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均值不等式的几点应用技巧


均值不等式的几点应用技巧

均值不等式



当且仅当

时取“

” 与



,当且仅当

时取“

” 是新教材第六章教学的重点,也是难点,通过一段时

间的学习,同学们发现它是证明不等式、解决求最值问题的生活必需品,甚至有的同学一遇 到此类问题,就想到它有万能的功效. 然而却忽视了它不适用之隅,而错用、误用,问题得 不到解决,使它的光辉在学生头脑中略显失色。下面就其求最值的实例来说明,以供同学们 在认知相悖中 加以甄别.

一、忽视等号的苦恼

例 1、设 错解:有的同学认为

,求函数的最小值. ,则由均值不等式得 ≥ ,∴ 。

正解: (利用函数的单调性) 令

, 考虑函数

(注意

≥ ,

由于对

≥ ,

,∴

是增函数。因此

其最小值为

,∴

(当

时取得). 。

说明: 此解错误在于没有从本质上把握均值不等式取得等号的条件, 要想取得

当且仅当,

时成立, 然而, 此式显然不成立, 取不到 ∴

,

因此利用均值不等式求最值,一定要判断等号是否成立.

例 2、 设

,且

,求

的最小值.

错解: 因为 ∴ ≥ ,即

, ∴ .



, 则

≥ , 又



正解:(整体使用条件)由

,∴



,当且仅当 .

,即

,∵

,∴

时取到

说明:此题同学利用了两次均值不等式,忽视了两次取得等号时,等号成立的条件



不能同时成立,错误由此发现.

二、缺乏对题设形式的演绎
题设是解决问题的灵魂.同学们在解决以下这一类问题时,往往拘泥于对题设形式的变 化、推理、判断、延伸不够,误用均值不等式,为加强均值不等式与相关知识的认识,下面 就以问题的正解,让同学去领会,找到症结. 例 3、若 解:令 为实数,且 , ( ≤ ≤ ,求 的最小值.

)代入已知等式得:

, 即

, 又 ∵







, 则易知

, 又

=

, ∴

的最小值为 ,求函数

. 的值

例 4. 已知 域. 解:∵ 又∵ 仅当

都是实数,且有

≥ (当且仅当 ≥ 时取等号),故函数 的值域为

时取等号), ,∴ ≤ (当且

例 5. 若 值.





,且

,求表达式

的最小

解:令





,∵

,则







, 故







,当且仅当

时等号成立.

三、巧用均值不等式、构造局部最值

例 6. 已知

,求

的最小值.

解:由

,知

,则













,上式中两个“≥”号中的等号当且仅当



时成立,即



时, 元( ≤ ≤

. )

例 7. 某商品进货价为每件

元,据市场调查,当销售价格每件

时,每天销售的件数为

,若想每天获得的利润最多,则销售价为多少元?

解:由题意:利润

,∵

≥ ,∴









,当且仅当

,即



(不合题

意舍去).


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