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2015高中数学 1.1变化率与导数复习总结 新人教A版选修2-2


变化率与导数复习总结
导数是研究函数,解决实际问题的有力工具,而应用的基础就是对导数的概念深刻理解及 熟练地求导。本文通过典例的分析希望对同学复习有所帮助。 一、导数的概念 例 1 半径为 r 的圆的面积 S(r)= ? r ,周长 C(r)=2 ? r,若将 r 看作(0,+∞)上的变量,
2

? =2? R ①,①式可以用语言叙述为:圆的面积函数 的导数等 于圆的周长函数. (? R ) 则
2

对于半径为 R 的球,若将 R 看作(0,+∞ )上的变量, 请你写出类似于①的式子 ②式可以用语言叙述为: 解析:仿照①式,球的体积公式 V


: . =

4 ? R 3 , 表 面 积 公 式 S ? 4? R2 3

,有

4 4 2 式可填 ? =4? R 2 ,故○ ? =4? R 2 ,用语言叙述为“球的体积函 V?(R)=( ? R 3) ( ? R 3) 3 3
数的导数等于球的表面积函数” . 总结:本题考查了导数的某些实际背景,可借助如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率 等帮助理解和消化.同时也考查了类比的数学思想. 例2 若 f ?( x0 ) =2,求 lim
k ?0

f ( x0 ? k ) ? f ( x0 ) 。 2k

f [ x0 ? (?k )] ? f ( x0 ) (这时Δ x=-k). k ?0 ?k 1 f ( x0 ? k ) ? f ( x0 ) f ( x0 ? k ) ? f ( x0 ) ∴ lim = lim [ ? · ] k ?0 k ?0 2 2k ?k 1 1 f ( x0 ? k ) ? f ( x0 ) = ? · lim = ? f′(x0)=-1. k ? 0 2 2 ?k
解: f ?( x0 ) = lim 总结:导数 的定义中,增量 ?x 是多种多样的,但不论 ?x 选择哪一种形式,相应 ?y 中也 必须选择相应的形式。 二、导数的运算 例3 设函数 f ( x) ? ln( x ? ) ? x 。
2

3 2

解析: f ?( x) ?

1 x? 3 2

? 2x ?

2 x 2 ? 3 x ? 1 (2 x ? 1)( x ? 1) ? . 3 3 x? x? 2 2

总结:要能正确求导,必须做到以下两点:(1)熟练掌握各基本初等函数的求导公式以及 和、差、积、商的求导法则,复合函数的求导法则。(2)对于一个复合函数,一定要理清 中间的 复合关系,弄清各分解函数中应对哪个变量求导。 例 4 设 f(x) 是定义域为 R 的奇函数,g(x)是定义域为 R 的恒大于零的函数,且当 x ? 0 时有 f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) .若 f ?1? ? 0 ,则不等式 f ?x ? ? 0 的解集是 ( )

1

A. ?? ?,?1? ? ?1,??? C. ?? ?,?1? ? ?0,1? 解析:设 h ? x ? ?

B. ?? 1,0? ? ?0,1?

知函数 h ? x ? 在 x ? 0 是递减函数,又 f ?1? ? 0 ,∴当 x ? 0 时, f ? x ? ? 0 ? 0 ? x ? 1 又 f ? x ? 为 R 上的奇函数, 所以 h ? ? x ? ? ?h ? x ? , 即 h ? x? g ? x ? 是 R 上恒大于零的函数, 为 R 上的奇函数,∴当 x ? 0 时, f ? x ? ? 0 ? x ? ?1.故选 C. 总结:除了能够给出解析式熟练求导,此外还要注 意公式的逆用,关键是对求导公式的结 构特征的深刻把握。

f ? x? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ,则当 x ? 0 时, h? ? x ? ? ? 0, g 2 ? x? g ? x?

D. ?? 1,0? ? ?1,???

2


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