习了两条直线的位置关系(平行、 相交、异面),平行公理和等角定理及其推 论.异面直线的概念、判断及异面直线夹角的概 念; 证明两直线异面的一般方法是“反证法”或“判 定定理”;求异面直线的夹角的一般步骤是: “作—证—算—答”
王新敞
奎屯 新疆

作业布置: P51 A组3、4(1)(2)(3)、5、6.

练习反馈:

1. 判断: (1)平行于同一直线的两条直线平行.(√ ) (2)垂直于同一直线的两条直线平行.( × ) (3)过直线外一点,有且只有一条直线与已知 直线平行 . (√ ) (4)与已知直线平行且距离等于定长的直线只 × ) 有两条. ( (5)若一个角的两边分别与另一个角的两边平 行,那么这两个角相等(×) (6)若两条相交直线和另两条相交直线分别平 行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相 等. √ ( )
王新敞
奎屯 新疆

小结

空间直线
①从有无公共点的角度:
有且仅有一个公共点---------相交直线 平行直线 没有公共点--------异面直线 不同在任何一个平面内---------异面直线 相交直线 在同一平面内-------平行直线

②从是否共面的角度

公理4 平行同一条直线的两条直线互相平行

今天所讲的知识你学会了吗?
1、空间中两直线的位置关系 2、空间直线的平行关系及相关定理

如果你学会了,请完成下列作业!
3、异面直线的定义及两条异面直线 所成的角

如果你还没学会,请通过下列作业 把它学会!

作业:
1.P56 A组 3.4(1)(2)(3) B组 1 (做在书上) 2.P56 A组 6(做在作业本上)


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