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惠州市第一中学高三年级数学试卷

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惠州市第一中学高三年级数学试卷
考生须知: 1. 本卷满分 150 分, 考试时间 120 分钟. 2. 答题前, 在答题卷密封区内填写班级,姓名和学号. 3. 所有答案必须写在答题卷上, 写在试题卷上无效. 4. 考试结束, 只需上交答题卷. 一:选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 ) 1.函数 y = 3 x 的反函数是( A y = x3 2 若 f′(x0)=2, A. -2 B y=3 x 则 lim B. ) C y = log 3 x ) D. 1 )

f (x 0 + k ) ? f (x 0 ) =( k →0 2k
2

1 D y = ( )x 3

C. -1

3. 如图所示是二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图像, | OA | ? | OB | 等于( 则 A. C. ±
c a c a
x

B. ?

c a

D.无法确定 )

4.函数 y=1+a (0<a<1)的反函数的图象大致是 (

(A) A

(B) B

(C) C

(D) D )

5.函数 f(x)=cosx·sinx 的图象相邻的两条对称轴之间的距离是( A. π B.2 π

π
C. D.

π
4
y y = f ′( x )

2

6.函数 f ( x ) 的定义域为开区间 (a, b) ,导函 数 f ′( x ) 在 (a, b) 内的图象如图所示,则函数

f ( x) 在开区间 (a, b) 内有极小值点( )
A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
b a O x

7.如果二次函数 y=-2x +(a-1)x-3,在区间(-∞, 1] 上是增函数,则( )
2

A. a=5

B .a=3

C. a≥5
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D. a≤-3

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8.在等差数列 {an } 中,已知 a1 = 2, a2 + a3 = 13, 则 a4 + a5 + a6 等于 ( ) A. 40
4

B. 42

C. 43

D. 45 )

9.若曲线 y = x 的一条切线 l 与直线 x + 4 y ? 8 = 0 垂直,则 l 的方程为( A. 4 x ? y ? 3 = 0 B. x + 4 y ? 5 = 0 C. 4 x ? y + 3 = 0

D. x + 4 y + 3 = 0

10.定义集合运算:A⊙B={z︳z= xy(x+y),x∈A,y∈B} ,设集合 A={0,1} B={2,3} , , 则集合 A⊙B 的所有元素之和为 ( ) A. 0 B. 6 C.12 D.18

二:填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在题中横线上。 ) 11.函数 y =

log 5 (3 ? x) 的定义域是__________.

12.在等比数列 {an } 中,如果 a6=6,a9=9, 则 a3=__________. 13. y=sin ( π x)-cos ( π x)+1 的周期是_______________.
2 2

14.关于函数 f(x)=lg

x2 +1 (x≠0,x∈R)有下列命题: x

①函数 y=f(x)的图象关于 y 轴对称。 ②当 x>0 时,f(x)是增函数;当 x<0 时,f(x)是减函数。

③函数 f(x)的最小值是 lg2。

④当-1<x<0 或 x>1 时,f(x)是增函数。

⑤f(x)无最大值,也无最小值。

其中正确的命题的序号是________。 (注:把你认为正确 正确的命题的序号都填上) 正确



解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)

15. (本小题满分 12 分) 求下列函数的导数:
x

y= e ·㏑ x 16 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = 2a cos 2 x + b sin x cos x ,且 f (0) = 2 , f ( ) =

π

3

1 3 + 2 2

(1) 求 a, b 的值; (2)求 f (x ) 的最大值与最小值; (3)若 α ? β ≠ kπ , k ∈ z ,且 f (α ) = f ( β ) ,求 tan(α + β ) 和值.
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17(本小题满分 14 分) 已知曲线 y =

1 和 y = x 2 它们交于点 P,过 P 点的两条切线与 x 轴分别交于 A, 两点。 B x

求△ABP 的面积。

18 (本小题满分 14 分) 在等差数列 {a n } 中,首项 a1 = 1 ,数列 {bn } 满足 bn = ( ) n , 且b1b2 b3 =
a

1 2

1 . 64

(1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)求 a1b1 + a 2 b2 + L + a n bn . 19. (本小题满分 14 分)
3 2

已知函数 f(x)=x +ax +bx+c 在 x=-

2 与 x=1 时都取得极值 3

(1)求 a、b 的值与函数 f(x)的单调区间
2

(2)若对 x∈〔-1,2〕 ,不等式 f(x)<c 恒成立,求 c 的取值范围。 20. (本小题满分 14 分) 设 a 为实数,记函数 f ( x) = a 1 ? x 2 + 1 + x + 1 ? x 的最大值为 g(a)。 (1)设 t= 1 + x + 1 ? x ,求 t 的取值范围,并把 f(x)表示为 t 的函数 m(t) (2)求 g(a)
1 (3)试求满足 g (a) = g ( ) 的所有实数 a。 a

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