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关于含参函数单调性问题导数解法的研究


· 5 2 ·                  中学数学月刊              2014 年第 4 期

关于含参函数单调性问题导数解法的研究
陈小祥   ( 江苏省徐州市侯集高级中学  221 121 )    导数的引入极大地方便了对函数单调性的研 然而源于高中阶段目前的 究和相关问题的 解 决 , 知识体系下学生 无 法 深 入 学 习 理 解 极 限 、 导数等 高等数学基础内容等原因 , 中学相关教材中 ( 苏教 对导数与函数单调性关系做了简化处理 , 教参 版) 中也提出了不必 深 究 的 建 议 . 然而不论在教学中 还是在高考中都 出 现 了 相 关 的 问 题 , 这些问题引 本文主要对含参函数单 起了师生教与学 的 困 惑 . 调性问题的导数解法中出现的一些问题作一浅显 的研 究 , 并 给 出 合 适 的 解 决 策 略, 不 当 之 处, 敬请 指正 . 苏教版必修 1 中对函数的单调性作了这样的 定义 : 定义 1   一般地 ,设函数 狔 =犳( 狓)的定义域 区间犐 ? 犃, 如果对于区间犐 内的 任意 两个 为 犃, 值狓 1 , 当 狓1 <狓2 ( 时, 都有犳( 狓2 , 狓1 <狓2 ) 狓1 ) < ( ) ( ( ) ( ) ) , 那么就说 ( ) 在区 狓 狓 狓 狓 = 犳 2 犳 1 >犳 2 狔 犳 间 犐 上是单调增 ( 减) 函数 , 如果函数狔=犳( 在 狓) 区间犐 上是单调增 ( 减 )函数 , 那么就说 狔 =犳( 狓) 在区间犐 上有单调性 . 选修 1?1 中对函数单调性则这样描述 : 定义 2   设函数 狔 =犳( 狓)在 某 个 区 间 内 可 如果 犳 , 则函数 狔=犳( 导, ′( 狓)> 0 ( ′ < 0) 狓)为 犳 这个区间上的增 ( 减 )函数 . 利用 定 义 1 结 合 导 数 定 义 证 明 定 义 2 并 不 难, 这里略去 , 但是利用定义 2 解决以下教学中常 见问题时会遇到不少困惑和争议 : 问题 1   求函数 狔 =狓3 的单调区间 ; 问题 2   函数狔= 上 犪 狓 3 -狓 在 ( - ∞, + ∞) 求实数 犪 的范围 ; 是减函数 ,

檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪 阳引力潮的合成用下面的函数表示 : 2π 2π , 其中 狓) .1 7sin ( 狓 +φ) = sin ( 狓) +2 犳( 犜1 犜2

犜1 =12 , 犜2 =12

25 , 2犽 π, 整理化简可 犽∈ 犣, =- 60 φ 15

图2

24 2犽 , π 得犳( 狓) .1 7sin ( π 狓- π) 犽∈ =sin ( 狓) +2 6 149 15 [ 其中 犽 表示农历初一到三十中 的某 0 ,30 ]∩ 犣, 表示该时 一天 , 狓 表示第犽 天中的某一时刻 , 狓) 犳( 刻海潮的相对高度 . 检验模型 3   电脑演示 , 观察图象的变化 , 很容易看到初一 、 十五涨 大 图 1) , 初八 、 二十三涨小潮 ( 图 2) 另外 , 当犽= 0 潮( . 时, 即 犽= 16 3: 00 时刻达到第一次大潮 , 16 天后 , 时, 所以平均每天第一 16 : 00 时刻达到第一次大潮 , 次大潮后移时间为 16 - 3 = 48 .75 min ≈ 50 min. 16

寻找规律 4   继续思考 , 到此学 生 的 两 个 问 题 都 得 到 了 比 较 好 的 回 答, 但继续思考我们会发现 , 上述潮汐模型其实就 那么两个 是两个相近频率的 正 弦 波 的 叠 加 问 题 , 相近频率的正弦函数之和在 ( - ∞, + ∞ )上的图 象是什么样子的呢?通过几何画板我们可以看到 图 3.

图3

此类问 题 在 声 学 中 被 称 为 拍 现 象 , 在数学上 我们姑且可以称为 鱼 形 函 数 . 它在测高速运动物 体的速度上有很好的应用 .
图1

2014 年第 4 期                 中学数学月刊                 · 5 3 ·

犪 狓 - 1 在( , 上单 - 1 + ∞)    问题 3   函数狔= 狓+ 1 调递增 , 求实数 犪 的范围 ;
问题 4   ( 201 3 江 苏 高 考 第 20 题 )设 函 数 若函数在 ( 上是单调减 狓) 狓, 1, =ln 狓-犪 + ∞) 犳( 求实数 犪 的范围 . 函数 ,

问题是 , 若将原题改为 “ 设函数犳( 犪≥ 1 . 狓) =ln 狓 若函数 在 [ 求实 狓, 1, -犪 + ∞ )上是 单调 减函 数 , 数犪 的范围 ” 呢, 用此种解法得到的结果就是错解 为什么呢? 犪 > 1 了,

2   导数与函数单调性关系深层次探究
我们知道 , 定义 2 给复杂函数单调性的判断 带来了极大的便利 , 但使用其解决关于单调性的 逆向问题时 , 则有点力不从心 . 因为逆向问题的解 当然充要条件 决至少应考虑单调 性 的 必 要 条 件 , 更好 . 华东师大《 数 学 分 析 》教 材 ( 高等教育出版 社, 1 99 1 年版 )对于这个问题给出的答案是 : 定理   若函数犳( 在区间 ( 内可导 , 则 狓) 犪, 犫) 递 减 )的 充 要 条 狓)在区间 ( 犪, 犫)内 严 格 递 增 ( 犳( ,有 犳 件是 :( 1 )对 一 切 的 狓 ∈ ( 犪, 犫) ′( 狓)≥ ;( ′( 0( 狓)≤ 0 ) 2 )在 ( 犪, 犫)的 任 何 子 区 间 上 犳 狓)不恒为 0 . ′( 犳 需说明 的 是 : ( 1 )这 里 的 严 格 递 增 指 高 中 教 材中所说的递增 , 即对应定义 1 ; ( 2 )此 定 理 的 证 所以教参 明需涉及超出高中 知 识 范 畴 的 新 知 识 , 中的不必深究应是 指 此 原 因 , 但实际教学中完全 可以由具体实例引导学生直观得到并理解这一定 1 理, 如可由狔= 狓3 , 狓, 狔= 狔= 以及常数函数等图 狓 ( 象去直观阐述 ; ′( 3 )定理中 ( 2 )事实上是指 犳 狓) 离 散解 ) 综 犪, 犫)上至多只有孤立解 ( . = 0 在区间 ( 上, 若已知含参 函 数 在 某 开 区 间 上 的 单 调 性 求 参 数范围问题 , 完全可以等价地转化为求同时满足 下列两个条件的新问题 : ′( 狓) = 0 在此区间上至 犳 多有孤立解和犳 在此区间上 ′( ′( 狓) 狓) 犳 ≥ 0( ≤ 0) 恒成立 . 具体讨论如下 : 2. 1   导数解决含参函数单调性问题的策略一 对于问题 2 , 令狔 若犪 ≤ 0 , 此 ′=3犪 狓2 - 1 =0 , 方程无 解 , 故此时狔 ′ = 3犪 狓2 - 1 < 0 在 ( - ∞, 显然符合 ; 若犪 > 0 , 方程 根为 狓 + ∞ )上都成立 , =± 1 , 是两个孤立解 , 此时只需 狔 ′ = 3犪 狓2 - 1 3犪 槡 在 上都成立即可 , 易得犪 ≤ 0 , 与 - ∞, + ∞) ≤0 (

1   教学中常见问题与争议概述
对于问 题 1 ,易 知 其 单 调 增 区 间 是 ( - ∞, 2 , 然而若用定义 2 , 即因为 狔 令狔 ′= 3狓 , ′> + ∞) , 所以函数的单调 0 得狓 ∈ ( 0) 0, - ∞, + ∞) ∪( , ) , ( , ) , 为什么不是 ( 增区间为 ( 0 +∞ -∞ 0 - ∞, ? 如 果 是 ,为 什 么 可 以 将 ( ,( 0) 0, + ∞) - ∞, ? 于是教学中可 + ∞ )并起来 成 为 ( - ∞, + ∞) 能会结合 函 数 狔 =狓3 函 数 图 象 得 到 : 函数狔= 若犳 则 狓)在某个区间 ( 犪, 犫)内可导 , ′( 狓)> 0 , 犳( ( ) 在某个区间 ( , ) 内递增 , 反之 不成 立 犪犫 . 狔 =犳 狓 即 在区间 ( , ) 内 , ( ) 是 ( ) 在区间 ( 犪犫 ′狓 > 0 犳狓 犪, 犳 进而直接引出 犫)内单调递增的充分不 必 要 条 件 , 所谓的充要条件 : 函数狔= 在某个区间 ( 狓) 犪, 犫) 犳( 内可导 ,则 函 数 犳( 狓)在 这 个 区 间 内 单 调 递 增 ( 减 )的充要条件是 犳 ′( 狓)≥ 0 ( ′( 狓)≤ 0 )在区 犳 间( 犪, 犫)内恒成立 . 对于问题 2 , 利用上面得到的结论 , 因为 狔 ′= 2 2 由题意 狔 利用 3犪 狓 -1, ′= 3犪 狓 - 1 ≤ 0 恒成立 , 需讨论 分离参变量或者 二 次 函 数 根 的 分 布 理 论 ( 看似无懈可击 ; 参数 )易得 犪 ≤ 0 ,

犪+ 1 对于问题 3 , 因为 狔 在( ′= - 1, 2 ≥ 0 ( 狓+ 1 ) 则犪 ≥- 1 . 问题是当犪= - 1 时 , + ∞)上恒成立 ,
原函数 狔= - 1 , 按照高中函数单调性定义 1 , 此时 函数没有单调性 , 即犪 不能等于 1 . 为什么会出现这 样的问题?如何解决? 于是教学 中 可能会 总结 出 — — 验证端点取值 . 以本题为例 , 这样的解决办法 — 当犪= -1 时 , 原函数无单调性 , 故舍去 , 从而实数犪 的范围是 ( 但为什么要验证呢? . -1, + ∞) 对于问题 4 , 江苏高考题的标准解法不同于 1 -犪 狓 以上思路 , 大体是这样给出的 : 令犳 ′( 狓) = 狓 因为定义域为( ,所 以 解 得 狓 ∈ 0 ,+ ∞ ) < 0,

故舍去 . 综上 犪 ≤ 0 . 犪 > 0 矛盾 ,



1 , 由题意 , 函数在 ( +∞ . 1, + ∞ )上 单调 减 , 犪



所 以( 1, + ∞) ?

1 , , 所以 1 ≥ 1 , 故犪≥ + ∞) ( 犪 犪

犪+ 1 对 于问题 3 , 令狔 , 得犪=-1 . ′= 2 =0 ( 狓+ 1) 当 犪=- 1 时 , 方程解集为区间 ( , 由定 -1, + ∞)
理知函数在 ( 上不单调递增 , 舍去 ; 当犪 -1, + ∞)

1 -犪 狓 若用上述问题 2 ~ 3 的解法 , 1. ′( 狓) = 犳 ≤ 狓 上恒成立 , 易得犪≥ 1 恒成立 , 因此 0 在( 1, + ∞) 狓

犪+ 1 所以只需 狔 在 ′≠ 0, ′= 狔 ≠- 1 时 , 2 > 0 ( 狓+ 1) ( 易得 犪 >- 1 . -1, + ∞ )上恒成立即可 ,

· 5 4 ·                  中学数学月刊              2014 年第 4 期 1 -犪 狓 对 于问题 4 , 令犳 由于狓 ∈ ′( 狓) = =0 , 狓 ( , 所以 1 -犪 若 犪= 0 , 则此方程无 0, 狓 =0 . + ∞) 此时只需 1 - 恒成立即可 . 解, 犪 狓 < 0 在( 1, + ∞) 易得 犪 > 1 , 与犪=0 矛盾 ( 或者若犪=0 , 则 1 -犪 狓 , 舍去 ; 若犪 ≠ 0 , 方程根为狓= 1 , 为一孤 =1 > 0 ) 犪 立解 , 所以此时只需 1 -犪 上恒 狓 ≤ 0 在( 1, + ∞) 成立即可 , 易得 犪 ≥ 1 . 综上 犪 ≥ 1 . 对于问题 1 , 因为 狔 ′= 3狓2 = 0 时 , 狓 = 0 为一 所以令 狔 解得 狓 ∈ 犚. 孤立解 , ′= 3狓2 ≥ 0 , 利用此种策略解题时往往需要根据参数范围 若有解 : 分类讨论解狔 ′=0 方程 , ① 在某一子区间 上都有解 , 因不符合定理 中 条 件 , 直 接 舍 去; ②若 则可等价地转化为犳 有孤立解 , 狓)≥ 0 ( 狓) ′( ′( 犳 ) 在 区 间 上 恒 成 立 问 题 , 结 合 初 始 范 围 求 解 ; ≤0 若无解 , 直接转化为 犳 ′( 狓)> 0 ( ′( 狓)< 0 )在区 犳 间上恒成立问题 , 结合初始范围求解 . 此策略的优 点是逻辑顺序合理 清 晰 , 但因需先分类求解含参 方程 , 再转 化 为 恒 成 立 问 题 , 运 算 量 较 大, 如问题 1 3 1 若函数 犳( 5: 狓) 狓2 + ( 犪- 1 ) 狓+ 1 在 = 狓 - 犪 3 2 求实 数 犪 的 范 围 . 为此可 区间 ( 1, 4 )内为减函数 , 以优化为策略二 . 2. 2   导数解决含参函数单调性问题的策略二 由定理 可 知 , 已知含参函数在某开区间上的 可以等价地转化为定理 单调性求参数范围 问 题 , 中两个条件同时成 立 时 求 参 数 范 围 的 问 题 . 条件 ( 事 实 上, 在条件( 1 )即为恒 成 立 问 题 ; 1 )成 立 的 也暗 含 了 犳 前提下 , ′( 狓) =0 这一方程的可能的 解. 因为根据不等式与方程的关系 , 不等式解集中 的非 “ 反 之, ± ∞ ”的 端 点 可 能 是 相 应 方 程 的 根 ; 方程若有解 , 其解 也 一 定 在 相 应 不 等 式 的 解 集 的 鉴 于 此, 可 将 策 略 一 的 逻 辑 顺 序 颠 倒, 如 端点中 . 针 对问题 5 : 由题意令狔 狓 -犪 狓 +犪- 1 =( 狓- ′= [ ] 内恒成立 , 易得只需 1) 狓- ( 犪- 1 ) 1, 4) ≤ 0 在(


足的是逻辑顺序不如策略一清晰自然 . 纵观近 几 年 高 考 题 中 所 涉 及 的 部 分 函 数 类 型, 由 狔= 犪 狓 +犫, 犪 狓2 +犫 狓 +犮, 狔= 狔= ln 狓, 狔= 狓 狀 等基本初等函数组成的复合函数类型 : e 犪1狓 狔= 狀 1 其中犪1 , …, 犪2 , 犪0 不全 +犪2狓 - + … +犪1狓 +犪0 ( , 为 零) 犪sin 狓+ 犫 cos 狓, 犪ln 狓+ 犫, 犪ln 狓 狔= 狔= 狔=

犪ln 狓 狓+ 犮, 犪 狓ln 狓 +犫 狓+ 犮, 犪e狓 +犫 狔= 狔= 2 , 狔= 狓 其 导 数 只 要 不 为 常 数, 结合方程理 狓 +犮 等 , +犫
应该可 以 发 现 , 即 使 在 某 开 区 间 上 有 根, 也只 论, 可能是 孤 立 解 , 亦即事实上利用定理的条件( 1) 将问题转化为犳 在区间上恒 ′( 狓) ′( 狓) 犳 ≥ 0( ≤ 0) 成立的问题就可以 求 解 . 当然这里需要进一步严 感兴趣的读者可继续研究 . 格的证明 , 2. 3   导数解决含参函数单调性问题的策略三 利用定义 2 , 亦即函数在狔 ′ > 0( ′ < 0 )的 狔 ( 每个 )解集 ( 区间 )上单调增 ( 减) , 所以若含参函 减) , 则这个区间 数在某个给定的区 间 上 单 调 增 ( 的( 某个 ) 解集 ( 区间 ) 的子 应该是狔 ′> 0 ( ′< 0 ) 狔 集, 如问题 4 的 “ 标 准 解 法” , 优 点 是 避 开 了 争 议, 逻辑清楚自然 , 也易于高中学生接受 , 缺点是往往 对含参不等式求解较繁的问题解决 运算量较大 , 效率较低 , 同时 在 解 决 正 余 弦 类 的 含 参 复 合 函 数 问题 上 无 能 为 力 ,如 :若 狔 = sin 狓 - 犪 狓2 在 3π 上单调减 , 求实数 犪 的范围问题 . π, 2

( )

3   关于此类问题求解策略的教学建议
就我省 教 参 和 高 考 阅 卷 导 向 来 看 , 建议首先 教授策略三 , 原因是此法立足于定义 2 本身 , 逻辑 清晰简单 , 涉及方法知识本身不超纲 . 尽管有时运 算较繁 , 但不失为一定范围内的通性通法 , 而且和 属于知识交汇处的 高一的含参不等式 联 系 紧 密 , 一般解法 ; 对于程度较好的班级和学生 , 策略一和 二是绝佳的探究材 料 , 不仅因为其解决问题的范 围和效率较策略三 广 和 高 , 而且解法本身联系了 高一的恒成立这类 典 型 热 点 问 题 , 还链接了高等 可谓承上启下的典型 数学初步的一些基 础 内 容 , 载体 , 所以不应错过 . 教学上可以通过一些具体的 初等函数图象引导学生发现并解决为什么仅仅转 在区间上恒成立是不 化为犳 ′( 狓) ′( 狓) 犳 ≥ 0( ≤ 0) 够的?为什么还需要另一个条件?如何准确规范 求解?等 问 题 , 再结合一些具体实例习题来进一 步巩固强化学生的 理 解 , 最好是采取开放的探究 式教学形式 , 即在教师设计的问题引导下采取学 生小组合作 、 讨 论 探 究、 展 示 解 法、 探讨错因等方 式教学效果可能较好 .

即犪 ≥ 5 . 又犪=5 时 , ( 犪- 1 ≥ 4 , ′= ( 狓- 1 ) 狓- 狔 ) , 其两根均不在 ( , ) 内 , 故符合题意 事实 4 =0 1 4 . 上, 当 犪- 1 > 1 时 , 不等式 狔 ′ ≤ 0 解集为 [ 1, 犪- , 易得犪- 1 ≥ 4 即可 , 所以犪 ≥ 5 . 而当犪- 1 ≤ 1] 故犪 ≥ 5 . 而当犪 ≥ 5 时 , 方程 狔 1 时不符合题意 , ′ 亦即另外一解事实上为犪 =0 的另外一解是犪- 1 , [ , ) 内的任一元素 之所以只验证犪- 1 = . ∈ 4 +∞ 因为这是狔 若它 ′=0 除 1 外的最小的可能解了 , 4, 不在 ( 则都不在其内 , 从而狔 1, 4 )内 , ′ ≤ 0 恒成立 策略二的优点是简化了运算求解过程 , 不 就够了 .


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