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必修1 新课标 数学 第三章《函数的应用》复习测试题(二)


第三章《函数的应用》复习测试题(二) 三、解答题 12.某民营企业生产 A、 B 两种产品, 根据市场调查与预测, A 产品的利润与投资成正比, 其关系如图甲,B 产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图乙(注:利润与投资 单位:万元). ⑴分别将 A、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式,并写出它们的函数关系式; ⑵该企业已筹集到 10 万元资金,并全部投入 A、B 两种产品的生产,问:怎样分配这 10 万元投资,才能使企业获得最大利润,其最大利润约为多少万元(精确到 1 万元)? 考查目的:考查函数建模能力、待定系数法求函数解析式、换元法求二次函数最值,以 及转化化归思想和数形结合思想等. 答案:⑴ , 入 6.25 万元时,企业获得最大利润约 4 万元. 解析: ⑴设 A 产品投资 万元时, 利润为 万元,由题意设 ∵ ,∴ ,∴ ( , ;⑵当 A 产品投入 3.75 万元,B 产品投 万元; B 产品投资 万元时, 利润为 ).由图象可知 . 万元,这时企业获得的利润为 万元, ,∴ .又 ⑵设投入 A 产品 万元,则投入 B 产品为 依题意得 . 令 ,∴ , ∴当 时, ,此时 . 答:当 A 产品投入 3.75 万元,B 产品投入 6.25 万元时,企业获得最大利润约 4 万元. 13.(2011 湖北理)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情 况下,大桥上的车流速度 (单位:千米/小时)是车流密度 (单位:辆/千米)的函数.当桥 上的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆 /千米时,车流速度为 60 千米/小时.研究表明:当 时,车流速度 是车流密度 的一次函数. ⑴当 时,求函数 的表达式; ⑵当车流密度 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/ 小时) 可以达到最大,并求出最大值.(精确到 1 辆/小时) 考查目的:考查分段函数、待定系数法和函数最值的求法等基础知识,以及运用数学 知识解决实际问题的能力. 答案:⑴ 最大值 . 时, ⑵当 时, 在区间[0,200]上取得 解析: ⑴由题意得, 当 ; 当 时, 设 ( ). 由 已 知 条 件 得 解 得 ∴ 函 数 的 表 达 式 为 ⑵由⑴得 当 当 当且仅当 时, 时, 时, 在区间[20,200]上取得最大值 . 为增函数,∴当 时,其最大值为 60×20=1200; , 综合以上得,当 时, 在区间[0,200]上取得最大值 . 即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3333 辆/小时. 14.某跨国饮料公司在对全世界所有人均 GDP(即人均纯收入)在 0.5 千美元~8 千美元的 地区销售该公司 A 饮料情况的调查中发现: 人均 GDP 处在中等的地区对该饮料的销售量最多, 然后向两边递减. ⑴下列几个模拟函数中的哪一个模拟函数( 表示人均 GDP,单位:千美元, 表示年人 均 A 饮料的销量,单位:升)来描述人均 A 饮料销量与地区的人均 GDP 关系更合适?说明理 由. ① ,② ,③ ,④ ; ⑵若人均 GDP 为 1 千美元时,年人均 A 饮料的销量为 2 升,人均 GDP 为 4 千美元时,年 人均 A 饮料的销量为 5 升,把⑴中你所选的模拟函数求出来,并求出各个地区中,年人均 A 饮料的销量最多是多少? 考查目的:考查几类增长率函数模型与实际问题的拟合,数学建模能力,

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