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广西钦州港经济技术开发区中学2015-2016学年高一上学期第一次月考数学试题 Word版含解析


2015-2016 学年广西钦州市港经济技术开发区中学高一(上)第一 次月考数学试卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 4 分,在每小题给同的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.已知集合 A={x|x≤0},且 A∪B=A,则集合 B 不可能是( ) A.? B.{x|x≤0} C.{x|x≤1} D.{﹣2} 2. 设全集 U 是实数集 R, M={x|x >4}, N={x|1<x≤3}, 则图中阴影部分表示的集合是 (
2



A.{x|﹣2≤x<1} B.{x|﹣2≤x≤2}

C.{x|1<x≤2}

D.{x|x<2} },

3.设 A、B 是两个非空集合,定义 A×B={x|x∈A∪B 且 x?A∩B},已知 A={x|y= B={y|y=2 ,x>0},则 A×B=( ) A.[0,1]∪(2,+∞) B.[0,1)∪(2,+∞)
x

C.[0,1]

D.[0,2]

4. A. B.

的值是( C.

) D.

5.已知函数 y=f(x)的定义域为(﹣1,3) ,则在同一坐标系中,函数 f(x)的图象与直线 x=2 的交点个数为( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.0 个或多个 6. A.奇函数 B.偶函数 的奇偶性是( )

C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数

7.已知函数 f(x)= A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.2
x

,则 f(3)的值等于(



8.已知函数 f(x)的定义域是(0,1) ,那么 f(2 )的定义域是( A. (0,1) B. (﹣∞,1) C. (﹣∞,0) D. (0,+∞)



9.定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x) ,且在[0,1]上单调递增,设 a=f(3) , b=f(1.2) ,c=f(2) ,则 a,b,c 大小关系是( ) A.b>c>a B.a>c>b C.a>b>c D.c>b>a 10.在下列图象中,二次函数 y=ax +bx+c 与函数 y=( ) 的图象可能是(
2 x



A.

B.

C.

D.

11.已知 A.0 B.1 C.2 D.3

,f(2)=4,则 f(﹣2)=(



12.若函数 f(x)为定义域 D 上的单调函数,且存在区间[a,b]?D(其中 a<b) ,使得当 x∈[a, 2 b]时,f(x)的取值范围恰为[a,b],则称函数 f(x)是 D 上的正函数.若函数 g(x)=x +m 是(﹣∞,0)上的正函数,则实数 m 的取值范围为( ) A. B. C. D.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分. 13.某班共 30 人,其中 15 人喜爱篮球运动,10 人喜爱乒乓球运动,8 人对这两项运动都不 喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 . 14.满足{0,1,2}?A?{0,1,2,3,4,5}的集合 A 的个数是 个.

15.已知函数 f(x)为 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x(x+1) .若 f(a)=﹣2,则实数 a= .

16.已知 是 .

是(﹣∞,+∞)上的减函数,则 a 的取值范围

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.已知函数 的定义域集合是 A,函数 的定义域集合是 B.

(1)求集合 A、B; (2)若 A∩B=A,求实数 a 的取值范围.

18.已知

+

=3,求

的值.

19.求函数 y=

的定义域、值域和单调区间.

20. (10 分) (2015 秋?钦州校级月考)已知函数 f(x)的定义域是(0,+∞)且满足 f(xy) =f(x)+f(y) ,f( )=1,如果对于 0<x<y,都有 f(x)>f(y) . (1)求 f(1) ,f(2) ; (2)解不等式 f(﹣x)+f(3﹣x)≥﹣2. 21. (10 分) (2012 秋?宁国市校级期中)设 a 是实数, (1)当 f(x)为奇函数时,求 a 的值; (2)证明:对于任意 a,f(x)在 R 上为增函数. 22. (12 分) (2015 秋?钦州校级月考)对定义在[0,1]上,并且同时满足以下两个条件的函数 f(x)称为不等函数. ①对任意的 x∈[0,1],总有 f(x)≥0; ②当 x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1 时,总有 f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立. 3 x 已知函数 g(x)=x 与 h(x)=2 ﹣a 是定义在[0,1]上的函数. (1)试问函数 g(x)是否为不等函数?并说明理由; (2)若函数 h(x)是不等函数,求实数 a 组成的集合. .

2015-2016 学年广西钦州市港经济技术开发区中学高一 (上)第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 4 分,在每小题给同的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.已知集合 A={x|x≤0},且 A∪B=A,则集合 B 不可能是( ) A.? B.{x|x≤0} C.{x|x≤1} D.{﹣2} 【考点】并集及其运算. 【专题】计算题. 【分析】由 A∪B=A,得到 B 为 A 的子集,根据 A,对各项判断即可.

【解答】解:∵A∪B=A, ∴B?A, ∵A={x|x≤0}, ∴B=?,B={x|x≤0},B={﹣2},B≠{x|x≤1}. 故选 C 【点评】此题考查了并集及其运算,熟练掌握并集的定义是解本题的关键. 2. 设全集 U 是实数集 R, M={x|x >4}, N={x|1<x≤3}, 则图中阴影部分表示的集合是 (
2



A.{x|﹣2≤x<1} B.{x|﹣2≤x≤2} C.{x|1<x≤2} D.{x|x<2} 【考点】Venn 图表达集合的关系及运算. 【专题】数形结合法. 【分析】先求出集合 M,再根据韦恩图得到阴影部分表示的集合为 N∩(CUM) ,借助数轴即 可得解 【解答】解:M={x|x >4}={x|x<﹣2 或 x>2} 由韦恩图知阴影部分表示的集合为 N∩(CUM) 又 CUM={x|﹣2≤x≤2},N={x|1<x≤3} ∴N∩(CUM)={x|1<x≤2} 故选 C 【点评】本题考查韦恩图与集合运算,要求会读韦恩图,会在数轴上进行集合运算.属简单 题 3.设 A、B 是两个非空集合,定义 A×B={x|x∈A∪B 且 x?A∩B},已知 A={x|y=
x 2

},

B={y|y=2 ,x>0},则 A×B=( ) A.[0,1]∪(2,+∞) B.[0,1)∪(2,+∞) C.[0,1] D.[0,2] 【考点】函数的定义域及其求法;交、并、补集的混合运算;函数的值域. 【专题】新定义. 【分析】根据根式有意义的条件,分别求出结合 A 和 B,然后根据新定义 A×B={x|x∈A∪B 且 x?A∩B},进行求解. 【解答】解:∵集合 A、B 是非空集合,定义 A×B={x|x∈A∪B 且 x?A∩B}, A={x|y=
x

}={x|0≤x≤2}

B={y|y=2 ,x>0}={y|y>1} ∴A∪B=[0,+∞) ,A∩B=(1,2] 因此 A×B=[0,1]∪(2,+∞) . 故选 A. 【点评】此题主要考查新定义、根式有意义的条件和集合交、并、补集的混合运算,新定义 的题型是常见的题型,同学们要注意多练习这样的题.

4.

的值是(



A.

B.

C.

D.

【考点】有理数指数幂的化简求值. 【专题】计算题. 【分析】直接利用指数的运算法则,求出表达式的值即可. 【解答】解:因为 = = .

故选 B. 【点评】本题考查有理指数幂的化简求值,是基础题. 5.已知函数 y=f(x)的定义域为(﹣1,3) ,则在同一坐标系中,函数 f(x)的图象与直线 x=2 的交点个数为( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.0 个或多个 【考点】函数的零点与方程根的关系. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】直接利用函数的定义,判断选项即可. 【解答】解:函数 y=f(x)的定义域为(﹣1,3) ,则在同一坐标系中,函数 f(x)的图象与 直线 x=2 的交点个数为 1 个. 故选:B. 【点评】本题考查函数的定义,是基础题. 6. 的奇偶性是( )

A.奇函数 B.偶函数 C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数 【考点】函数奇偶性的判断. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】由条件求得定义域为{x|x=± },且满足 f(x)=0,可得函数 f(x)为即是奇函数又 是偶函数. 【解答】解: 的定义域为{x|x=± },

且满足 f(x)=0,故函数 f(x)为即是奇函数又是偶函数, 故选:C. 【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断方法,求得 f(x)=0 是解题的关键,属于基础题.

7.已知函数 f(x)= A.﹣2 B.﹣1 C.1 D.2 【考点】函数的值. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据分段函数的表达式直接代入即可. 【解答】解:由分段函数可知,f(3)=f(2)﹣f(1) , 而 f(2)=f(1)﹣f(0) ,

,则 f(3)的值等于(



∴f(3)=f(2)﹣f(1)=f(1)﹣f(0)﹣f(1)=﹣f(0)=﹣1, 故选:B. 【点评】本题主要考查分段函数的求值问题,利用分段函数的递推关系直接递推即可,考查 学生的计算能力. 8.已知函数 f(x)的定义域是(0,1) ,那么 f(2 )的定义域是( ) A. (0,1) B. (﹣∞,1) C. (﹣∞,0) D. (0,+∞) 【考点】函数的定义域及其求法. 【专题】计算题;整体思想. x x 【分析】根据函数 f(x)的定义域是(0,1) ,而 2 相当于 f(x)中的 x,因此得到 0<2 <1, 利用指数函数的单调性即可求得结果. 【解答】解:∵函数 f(x)的定义域是(0,1) , ∴0<2 <1, 解得 x<0, 故选 C. 【点评】此题主要考查了函数的定义域和指数函数的单调性,体现了整体代换的思想,是一 道基础题. 9.定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x) ,且在[0,1]上单调递增,设 a=f(3) , b=f(1.2) ,c=f(2) ,则 a,b,c 大小关系是( ) A.b>c>a B.a>c>b C.a>b>c D.c>b>a 【考点】函数奇偶性的性质. 【专题】计算题;函数的性质及应用. 【分析】由条件可得函数的周期为 2,再根据 a=f(3)=f(﹣1)=f(1) ,b=f(1.2)=f(﹣0.8) =f(0.8) ,c=f(2)=f(0) ,0<0.8<1,且函数 f(x)在[0,1]上单调递增,可得 a,b,c 大 小关系. 【解答】解:∵偶函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x) ,∴函数的周期为 2. 由于 a=f(3)=f(﹣1)=f(1) ,b=f(1.2)=f(﹣0.8)=f(0.8) ,c=f(2)=f(0) , 0<0.8<1,且函数 f(x)在[0,1]上单调递增, ∴a>b>c, 故选:C. 【点评】本题主要考查函数的单调性、奇偶性、周期性的应用,体现了转化的数学思想,属 于中档题.
2 x x x

10.在下列图象中,二次函数 y=ax +bx+c 与函数 y=( ) 的图象可能是(



A.

B.

C.

D.

【考点】函数的图象. 【专题】函数的性质及应用.

【分析】根据二次函数的对称轴首先排除 BD,再结合二次函数和指数函数的性质逐个检验即 可得出答案. 【解答】解:根据指数函数 y=( ) 可知 a,b 同号且不相等,则二次函数 y=ax +bx+c 的对 称轴﹣ <0,对称轴在 y 轴的左侧,排除 B,D , <﹣ <﹣ <0 , <0 ,
x 2

因为 4 个选项中指数函数均为减函数,故

当 ab 同时为负数,则 a<b<0,二次函数的开口向下,对称轴 当 ab 同时为正数,则 0<b<a,二次函数的开口向上,对称轴

故排除 C 故选:A. 【点评】本题考查了同一坐标系中指数函数图象与二次函数图象的关系,根据指数函数图象 确定出 a、b 的正负情况是求解的关键 11.已知 ,f(2)=4,则 f(﹣2)=( )

A.0 B.1 C.2 D.3 【考点】函数的值. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据函数奇偶性的性质建立方程组关系即可. 【解答】解:∵ ∴f(x)﹣2=ax +bx﹣ 为奇函数, 则 f(2)﹣2=a?2 +2b﹣ , f(﹣2)﹣2=﹣a?2 ﹣2b+ , 两式相加得 f(﹣2)﹣2+f(2)﹣2=0, 即 f(﹣2)=2+2﹣f(2)=4﹣4=0, 故选:A. 【点评】本题主要考查函数值的计算,比较基础. 12.若函数 f(x)为定义域 D 上的单调函数,且存在区间[a,b]?D(其中 a<b) ,使得当 x∈[a, 2 b]时,f(x)的取值范围恰为[a,b],则称函数 f(x)是 D 上的正函数.若函数 g(x)=x +m 是(﹣∞,0)上的正函数,则实数 m 的取值范围为( ) A. B. C. D.
5 5 5



【考点】二次函数的性质;函数的值域. 【专题】应用题;函数的性质及应用.

【分析】根据函数 g(x)=x +m 是(﹣∞,0)上的正函数,则 g(a)=b,g(b)=a,建立方 程组,消去 b,求出 a 的取值范围,转化成关于 a 的方程 a +a+m+1=0 在区间(﹣1,﹣ )内 有实数解进行求解. 2 【解答】解:因为函数 g(x)=x +m 是(﹣∞,0)上的正函数,所以 a<b<0, 所以当 x∈[a,b]时,函数单调递减,则 g(a)=b,g(b)=a, 即 a +m=b,b +m=a, 2 2 两式相减得 a ﹣b =b﹣a,即 b=﹣(a+1) , 2 2 代入 a +m=b 得 a +a+m+1=0, 由 a<b<0,且 b=﹣(a+1) , ∴a<﹣(a+1)<0, 即 ,∴ ,
2 2 2

2

解得﹣1<a<﹣ . 故关于 a 的方程 a +a+m+1=0 在区间(﹣1,﹣ )内有实数解, 记 h(a)=a +a+m+1, 则 h(﹣1)>0,h(﹣ )<0,即 1﹣1+m+1>0 且 解得 m>﹣1 且 m<﹣ . 即 , ,
2 2

故选 A. 【点评】本题主要考查新定义的应用,综合性较强,难度较大. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分. 13.某班共 30 人,其中 15 人喜爱篮球运动,10 人喜爱乒乓球运动,8 人对这两项运动都不 喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 12 . 【考点】交、并、补集的混合运算. 【专题】应用题;集合. 【分析】设两者都喜欢的人数为 x 人,则只喜爱篮球的有(15﹣x)人,只喜爱乒乓球的有(10 ﹣x)人,由此可得(15﹣x)+(10﹣x)+x+8=30,解之即可两者都喜欢的人数,然后即可得 出喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数. 【解答】解:设两者都喜欢的人数为 x 人,则只喜爱篮球的有(15﹣x)人,只喜爱乒乓球的 有(10﹣x)人, 由此可得(15﹣x)+(10﹣x)+x+8=30,解得 x=3, 所以 15﹣x=12, 即所求人数为 12 人, 故答案为:12. 【点评】本题考查了集合的混合运算,属于应用题,关键是运用集合的知识求解实际问题.

14.满足{0,1,2}?A?{0,1,2,3,4,5}的集合 A 的个数是 6 个. 【考点】子集与真子集. 【专题】计算题;转化思想. 【分析】由题意知集合 A 中一定含有 0,1,2 三个元素,问题转化为求{3,4,5}的子集,根 据非空子集的公式,写出结果. 【解答】解:由题意知集合 A 中一定含有 0,1,2 三个元素, ∴问题转化为求{3,4,5}的子集, ∵并且是求非空子集, 3 ∴有 2 ﹣1=7 个, 故答案为:7 【点评】本题考查集合的子集与子集,注意条件中所要求的是要求的集合与{0,1,2}的包含 的关系,不要出错,本题是一个基础题. 15.已知函数 f(x)为 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x(x+1) .若 f(a)=﹣2,则实数 a= ﹣1 . 【考点】函数奇偶性的性质. 【专题】计算题. 【分析】由题设知,当 x≥0 时,f(x)不可能为负,故应求出 x<0 时的解析式,代入 f(a)= ﹣2,求 a 的值. 【解答】解:令 x<0,则﹣x>0,所以 f(﹣x)=﹣x(1﹣x) , 又 f(x)为奇函数,所以当 x<0 时有 f(x)=x(1﹣x) , 2 令 f(a)=a(1﹣a)=﹣2,得 a ﹣a﹣2=0, 解得 a=﹣1 或 a=2(舍去) . 故应埴﹣1 【点评】本题考点是函数奇偶性的运用,用奇偶性这一性质求对称区间上的解析式,这是函 数奇偶性的一个重要应用.

16.已知

是(﹣∞,+∞)上的减函数,则 a 的取值范围

是 [ , ) . 【考点】函数单调性的性质. 【专题】计算题.

【分析】根据题意可得

,从而可求得 a 的取值范围.

【解答】解:∵f(x)=

是(﹣∞,+∞)上的减函数,



解得 ≤a< .

故答案为:[ , ) . 【点评】本题考查函数单调性的性质,得到(3a﹣1)×1+4a≥a 是关键,也是难点,考查理解 与运算能力,属于基础题. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.已知函数 的定义域集合是 A,函数 的定义域集合是 B. (1)求集合 A、B; (2)若 A∩B=A,求实数 a 的取值范围. 【考点】交集及其运算;函数的定义域及其求法. 【专题】集合. 【分析】 (1)分别求出 f(x) ,g(x)的定义域,得到集合 A,B. (2)由题意 A 是 B 的子集,可解出实数 a 的取值范围. 【解答】解: (1)由(x+1) (x﹣2)≥0,解得 x≤﹣1 或 x≥2, ∴A={x|x≤﹣1 或 x≥2}; 2 2 由 x ﹣(2a+1)x+a +a>0,得到(x﹣a) (x﹣a﹣1)>0, 解得 x<a,或 x>a+1, ∴B={x|x<a,或 x>a+1}; (2)由 A∩B=A 得 A?B,因此 ,
1

解得﹣1<a<1, 所以,所以实数 a 的取值范围是(﹣1,1) . 【点评】本题考查函数的定义域及其求法,并集及运算,是基础题.

18.已知

+

=3,求

的值.

【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算. 【专题】计算题. 【分析】由已知条件求出 x+ =7,化简原式代入即可. 【解答】解:∵ ∴( +
2

+

=3,

) =9,

即 x+ =7,



=

=

=2.

【点评】本题主要考查了根式的化简和计算,属于基础题.

19.求函数 y=

的定义域、值域和单调区间.

【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域;指数函数的单调性与特殊点. 【专题】计算题;转化思想. 2 【分析】根据题意,定义域的求解易知为(﹣∞,+∞) ,值域的求解通过换元法将 3+2x﹣x u 换成 u,通过二次函数的知识求得 u 的范围为(﹣∞,4],再根据指数函数 y=3 的单调性即可 求解 利用复合函数的单调性的特点(根据同增异减口诀,先判断内层函数的单调性,再判断外层 函数单调性,在同一定义域上,若两函数单调性相同,则此复合函数在此定义域上为增函数, 反之则为减函数)判断出函数的单调区间,在根据定义: (就是定义域内的任意取 x1,x2,且 x1<x2,比较 f(x1) ,f(x2)的大小,或 f(x1)<f(x2)则是增函数;反之则为减函数)证 明即可 【解答】解:根据题意,函数的定义域显然为(﹣∞,+∞) . 2 2 令 u=f(x)=3+2x﹣x =4﹣(x﹣1) ≤4. u ∴y=3 是 u 的增函数, 当 x=1 时,ymax=f(1)=81,而 y=
u 4

>0.

∴0<3 ≤3 ,即值域为(0,81]. u (3)当 x≤1 时,u=f(x)为增函数,y=3 是 u 的增函数, 由 x 越大推出 u 越大,u 越大推出 y 越大 即 x 越大 y 越大 ∴即原函数单调增区间为(﹣∞,1]; 其证明如下: 任取 x1,x2∈(﹣∞,1]且令 x1<x2 则 = ÷ = =

=

∵x1<x2,x1,x2∈(﹣∞,1] ∴x1﹣x2<0,2﹣x1﹣x2>0 ∴(x1﹣x2) (2﹣x1﹣x2)<0 ∴ ∴f(x1)<f(x2) <1

∴原函数单调增区间为(﹣∞,1] 当 x>1 时,u=f(x)为减函数,y=3 是 u 的增函数, 由 x 越大推出 u 越小,u 越小推出 y 越小, 即 x 越大 y 越小 ∴即原函数单调减区间为[1,+∞) . 证明同上. 【点评】本题考查了以指数函数为依托,通过换元法进行求解函数值域,另外还有复合函数 的单调性问题,属于基础题. 20. (10 分) (2015 秋?钦州校级月考)已知函数 f(x)的定义域是(0,+∞)且满足 f(xy) =f(x)+f(y) ,f( )=1,如果对于 0<x<y,都有 f(x)>f(y) . (1)求 f(1) ,f(2) ; (2)解不等式 f(﹣x)+f(3﹣x)≥﹣2. 【考点】抽象函数及其应用. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】 (1)令 x=y=1 易得 f(1)=0;再令 x=2,y= ,可得 f(2)值; (2)先求出 f(4)=﹣2,由 f(﹣x)+f(3﹣x)≥﹣2,得到 f[x(x﹣3)]≥f(4) ,再由函数 f (x)在定义域(0,+∞)上为减函数,能求出原不等式的解集. 【解答】解(1)∵f(xy)=f(x)+f(y) ∴令 x=y=1 得 f(1)=f(1)+f(1) , ∴f(1)=0 再令 x=2,y= , ∴f(1)=f(2)+f( )=0, ∴f(2)=﹣1 (2)∵对于 0<x<y,都有 f(x)>f(y) . ∴函数在(0,+∞)减函数, 令 x=y=2, ∴令 x=y=2 得 f(4)=f(2)+f(2)=﹣2, ∵f(﹣x)+f(3﹣x)≥﹣2. ∴f(x)+f(x﹣3)≥f(4) , ∴f[x(x﹣3)]≥f(4) ,
u





解得﹣1≤x<0 ∴原不等式的解集为[﹣1,0) 【点评】本题考查抽象函数及其应用,着重考查赋值法及函数单调性的应用,突出转化思想 的考查,属于中档题.

21. (10 分) (2012 秋?宁国市校级期中)设 a 是实数, (1)当 f(x)为奇函数时,求 a 的值; (2)证明:对于任意 a,f(x)在 R 上为增函数. 【考点】函数奇偶性的性质;函数单调性的判断与证明. 【专题】计算题;证明题. 【分析】 (1)根据奇函数在零处有意义可得 f(0)=0,建立等量关系,求出 a



(2)运用函数的定义判断证明函数的单调性,先在取两个值 x1,x2 后进行作差变形,确定符 号,最后下结论即可. 【解答】解: (1)∵f(x)为奇函数 ∴f(0)=0,解得 a=1; (2)证明:设 x1,x2∈R,x1<x2, 则 f(x1)﹣f(x2) =

=

=
x



由于指数函数 y=2 在 R 上是增函数, 且 x1<x2,所以 又由 2 >0,得
x

即 , ,



∴f(x1)﹣f(x2)<0 即 f(x1)<f(x2) , 所以,对于任意 a,f(x)在 R 上为增函数. 【点评】本题考查了函数的奇偶性和单调性,函数是描述变量之间关系的数学模型,函数单 调性是函数的“局部”性质,属于基础题. 22. (12 分) (2015 秋?钦州校级月考)对定义在[0,1]上,并且同时满足以下两个条件的函数 f(x)称为不等函数. ①对任意的 x∈[0,1],总有 f(x)≥0; ②当 x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1 时,总有 f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立. 3 x 已知函数 g(x)=x 与 h(x)=2 ﹣a 是定义在[0,1]上的函数. (1)试问函数 g(x)是否为不等函数?并说明理由; (2)若函数 h(x)是不等函数,求实数 a 组成的集合. 【考点】指数函数综合题. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】 (1)根据不等函数的定义和条件进行判断即可; (2)根据 h(x)是不等函数,验证两个条件即可. 3 【解答】解: (1)当 x∈[0,1]时,总有 g(x)=x ≥0,满足①;

当 x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1 时, g(x1+x2)=(x1+x2) =
3

+

+3

?x2+3x1?



+

=g(x1)+g(x2) ,满足②,

所以函数 g(x)是不等函数. x (2)h(x)=2 ﹣a(x∈[0,1])为增函数,h(x)≥h(0)=1﹣a≥0,所以 a≤1. 由 h(x1+x2)≥h(x1)+h(x2) ,得 即 a≥ + ﹣ =1﹣( ﹣a≥ ﹣1) ( ﹣a+ ﹣a,

﹣1) .

因为 x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1, 所以 0≤ 所以 0≤( ﹣1≤1,0≤ ﹣1) ( ﹣1≤1,x1 与 x2 不同时等于 1, ﹣1)<1,所以 0<1﹣( ﹣1) ( ﹣1)]max=1, ﹣1) ( ﹣1)≤1.

当 x1=x2=0 时,[1﹣(

所以 a≥1. 综合上述,a∈{1}. 【点评】本题主要考查函数的应用,根据不等函数的定义,进行推理是解决本题的关键.考 查学生的推理能力.


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