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2011年江苏高考试题含附加题(数学,word版)无答案

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2011 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)

数学Ⅰ
参考公式: (1)样本数据 x1 , x2 , …, xn 的方差 s =
2

1 n 1 n 2 ( xi ? x ) ,其中 x = ∑ xi . ∑ n i =1 n i =1

(2)直棱柱的侧面积 S = ch ,其中 c 为底面周长, h 为高. (3)棱柱的体积 V = Sh ,其中 S 为底面积, h 为高. 小题, 请把答案填写在答题卡相应位置上 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 填空题: ........ 1.已知集合 A = {?1,1, 2, 4} , B = {?1, 0, 2} ,则 A I B = 2.函数 f ( x ) = log 5 ( 2 x + 1) 的单调增区间是 ▲ . ▲ . ▲ . Read a,b If a>b Then m←a Else m←b End If Print m

( , 3. 设复数 z 满足 i ( z + 1) = ?3 + 2i i 为虚数单位) 则 z 的实部是

4.根据如图所示的伪代码,当输入 a, b 分别为 2,3 时,最后输出的 m 的值 为 ▲ .

5.从 1,2,3,4 这四个数中一次随机取两个数,则其中一个数是另一个的两倍的概率是 ▲ .
2

6.某老师从星期一到星期五收到的信件数分别是 10,6,8,5,6,则该组数据的方差 s = ▲ 7.已知 tan( x + .

π
4

) = 2 ,则

tan x 的值为 tan 2 x





y

8.在平面直角坐标系 xOy 中,过坐标原点的一条直线与函数

2 f ( x) = 的图象交于 P 、 Q 两点,则线段 PQ 长的最小值是 x
▲ . 9. 函数 f ( x ) = A sin(ω x + ? ) A , , 是常数,A > 0 , > 0 ) ( ω ? ω 的部分图象如图所示,则 f (0) 的值是 ▲ .

π
3

7π 12

O

x

? 2

10.已知 e1 , e2 是夹角为 π 的两个单位向量, a = e1 ? 2e2 , b = ke1 + e2 ,若 a ? b = 0 ,则实 数 k 的值为 ▲ .

ur

uu r

2 3

r

ur

uu r

r

ur uu r

r r

11.已知实数 a ≠ 0 ,函数 f ( x ) = ? ▲ .

?2 x + a , x < 1 ,若 f (1 ? a ) = f (1 + a ) ,则 a 的值为 ?? x ? 2 a , x ≥ 1

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12.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 P 是函数 f ( x) = e x ( x > 0) 的图象上的动点, 该图象在 P 处的切线 l 交 y 轴于点 M ,过点 P 作 l 的垂线交 y 轴于点 N ,设线段 MN 的中点的纵坐标 为 t ,则 t 的最大值是 ▲ .

13.设 1 = a1 ≤ a2 ≤ … ≤ a7 ,其中 a1 , a 3 , a 5 , a 7 成公比为 q 的等比数列, a 2 , a 4 , a 6 成公差为 1 的 等差数列,则 q 的最小值是 14.设集合 A = {( x, y ) | ▲ .

m ≤ ( x ? 2) 2 + y 2 ≤ m 2 , x, y ∈ R} ,B = {( x, y ) | 2m ≤ x + y ≤ 2m + 1 , 2
▲ .

x, y ∈ R} ,若 A I B ≠ ? , 则实数 m 的取值范围是

小题, 请在答题卡指定区域内作答, 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说 解答题: ....... 明、证明过程或演算步骤. 证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c . (1)若 sin( A + (2)若 cos A =

π
6

) = 2 cos A ,求 A 的值;

1 , b = 3c ,求 sin C 的值. 3

16. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD ⊥ 平面

P E

ABCD , AB = AD , ∠BAD = 60o , E , F 分别是 AP, AD 的中点.
求证: (1)直线 EF / / 平面 PCD ; (2)平面 BEF ⊥ 平面 PAD .

A

F C B

D

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17. (本小题满分 14 分) 请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD 是边长为 60cm 的正方形硬纸片,切去阴影部分所 示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得 A,B,C,D 四个点重合于图中的点 P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E,F 在 AB 上,是被切去的一个等腰直角三角形 斜边的两个端点.设 AE=FB=x(cm) . (1)某广告商要求包装盒的侧面积 S(cm2)最大,试问 x 应取何值? (2)某厂商要求包装盒的容积 V(cm3)最大,试问 x 应取何值?并求出此时包装盒的高与 底面边长的比值.

D

C

P 60

A

x

E

F

x

B

18. (本小题满分 16 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中, M , N 分别是椭圆

x2 y2 + = 1 的顶点,过坐标原点的直 4 2

线交椭圆于 P, A 两点,其中点 P 在第一象限,过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 C ,连接 AC , 并延长交椭圆于点 B .设直线 PA 的斜率为 k . (1)当直线 PA 平分线段 MN ,求 k 的值; (2)当 k = 2 时,求点 P 到直线 AB 的距离 d ; (3)对任意 k > 0 ,求证: PA ⊥ PB .

y P M O A N C B

x

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19. (本小题满分 16 分) 已知 a, b 是实数,函数 f ( x) = x3 + ax , g ( x) = x 2 + bx , f ′(x) 和 g ′(x) 是 f ( x) 和 g ( x) 的 导函数.若 f ′( x) g ′( x) ≥ 0 在区间 I 上恒成立,则称 f ( x ) 和 g ( x ) 在区间 I 上单调性一致. (1)设 a > 0 ,若 f (x ) 和 g (x ) 在区间 [ ?1,+∞ ) 上单调性一致,求实数 b 的取值范围; (2)设 a < 0 且 a ≠ b ,若 f (x ) 和 g (x ) 在以 a, b 为端点的开区间上单调性一致,求 | a ? b | 的最大值.

20. (本小题满分 16 分) 设 M 为部分正整数组成的集合,数列 {a n } 的首项 a1 = 1 ,前 n 项的和为 S n ,已知对任意整 数 k ∈ M ,当 n > k 时, S n + k + S n ? k = 2( S n + S k ) 都成立. (1)设 M = {1} , a 2 = 2 ,求 a5 的值; (2)设 M = {3, 4} ,求数列 {a n } 的通项公式.

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2011 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)

数学Ⅱ(附加题)
21. 选做题] 四小题,请选定其中两题, 21.[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答. .................... 若多做,则按作答的前两题评分. 若多做,则按作答的前两题评分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修 4-1:几何证明选讲 (本小题满分 10 分) 如图,圆 O1 与圆 O2 内切于点 A ,其半径分别为 r1 与 r2 ( r1 > r2 ) .圆 O1 的弦 AB 交圆 O2 于点 C ( O1 不在 AB 上) . 求证: AB : AC 为定值.

B.选修 4-2:矩阵与变换 (本小题满分 10 分) 已知矩阵 A = ?

?1 1? ?1 ? 2 ? ,向量 β = ? 2 ? .求向量 α ,使得 A α = β . 2 1? ? ? ?

C.选修 4-4:坐标系与参数方程 (本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 求过椭圆 ? ( t 为参数)平行的直线的普通方程.

? x = 5cos ? ? x = 4 ? 2t ( ? 为参数) 的右焦点, 且与直线 ? ? y = 3sin ? ?y = 3?t

D.选修 4-5:不等式选讲 (本小题满分 10 分) 解不等式: x + | 2 x ? 1|< 3 .

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请在答题卡指定区域内作答, 【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应 必做题】 ........ 写出文字说明、证明过程或演算步骤. 写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 如图,在正四棱柱 ABCD ? ABC1D 中, AA1 = 2 , AB = 1 , 1 1 1 点 N 是 BC 的中点,点 M 在 CC1 上. 设二面角 A1 ? DN ? M 的大小为 θ . (1)当 θ = 90 时,求 AM 的长;
o

D1 A1 B1

C1

(2)当 cos θ =

6 时,求 CM 的长. 6
A

M D N B C

23. (本小题满分 10 分) 设整数 n ≥ 4 , P ( a, b) 是平面直角坐标系 xOy 中的点,其中 a, b ∈ {1, 2,3, …, n} , a > b . (1)记 An 为满足 a ? b = 3 的点 P 的个数,求 An ; (2)记 Bn 为满足 ( a ? b) 是整数的点 P 的个数,求 Bn .

1 3

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