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空间直角坐标系与空间两点的距离公式


空间直角坐标系与空间两点的距离公式 空间直角坐标系 为了确定空间点的位置, 我们在空间中取一点 O 作为原点, 过 O 点作三条两两 垂直的数轴,通常用 x、y、z 表示. 轴的方向通常这样选择:从 z 轴的正方向看,x 轴的半轴沿逆时针方向转 90° 能与 y 轴的半轴重合. 这时,我们在空间建立了一个直角坐标系 O-xyz,O 叫做坐 标原点. 如何理解空间直角坐标系? 1.三条坐标轴两两垂直是建立空间直角坐标系的基础; 2.在空间直角坐标系中三条轴两两垂直,轴的方向通常这样选择:从z轴的正方向 看,x轴的半轴沿逆时针方向转90° 能与y轴的半轴重合; 3.如果让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指指向z轴的 正方向,那么称这个坐标系为右手直角坐标系,一般情况下,建立的坐标系都是右 手直角坐标系; 4.在平面上画空间直角坐标系O-xyz时,一般情况下使∠xOy=135° ,∠yOz=90° . 空间点的坐标 1. 点P的x坐标: 过点P作一个平面平行于平面yOz, 这样构造的平面同样垂直于x轴, 这个平面与x轴的交点记为Px,它在x轴上的坐标为x,这个数x就叫做点P的x坐标; 2. 点P的y坐标: 过点P作一个平面平行于平面xOz, 这样构造的平面同样垂直于y轴, 这个平面与y轴的交点记为Py,它在y轴上的坐标为y,这个数y就叫做点P的y坐标; 3. 点P的z坐标: 过点P作一个平面平行于平面xOy,这样构造的平面同样垂直于z轴, 这个平面与z轴的交点记为Pz,它在z轴上的坐标为z,这个数z就叫做点P的z坐标; 这样,我们对空间的一个点,定义了一组三个有序数作为它的坐标,记做P(x, y,z),其中x,y,z也可称为点P的坐标分量.

已知数组(x,y,z),如何作出该点? 对于任意三个实数的有序数组(x,y,z): (1)在坐标轴上分别作出点 Px,Py,Pz,使它们在 x 轴、y 轴、z 轴上的坐标分别 是 x、y、z; (2)再分别通过这些点作平面平行于平面 yOz、xOz、xOy,这三个平面的交点就是 所求的点. 空间点的坐标 1.在空间直角坐标系中,每两条轴分别确定的平面 xOy、yOz、xOz 叫做坐标平面; 2.坐标平面上点的坐标的特征: xOy 平面(通过 x 轴和 y 轴的平面)是坐标形如(x,y,0)的点构成的点集, 其中 x、y 为任意实数 yOz 平面(通过 y 轴和 z 轴的平面)是坐标形如(0,y,z)的点构成的点集,其

中 y、z 为任意实数; xOz 平面(通过 x 轴和 z 轴的平面)是坐标形如(x,0,z)的点构成的点集, 其中 x、z 为任意实数; 3.坐标轴上点的特征: x 轴是坐标形如(x,0,0)的点构成的点集,其中 x 为任意实数; y 轴是坐标形如(0,y,0)的点构成的点集,其中 y 为任意实数; z 轴是坐标形如(0,0,z)的点构成的点集,其中 z 为任意实数。 卦限 在空间直角坐标系中,三个坐标平面把空间分成八部分,每一部分称为一个卦 限; 在坐标平面 xOy 上方的四个象限对应的卦限称为第I、第II、第III、第IV卦限; 在下面的卦限称为第V、第VI、第VII、第VIII卦限; 在每个卦限内,点的坐标的各分量的符号是不变的,例如在第I卦限,三个坐标 分量 x、y、z 都为正数;在第II卦限,x 为负数,y、z 均为正数; 八个卦限中点的坐标符号分别为: I:( + ,+ ,+ );II:( - ,+ ,+ );III:( - ,- ,+ ); IV:( + ,- ,+ );V:( + ,+ ,- );VI:( - ,+ ,- ); VII:( - ,- ,- );VIII:( + ,- ,- ); 空间两点间的距离公式 空 间 两 点 A(x1 , y1 , z1) , B(x2 , y2 , z2)
d ( A, B) ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? ( z2 ? z1 ) 2 ,

的 距 离 公 式 是

特别地,点 A(x,y,z)到原点的距离公式为 d (O, A) ? x 2 ? y 2 ? z 2 .

题型 1.确定空间任一点的坐标 例 1.正方体的棱长为 2,求各顶点的坐标. 解:由图可知,正方体的各个顶点的坐标如下 A(0,0,0), B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),A1(0,0,2),B1(2, 0,2),C1(2,2,2),D1(0,2,2),

题型2.空间中点的对称问题 例 2.在空间直角坐标系中,写出点 P(x,y,z)的对称点 的坐标 (1)关于 x 轴的对称点是 P1 ; (2)关于 y 轴的对称点是 P2 ; (3)关于 z 轴的对称点是 P3 ; (4)关于原点的对称点是 P4 ;

(5)关于 xOy 坐标平面的对称点是 P5 ;; (6)关于 yOz 坐标平面的对称点是 P6 ; (7)关于 xOz 坐标平面的对称点是 P7 . 解:(1)P1(x,-y,-z);(2)P2(-x,y,-z);(3)P3(-x,-y,z); (4)P4(-x,-y,-z);(5)P5(x,y,-z);(6)P6(-x,y,z); (7)P7(x,-y,z);

题型3.求两点间的距离 例3.(1)点P ( (A)
30 6 2 3 6 , , ) 到原点的距离是 2 3 6 33 (B)1 (C) 6

(D)

35 6

1 3 4 1 2 3 (2) A( , , ), B(? , , ) 两点间的距离是 3 4 5 6 3 10

.

1 1 1 ? ? ? 1 ,选B. 2 3 6 1 1 3 2 4 3 73 (2)由两点间的距离公式得 | AB |? ( ? )2 ? ( ? )2 ? ( ? )2 ? . 3 6 4 3 5 10 12
【研析】(1)点P到原点的距离是 | OP |?

1.有下列叙述: ①在空间直角坐标系中,在 Ox 轴上的点的坐标一定是(0,b,0); ②在空间直角坐标系中,在 yOz 平面上点的坐标一定可以写成(0,b,c); ③在空间直角坐标系中,在 Oz 轴上的点的坐标可记为(0,0,c); ④在空间直角坐标系中,在 xOz 平面上点的坐标可写为(a,0,c). 其中正确的叙述的个数是( C ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 2.点 A(-3,1,5),点 B(4,3,1)的中点坐标是( B ) 7 1 1 4 (A) ( ,1, ?2) (B) ( , 2,3) (C)(-12,3,5) (D) ( , , 2) 2 2 3 3 3.点 B 是点 A(1,2,3)在坐标平面 yOz 内的射影,则|OB|等于( B ) (A) 14 (B) 13 (C) 2 3 (D) 11 4.到定点(1,0,0)的距离小于或等于 1 的点的集合是( A ) (A){(x,y,z)| (x-1)2+y2+z2≤1} (B){(x,y,z)| (x-1)2+y2+z2=1} (C){(x,y,z)| x2+y2+z2≤2} (D){(x,y,z)| x2+y2+z2≤1} 5.Rt△ ABC 中,∠BAC=90° ,A(2,1,1),B(1,1,2),C(x,0,1),则 x= 2 . 6.若点 P(x,y,z)到 A(1,0,1),B(2,1,0)两点的距离相等,则 x、y、z 满足的

关系式是 . (2x+2y-2z-3=0) 7.证明:以 A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的△ ABC 是等腰三角形

例4. 已知长方体ABCD-A1B1C1D2的边长为AB=14,AD=6,AA1=10, (1)以这个长方体的顶点A为坐标原点,以射线AB、AD、AA1分别为Ox、Oy、Oz 轴的正半轴,建立空间直角坐标系,求长方体各顶点的坐标; (2)以C点为原点,以射线BC、CD、CC1的方向分别为Ox、Oy、Oz轴的正方向, 建立空间直角坐标系,求长方体各顶点的坐标; 【探究】根据题目要求画出图形,建立空间直角坐标系后写 出各顶点的坐标。 解:(1)如图1,A(0,0,0),B(14,0,0),C(14,6,0), D(0,6,0),A1(0,0,10),B1(14,0,10),C1(14,6,10), D1(0,6,10), (2)如图 2,A(-6,14,0),B(-6,0,0),C(0,0,0), D(0,14,0),A1(-6,14,10),B1(-6,0,10),C1(0,0,10), D1(0,14,10),

例 5.在坐标平面 xOy 上求一点 P,使点 P 到 A(3,1,5)与 B(3, 5,2)的距离相等’ 解:设 P(x,y,0),∵ |PA|=|PB|, ∴ (x-3)2+(y-1)2+25=(x-3)2+(y-5)2+4 ,整理得,-2y+26=-10y+29, 3 3 ∴ 8y=3,即 y= , ∴点 P 的坐标为(x, ,0). 8 8 例 6.如图,在空间直角坐标系中,BC=4,原点 O 是 BC 3 1 的中点,点 A 的坐标是( , ,0),点 D 在平面 yOz 上, 2 2 且∠BDC=90° ,∠DCB=30° . (1)求 AD 的长度; (2)求∠DAC 的余弦值的大小’ 解:(1)由题意得 B(0,-2,0),C(0,2,0),设 D(0, y,z),∵ 在 Rt△ BDC 中,∠DCB=30° , 2 2 ∴ BD=2,CD=2 3 , ∴ (y+2) +z =4,(y-2)2+z2=12, ∴ y=-1,z= 3 ,∴ D(0,-1, 3 ),|AD|= ( (2) 在△ ACD 中, 由 (1) 知 AD= 6 , 又 AC= (

3 2 1 ) ? ( ? 1)2 ? ( 3)2 ? 6 2 2

3 2 1 CD=2 3 , ) ? ( ? 2)2 ? 02 ? 3 , 2 2

∴ cos∠DAC=

2 3 ? 6 ? 12 2 ,即∠DAC 的余弦值等于 ? 。 ?? 4 4 2? 3 ? 6


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