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高中数学第二章解三角形1.2余弦定理(二)课件北师大版必修5


第二章 解三角形 §1.2 余弦定理(二) 学习目标 1.熟练掌握余弦定理及其变形形式. 2.会用余弦定理解三角形. 3.能利用正弦、余弦定理解决有关三角形的恒等式化简、证明 及形状判断等问题. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 知识点一 已知两边及其中一边的对角解三角形 思考 在△ABC 中,若 B=30° ,AB=2 3,AC=2,可以先用正弦定 3 b c 理sin B=sin C求出 sin C= 2 .那么能不能用余弦定理解此三角 形?如果能,怎么解? 答案 能.在余弦定理b2=a2+c2-2accos B中,已知三个量AC=b, AB=c,cos B,代入后得到关于a的一元二次方程,解此方程 即可. 梳理 已知两边及其一边的对角,既可先用正弦定理,也可先用余弦定理, 满足条件的三角形个数为0,1,2,具体判断方法如下: a b 设在△ABC中,已知a,b及A的值.由正弦定理sin A=sin B,可求得 sin B=bsin A. a (1)当A为钝角时,则B必为锐角,三角形的解唯一; (2)当A为直角且a>b时,三角形的解唯一; (3)当A为锐角时,如图,以点C为圆心,以a为半径作圆, 三角形解的个数取决于a与CD和b的大小关系: ①当a<CD时,无解; ②当a=CD时,一解; ③当CD<a<b时,则圆与射线AB有两个交点, 此时B为锐角或钝角,此时B的值有两个. ④当a≥b时,一解. (4)如果a>b,则有A>B,所以B为锐角,此时B的值唯一. 知识点二 判定三角形的形状 思考1 三角形的形状类别很多,按边可分为等腰三角形,等边三角 形,其他;按角可分为钝角三角形,直角三角形,锐角三角 形.在判断三角形的形状时是不是要一个一个去判定? 答案 不需要.如果所知条件方便求角,只需判断最大的角是钝角, 直角,锐角;如果方便求边,假设最大边为c,可用a2+b2- c2来判断cos C的正负.而判断边或角是否相等则一目了然,不 需多说. 思考2 △ABC中,sin 2A=sin 2B.则A,B一定相等吗? 答案 ∵A,B∈(0,π),∴2A,2B∈(0,2π), ∴2A=2B或2A=π-2B, π 即A=B或A+B= 2 . 梳理 判断三角形形状,首先看最大角是钝角、直角还是锐角;其次看是否 有相等的边(或角).在转化条件时要注意等价. 知识点三 证明三角形中的恒等式 思考 前面我们用正弦定理化简过acos B=bcos A,当时是把边化成 了角;现在我们学了余弦定理,你能不能用余弦定理把角化 成边? 答案 a2+c2-b2 b2+c2-a2 由余弦定理得 a 2ac =b 2bc ,去分母得 a2+c2-b2 =b2+c2-a2,化简得 a=b. 梳理 证明三角恒等式的关键是借助边角互化减小等式两边的差异. 题型探究 类型一 利用余弦定理解已知两边及一边对角的三角形 例1 已知在△ABC中,a=8,b=7,B=60°,求c. 解答 由余弦定理b2=a2+c2-2accos B, 得72=82+c2-2×8×ccos 60°, 整理得c2-8c+15=0,解得c=3或c=5. 引申探究 例1条件不变,用正弦定理求c. 解答 反思与感悟 相对于用正弦定理解此类题,用余弦定理不必考虑三角形解的个数, 解出几个是几个. 跟踪训练 1 在△ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,若 A π = 3 ,

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