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河北省衡水中学2011-2012学年高一下学期期末考试数学理科

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河北省衡水中学 08-09 学年高一下学期期末考试 (数学理)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分。考试时间120分 钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(每小题5分,共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的 序号填涂在答题卡上) 1. 若 a ? b ,则下列不等式中成立的是 A. ( )

1 1 3 3 2 2 C. a ? b D. a ? b ? a b ? ??? ? ???? ? ? ? ? ? ? 15 ? 2. ?ABC 中, BC ? a , AC ? b , a ? b ? 0 , S ?ABC ? , a ? 3, b ? 5, 则 a 与 b 的夹角 4
B. 是( ) B. -150o C. 150o D. 30o 或 150o ( ) A .30o

1 1 ? a b

3. 下列命题中,甲是乙的充分不必要条件的是 A. 甲:xy ? 0 ; 乙:x ? y ? 0
2 2

B. 甲:xy ? 0 ; 乙: x | ? | y |?| x ? y | | D.甲: x ? y ;乙:

C.甲: xy ? 0 ;乙: x, y 至少有一个是 0 4. 设 M ? 2a(a ? 2) ,N ? ? a ? 1?? a ? 3? , 则有 A. M ? N
2

x ?1 y
( )

B. M ? N

C. M ? N

D. M ? N ( )

5. 若一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集是 (? A. a ? 0 B. a ? b ? c ? 0

1 ,2) ,则下列不成立的为 2
C. b ? 0 D. c ? 0

6. 已知向量 a =(-2,-1), b =(λ ,1),若 a 与 b 的夹角为钝角,则实数λ 的取值范围是 ( )

1 A. (? ,2) ? (2,??) 2

B. (2,??)

1 C. (? ,??) 2

1 D. (??,? ) 2
( )

7. 已知 a, b 是任意实数,记 | a ? b |, | a ? b |, | b ? 1 | 中的最大值为 M ,则

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A. M ? 0 8. 函数 y ? sin( B. 0 ? M ? 1

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C. M ? 1 D. M ?

1 2
( )

? x) cos( ? x) 的单调减区间是 12 12

?

?

A. ?k? ?

? ?

?
3
?
6

, k? ?

5? ? 6 ? ?
??
3? ?

(k ? Z )

B. ?2k? ? D. ?2k? ?

? ?

?
3

,2k? ?

5? ? (k ? Z ) 6 ? ?

C. ?k? ?

? ?

, k? ?

(k ? Z )

? ?

?
6

,2k? ?

??
3? ?

(k ? Z )
( )

9. 设 a, b, c ? R, | a ? c |?| b | ,则正确的是 A. a ? b ? c B. a ? c ? b C. | a |?| b | ? | c |

D. | a |?| b | ? | c |

10. 已 知 在 三 角 形 ABC 中 , lg sin A ? lg cos B ? lg sin C ? lg 2 则 三 角 形 一 定 是 ( ) A. 等边三角形 B.等腰三角形 C. 直角三角形 D.钝角三角形 ( )

11. 将函数 ? sin 2 x 的图像按向量 a = - ( A. y ? sin(2 x ? C. y ? sin(2 x ?

?

?
?
3

) ?1 ) ?1

6

? , 平移, 1) 得到的函数解析式为 6 ? B. y ? sin(2 x ? ) ? 1 3 ? D. y ? sin(2 x ? ) ? 1 6

12. 若 定 义 在 区 间 D 上 的 函 数 f (x) 对 于 D 上 任 意 n 个 值 x1 , x 2 ?, x n 总 满 足

1 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? ? f ( xn )? ? f ( x1 ? x2 ? ? ? xn ) ,则 f (x) 称为 D 上的凸函数.现 n n
已知 f ( x) ? sin x 在 (0, ? ) 上是凸函数, 则三角形 ABC 中,sin A ? sin B ? sin C 的最大值 为 ( A. )

3 2

B. 3 2

C.

3 3 2

D. 3

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(每题5分,共20分.把答案填在答题纸的横线上) ........ 13. 函数 y ? sin x ? cos x ? 2 sin x cos x 的最小值是
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.

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2

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14. 不等式 log 2 ( x ? x ? 2) ? log 2 ( x ? 1) ? 1 的解集为_________. 15. 设 a 、b 满足 | a |? 1 , | b |? 2 , | a ? b |? 2 ,则 | a ? b | 等于 16. 若正实数 x, y 满足 2 x ? 8 y ? xy ,则 x ? y 的最小值是 .
? ?
? ? ? ? ? ?

.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤, 写在答题纸的相应位置) .......... 17. (本题 10 分) 已知函数 f ( x) ? 根. (1)求 a, b 的值; (2)当 k ? 1 时,解关于 x 的不等式 f ( x) ?

x2 (其中 a, b 为常数) ,且 3 和 4 是方程 f ( x) ? x ? 12 ? 0 的两个 ax ? b

(k ? 1) x ? k . 2? x

18. (本题 12 分) 已知 a ? (1, 2), b ? (?3, 2) . (1)当 k 为何值时, ka ? b 与 a ? 3 b 垂直? (2)当 k 为何值时, ka ? b 与 a ? 3 b 平行?平行时,它们同向还是反向?

?

?

? ?

? ?

? ?

? ?

19. (本题 12 分) 随着经济条件的改善,人们开始提高生活质量,讲究享受生活.某老师购买的某 种
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汽车的费用是 10 万元,每年应交保险费、养路费及汽油费 9 千元,汽车的维修保养 .. 费: 第一年 2 千元,第二年 4 千元,第三年 6 千元,…,依等差数列递增.若年平均费用 ..... 最小 时报废最为合算.请你帮这位老师核算一下,这种汽车应使用多少年即可报废?此时 汽车 的年平均费用是每年多少万元?

20. (本题 12 分) 已知点 A(3,0), B(0,3), C (cos? , sin ? ) ,其中 (1)若 | AC |?| BC | ,求 ? ;

?
2

?? ?

3? 2

2 sin 2 ? ? sin 2? (2)若 AC ? BC ? ?1 ,求 的值. 1 ? tan ?

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21. (本题12分)

?ABC 的 外 接 圆 半 径 R ? 3 , 角 A, B, C 的 对 边 分 别 是 a, b, c , 且
2s i A ? s i C c oC n n s ? s iB n c oB s
(1)求角 B 和边长 b ; (2)求 S ?ABC 的最大值及取得最大值时的 a, c 的值,并判断此时三角形的形状.

22. (本题12分) 已知关于 x 的不等式 | x ? 3 |?

x?a , (a ? R) 的解集为 A , Z 为整数集. 2

(1) 若 A ? ? ,求实数 a 的取值范围; (2) 是否存在实数 a ,使得 A ? Z ? {3,4} .若存在,求出实数 a 的取值范围;若不存 在,请说明理由.

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衡水中学 2008—2009 学年度第二学期期末调研考试参考答案
CCBAC ACCDB AC 13.

?

5 4

14. (3,??)

15. 6

16.18

17. 分析: (1)由 3 和 4 是方程 f ( x) ? x ? 12 ? 0 的两个根,得 a ? ?1, b ? 2 文科 理科 (2)由(1)知 f ( x) ? 整理得 ………………….………4 分 …………………..………3 分

x2 x2 (k ? 1) x ? k ,则 ? 2? x 2? x 2? x
文科 理科 ……………..……..……9 分 ………………..………6 分 …..…12 分 …..…12 分

( x ? k )( x ? 1) ?0 x?2

若 k ? (1,2) ,则不等式的解集是 (1, k ) ? (2,??) ;文科 若 k ? [2,??) ,则不等式的解集是 (1,2) ? (k ,??) 理科

18. 分析: (1) ka ? b = (k ? 3,2k ? 2) , a ? 3 b ? (10,?4) , ka ? b 与 a ? 3 b 垂直可 得 ( ka ? b ) ? ( a ? 3 b )= 10(k ? 3) ? 4(2k ? 2) ? 0 ,……………………4 分 解得 k =19 ………………………………………………………………………6 分 (2)当 ka ? b 与 a ? 3 b 平行时, ka ? b = ? ( a ? 3 b ) ,………………8 分 由(1)得 ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?k ? 3 ? 10 ? 1 ,解得 ? ? ? ? 0 ……………………………10 分 3 ? 2 k ? 2 ? ?4 ?

所以, ? ? ? 时 ka ? b 与 a ? 3 b 平行,它们反向. ………………………12 分 19. 分析:设这种汽车使用 n 年即可报废,汽车的年平均费用是 S 万元,由题意得

1 3

?

?

?

?

S?

1 [10 ? (0.2 ? 0.4 ? 0.6 ? ... ? 0.2n) ? 0.9n] n 1 0.2n(n ? 1) ? [10 ? ? 0 .9 n ] ………………………6 分 n 2 n 10 n 10 ? ? ?1 ? 2 ? ?1 ? 3 10 n 10 n

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当且仅当

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n 10 ? ,即 n ? 10 时等号成立. …………………………………10 分 10 n

综上,这种汽车应使用 10 年即可报废,此时汽车的年平均费用是每年 3 万元. ……. .……………. .……………. .……………. 12分 20. 分析: (1) AC ? (cos? ? 3, sin ? ), BC ? (cos? , sin ? ? 3) 因为 | AC |?| BC | ,所以 | AC | ?| BC |
2 2

…………2 分

即 (cos? ? 3) ? sin ? ? cos ? ? (sin ? ? 3)
2 2 2

2

化简得 cos? ? sin? 因为

?
2

?? ?

3? 5? ,所以 ? ? 2 4

…… …………………………………6 分

(2)因为 AC ? BC ? ... ? 1 ? 3(sin ? ? cos? ) ? ?1 所以, sin ? ? cos? ?

2 3 5 9

(文科)平方得, 2 sin ? cos? ? sin 2? ? ?

(理科)化简

2 sin 2 ? ? sin 2? 5 ? ... ? 2 sin ? cos? ? ? ………………12 分 1 ? tan? 9

21. 分析:由

(a 2 ? b 2 ? c 2 )2ac 2a ? c cos C 2 sin A ? sin C ? ,得: 2 , ? b (a ? c 2 ? b 2 )2ab cos B sin B

即 ac ? a 2 ? c 2 ? b 2 ,所以 cos B ? ... ? 又 B ? (0, ? ) ,所以 B ? 又 2R ?

?
3

1 , 2

………………………4 分


.…………………………6 分

b , R ? 3 ,所以 b ? 3 sin B

(2)由 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B , b ? 3 , cos B ?

1 2

得 ac ? 9 ? a 2 ? c 2 ? 2ac,? ac ? 9 (当且仅当 a ? c 时取等号)……8 分
所以, S ?ABC ?

1 1 3 9 3 ac sin B ? ? 9 ? ? (当且仅当 a ? c 时取等号)……10 分 2 2 2 4

综上, S ?ABC 的最大值

9 3 ,取得最大值时 a ? c ? 3 ,此时三角形是等边三角形.…12 分 4

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22. 分析:理科

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a ? x?a ?x ? 2 ? | x ? 3 |? , (a ? R) ? ? 3 2 ?x ? a ? 6 ?
(1)若 A ? ? ,则 2 ? 解得 a ? ?3

………………. 2 分

a ? a?6, 3

…….….…….……………. 4分

……………….…………….…………….……………. 6分

? a ? ?3 ? a ? (2)若 A ? Z ? {3,4} ,则 ?2 ? 2 ? ? 3 , 3 ? ?4 ? a ? 6 ? 5 ?
解得 ? 2 ? a ? ?1 文科 (1) 当 a ? 1 时, f ( x) ? x ?

…….….…………….…………. 9分

…….………….………….….…….……………. 12分

1 1 ?2 ? 2 x? ?2 ? 4 x x

………………4 分

(当且仅当 x ? 1时取等号)
所以,在 x ? [0,??) 时函数 f (x) 的最小值为 4 . (2)当 x ? [1,??) 时, f ( x) ?
2

……………6 分

x 2 ? 2x ? a ? 0 恒成立, x
2

则 x ? 2 x ? a ? 0,? a ? ?( x ? 2 x) 在 x ? [1,??) 时恒成立,…..……8分 令 g ( x) ? ?( x ? 2 x), x ? [1,??) ,
2

因为 x ? [1,??), g ( x) ? ?( x ? 1) ? 1 ? ?3 ,即 g (x) 的最大值是-3. …. 10 分
2

若对任意的 x ? [1,??) 时,不等式 f ( x) ? 0 恒成立,则需要 a ? g (x) 的最大 值. 所以, a ? ?3 . ………. ………………………….………. 12分

x 2 ? 2x ? a ? 0 恒成立, 另解: (2)当 x ? [1,??) 时, f ( x) ? x
则 h( x) ? x ? 2 x ? a ? 0, 在 x ? [1,??) 时恒成立,
2 2

……………..……8分

由 h( x) ? x ? 2 x ? a 的图像特征,知 h(x ) 在 x ? [1,??) 时单调递增,
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只需 h(1) ? 0 , 解得 a ? ?3 .

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……. ………………………….…………. 10 分 ………. ………………………….…………. 12 分

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