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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修5第三章3.5.2简单线性规划(二)课件_图文

3.5.2(二)

3.5.2 简单线性规划(二)
学习要求 1.准确利用线性规划知识求解目标函数的最值.
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2.掌握线性规划实际问题中的两种常见类型. 学法指导 1.线性规划在实际生产和生活中应用十分广泛,应通过具体实 例体会如何在解决实际问题中建立线性规划模型,并准确运 用图解法解决问题. 2.最优整数解问题,可以先不考虑x,y取整数的限制,获得一 般的最优解后,再在可行域内适当调整,从而确定最优整数 解即可.

填一填·知识要点、记下疑难点

3.5.2(二)

1.线性规划中的基本概念 名称
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意义

约束条件 线性约束条件 目标函数 线性目标函数 可行解 可行域

不等式或方程 由变量x,y组成的________________ 一次 由x,y的______不等式(或方程)组成的不
等式组 欲求最大值或最小值所涉及的变量x,y 的函数解析式

一次 关于x,y的______解析式

线性约束条件 满足________________的解(x,y)
可行解 所有________组成的集合

填一填·知识要点、记下疑难点

3.5.2(二)

2.用图解法解线性规划问题的步骤: (1)分析并将已知数据列出表格;
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(2)确定线性约束条件; (3)确定线性目标函数; (4)画出可行域; (5)利用线性目标函数(直线)求出最优解, 根据实际问题的需要,适当调整最优解(如整数解等).

研一研·问题探究、课堂更高效

3.5.2(二)

[问题情境]
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在线性规划的实际问题中,主要掌握两种类型:一是给定一定数 量的人力、物力资源,问怎样运用这些资源能使完成的任务量最 大,收到的效益最大;二是给定一项任务,问怎样统筹安排,能 使完成这项任务耗费的人力、物力资源最小.

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探究点 问题1
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3.5.2(二)

线性规划中的最优整数解问题 ?x+4y≤11, ? 设变量x,y满足条件 ? 3x+2y≤10, ? x>0,y>0, ? 求z=5x+4y的最

大值及最优解.
解 根据约束条件画出可行域如图所示.

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3.5.2(二)

3 5 1 ∵- <- <- , 2 4 4
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∴当直线z=5x+4y经过点A 9 23 1 5× +4× =18 . 5 10 5

?9 23? ? , ? ?5 10?

时,z取到最大值,且zmax=

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?x+4y≤11, ? ?3x+2y≤10, 问题2 当变量x,y满足 ? ?x>0,y>0, ?x∈Z,y∈Z ?
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3.5.2(二)

时,求z=5x+4y的最大

值及最优解.

?9 23? 1 ? , ?时,z=18 , 若不考虑x∈Z,y∈Z,则当直线经过点A 5 10 5 ? ?

∵x∈Z,y∈Z,∴z∈Z.令z=18,则5x+4y=18.

∵4y为偶数,18为偶数,∴5x为偶数,∴x为偶数. 结合可行域可知x=2,从而y=2. 经检验(2,2)在可行域内. 从而,zmax=18,最优解为(2,2).

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3.5.2(二)

典型例题 例 1 某家具厂有方木料 90m3, 五合板 600 m2,准备加工成书桌和书橱
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出售.已知生产每张书桌需要方木料 0.1 m3,五合板 2 m2,生产每 个书橱需要方木料 0.2 m3,五合板 1 m2,出售一张方桌可获利润 80 元,出售一个书橱可获利润 120 元. (1)如果只安排生产书桌,可获利润多少? (2)如果只安排生产书橱,可获利润多少? (3)怎样安排生产可使所得利润最大?

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解 由题意可画表格如下: 方木料 (m3) 书桌(个)
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3.5.2(二)

五合板 (m2) 2 1

利润 (元) 80 120

0.1 0.2

书橱(个)

(1)设只生产书桌x个,可获得利润z元, ?0.1x≤90 ?x≤900 ? ? 则?2x≤600 ?? ?x≤300. ?x≤300 ? ?z=80x ? 所以当x=300时,zmax=80×300=24 000(元), 即如果只安排生产书桌,最多可生产300张书桌,获得利润24 000元.

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(2)设只生产书橱y个,可获得利润z元, ?0.2y≤90 ? y≤600 则?1· ?z=120y ?
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?y≤450 ? ?? ?y≤600 ?

3.5.2(二)

?y≤450.

所以当y=450时,zmax=120×450=54 000(元), 即如果只安排生产书橱,最多可生产450个书橱,得利润5 4000元.
(3)设生产书桌x张,书橱y个,利润总额为z元, ?0.1x+0.2y≤90 ? ?2x+y≤600 则? ? x≥0 ? y≥0 ? ?x+2y≤900, ? ?2x+y≤600, ?? ?x≥0, ?y≥0. ?

z=80x+120y.

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在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平 面区域,即可行域. 作直线l:80x+120y=0,即直线l:2x+3y=0. 把直线l向右上方平移至l1的位置时,直线经过可
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3.5.2(二)

行域上的点M,此时z=80x+120y取得最大值.
?x+2y=900, ? 由? ?2x+y=600 ?

解得点 M 的坐标为(100,400).

所以当 x=100,y=400 时, zmax=80×100+120×400=56 000(元). 因此,生产书桌 100 张、书橱 400 个,可使所得利润最大.

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3.5.2(二)

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小结

利用图解法解决线性规划实际问题,要注意合理利用表格,

处理繁杂的数据;另一方面约束条件要注意实际问题的要求,如果 要求整点,则用逐步平移法验证.

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3.5.2(二)

跟踪训练1 某工厂有甲、乙两种产品,按计划每天各生产不少于 15吨,已知生产甲产品1吨需煤9吨,电力4千瓦,劳动力3个(按 工作日计算);生产乙产品1吨需煤4吨,电力5千瓦,劳动力10
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个;甲产品每吨价7万元,乙产品每吨价12万元;但每天用煤量 不得超过300吨,电力不得超过200千瓦,劳动力只有300个,当 每天生产甲产品 吨,乙产品 吨时,既能保证完 成生产任务,又能使工厂每天的利润最大.

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3.5.2(二)

解析 设每天生产甲产品 x 吨, 乙产品 y 吨, 总利润为 S 万元, ?9x+4y≤300 ? ?4x+5y≤200 ? 依题意约束条件为?3x+10y≤300 ? ?x≥15 ?y≥15 ? 目标函数为 S=7x+12y
从图中可以看出,当直线 S=7x+12y 经过 点 A 时,直线的纵截距最大,所以 S 也取最 大值.
?4x+5y-200=0 ? 解方程组? ?3x+10y-300=0 ?

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3.5.2(二)

得A(20,24),故当x=20,y=24时,Smax=7×20+12×24= 428(万元).
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答案 20 24

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3.5.2(二)

例2 要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格,每张 钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示: 规模类型
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钢板类型 第一种钢板 第二种钢板

A规格 B规格 C规格 2 1 1 2 1 3

今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块,问各 截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品,且使所用钢板 张数最少?

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分析

3.5.2(二)

解决简单线性规划应用题的关键是(1)找出线性约束条

件和目标函数;(2)准确画出可行域;(3)利用几何意义,求出 最优解. 解 设需截第一种钢板x张,第二种钢板y张.
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?2x+y≥15 ? ?x+2y≥18 ? ? x+3y≥27 ? x≥0,y≥0 ?

.作出可行域如图(阴影部分)

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3.5.2(二)

目标函数为z=x+y,作出一族平行直线x+y=t,其中经过可 行域内的点且和原点距离最近的直线,经过直线x+3y=27和 ?18 39 ? 直线2x+y=15的交点A? , ?, 5? ?5 57 直线方程为x+y= . 5 18 39 由于 5 和 5 都不是整数,而最优解(x,y)中,x,y必须都是整 ?18 39? 数,所以可行域内点A? , ?不是最优解. 5? ?5
经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x+y=12,经 过的整点是B(3,9)和C(4,8),它们都是最优解.

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3.5.2(二)

要截得所需三种规格的钢板,且使所截两种钢板的张数最

少的方法有两种:第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢 板9张;第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张.两
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种方法都最少要截两种钢板共12张.
小结 在实际应用问题中,有些最优解往往需要整数解(比如人

数、车辆数等),而直接根据约束条件得到的不一定是整数解, 可以运用枚举法验证求最优整数解,或者运用平移直线求最优 整数解.最优整数解有时并非只有一个,很可能是许多个,应 具体情况具体分析.

研一研·问题探究、课堂更高效
?5x-11y≥-22, ? ?2x+3y≥9, ?2x≤11, ?

3.5.2(二)

跟踪训练2 某公司招收男职员x名,女职员y名,x和y需满足 约束条件 则z=10x+10y的最大值

本 是 90 . 课 时 解析 该不等式组表示平面区域如图阴影所示, 栏 目 由于x,y∈N*,计算区域内与点 ?11,9? 最近的 ? ? 开 2 2? ? 关

整点为(5,4),当x=5,y=4时,z取得最大值为 90.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

3.5.2(二)

1.某厂生产甲产品每千克需用原料A和原料B分别为a1、b1千 克,生产乙产品每千克需用原料A和原料B分别为a2、b2千
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克,甲、乙产品每千克可获利润分别为d1、d2元.月初一次 性购进本月用的原料A、B各c1、c2千克,要计划本月生产甲 产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大.在这 个问题中,设全月生产甲、乙两种产品分别为x千克、y千 克,月利润总额为z元,那么,用于求使总利润z=d1x+d2y最 大的数学模型中,约束条件为 ( )

练一练·当堂检测、目标达成落实处
?a1x+a2y≥c1, ? ?b1x+b2y≥c2, A.? ?x≥0, ?y≥0 ?
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3.5.2(二)

?a1x+b1y≤c1, ? ?a2x+b2y≤c2, B.? ?x≥0, ?y≥0 ? ?a1x+a2y=c1, ? ?b1x+b2y=c2, D.? ?x≥0, ?y≥0 ?

?a1x+a2y≤c1, ? ?b1x+b2y≤c2, C.? ?x≥0, ?y≥0 ?

答案 C

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?x+2y-5>0, ? 2.设实数x,y满足不等式组 ? 2x+y-7>0, ? x≥0,y≥0 ?
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3.5.2(二)

且x,y为整数.则

3x+4y的最小值是 A.14 B.16

( B ) C.17 D.19

解析 作出可行域,如图中阴影部分所示,

点A(3,1)不在可行域内,利用网格易得点(4,1)符合条件,故 3x+4y的最小值是3×4+4×1=16.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

3.5.2(二)

3.在“家电下乡”活动中,某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡 镇.现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用.每辆甲型货 车运输费用400元,可装洗衣机20台;每辆乙型货车运输费用
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300元,可装洗衣机10台.若每辆车至多只运一次,则该厂所 花的最少运输费用为 A.2 000元 C.2 400元 B.2 200元 D.2 800元 ( )

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解析

3.5.2(二)

设需使用甲型货车x辆,乙型货车y辆,运输费用z元,

根据题意, ?20x+10y≥100, ? 得线性约束条件?0≤x≤4, ? 0≤y≤8, ? 求线性目标函数z=400x+300y的最小值,
?x=4, ? 解得当? ?y=2 ?

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时,zmin=2 200(元).

答案 B

3.5.2(二)

1.画图对解决线性规划问题至关重要,关键步骤基本上是在 图上完成的,所以作图应尽可能准确,图上操作尽可能规
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范. 2.在实际应用问题中,有些最优解往往需要整数解(比如人 数、车辆数等)而直接根据约束条件得到的不一定是整数 解,可以运用枚举法验证求最优整数解,或者运用平移直 线求最优整数解.最优整数解有时并非只有一个,应具体 情况具体分析.


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