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2008年普通高等学校招生全国统一考试数学(海南宁夏卷·理科)(附答案,完全word版)


年普通高等学校招生全国统一考试(宁夏卷) 2008 年普通高等学校招生全国统一考试(宁夏卷) 理科数学
数学( 数学(理)试题头说明: 试题头说明: 本试卷分第Ⅰ 选择题)和第Ⅱ 非选择题)两部分,其中第Ⅱ 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第 22-24 题为选考 - 其它题为必考题.考生作答时,将答案答在答题卡上.在本试卷上答题无效.考试结束后 题,其它题为必考题.考生作答时,将答案答在答题卡上.在本试卷上答题无效.考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回. 将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名,准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的姓名, .答题前,考生务必先将自己的姓名,准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的姓名, 准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号;非选择题 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号; . 答案使用 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整,笔迹清楚. 答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整,笔迹清楚. 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效. .请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效. 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损. .保持卡面清洁,不折叠,不破损. 5.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. .做选考题时,考生按照题目要求作答, 参考公式: 参考公式: 锥体体积公式 样本数据 x1,x2, …,xn 的标准参 s=

1 ( x1 x ) 2 ( x2 x ) 2 + … + ( xn x ) 2 n

V=

1 Sh 3

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式 V=Sh 其中 S 为底面面积,h 为高

其中 S 为底面面积,h 为高 球的表面积,体积公式

S = 4πR 2 , V =

4 3 πR 3

其中 R 为球的半径

第Ⅰ卷
小题, 在每小题给出的四个选项中, 一,选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 选择题: 目要求的. 目要求的. 1.已知函数 y = 2sin(ω x + )(ω > 0) )在区间 [ 0, ] 的图像如下: 2π y 1 O 那么 ω =( A.1 1



x

) B.2 C.

1 2

D.

1 3

2.已知复数 z = 1 i ,则

z 2 2z =( z 1

)

第 1 页 共 12 页

A. 2i B. 2i C. 2 D. 2 3.如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍,那么它的顶角的余弦值为( A.

)

5 18

B.

3 4

C.

3 2

D.

7 8
开始 ) 输入 a,b,c

S 4.设等比数列 {an } 的公比 q=2,前 n 项和为 Sn,则 4 =( a2
A. 2 B. 4 C.

15 2

D.

17 2

x=a
b>x
否 是 是

5.右面的程序框图,如果输入三个实数 a,b,c,要求输出这三 个数中最大的数,那么在空白的判断框中,应该填入下面四个选 项中的( ) A. c > x B. x > c C. c > b D. b > c

x=b

否 输出 x 结束 6.已知 a1>a2>a3>0,则使得 (1 ai x ) < 1(i = 1, 3) 都成立的 x 取值范围是( 2,
2

x=c

)

A. 0,



1 a1

B. 0,



2 a1

C. 0,



1 a3

D. 0,



2 a3

7.

3 sin 70 =( 2 cos 2 10 1 2
B.

)

A.

2 2

C. 2

D. )

3 2

8.平面向量 a,b 共线的充要条件是( A.a,b 方向相同 B.a,b 两向量中至少有一个为零向量 C.λ ∈ R , b = λ a

D.存在不全为零的实数 λ1 , λ2 , λ1a + λ2 b = 0 9.甲,乙,丙 3 位志愿者安排在周一至周五的 5 天中参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且 每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面.不同的安排方法共有( ) A.20 种 B.30 种 C.40 种 D.60 种 10.由直线 x =

1 1 ,x=2,曲线 y = 及 x 轴所围图形的面积为( 2 x

)

第 2 页 共 12 页

A.

15 4

B.

17 4

C.

1 ln 2 2

D. 2 ln 2

11.已知点 P 在抛物线 y 2 = 4 x 上,那么点 P 到点 Q (2, 1) 的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和 取得最小值时,点 P 的坐标为( A. , 1 ) C. (1, 2) D. (1 2) ,

1 4



B. , 1

1 4

12.某几何体的一条棱长为 7 ,在该几何体的正视图中,这条棱的投影是长为 6 的线段,在 该几何体的侧视图与俯视图中, 这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段, a+b 的最大值为 则 ( A. 2 2 B. 2 3 C. 4 D. 2 5 )

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分. 第 题为必考题, 每个试题考生都必须做答. 本卷包括必考题和选考题两部分. 13 题~第 21 题为必考题, 每个试题考生都必须做答. 第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 题为选考题,考生根据要求做答. 填空题: 小题, 二,填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

, 1, 13.已知向量 a = (0, 11) , b = (4,0) , λa + b =
14.设双曲线

29 且 λ > 0 ,则 λ =

.

x2 y 2 = 1 的右顶点为 A,右焦点为 F.过点 F 平行双曲线的一条渐近线的直线与 9 16

双曲线交于点 B,则△AFB 的面积为 . 15.一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上, 且该六棱柱的体积为

9 ,底面周长为 3,则这个球的体积为 8

.

16.从甲,乙两品种的棉花中各抽测了 25 根棉花的纤维长度(单位:mm) ,结果如下: 甲品种:271 273 280 285 285 287 292 294 295 301 303 303 307 308 310 314 319 323 325 325 328 331 334 337 352 乙品种:284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 318 320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356 由以上数据设计了如下茎叶图

第 3 页 共 12 页

甲 3 7 5 5 5 4 8 7 3 3 9 4 8 5 5 7 4 1 0 2 1 0 3 1 2 27 28 29 30 31 32 33 34 35 4 2 4 2 0 1 3 6



5 6 3 2 3

7 5 5 6 8 8 2 4 7 9 6 7

根据以上茎叶图,对甲,乙两品种棉花的纤维长度作比较,写出两个统计结论: ① ; ② . 解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 三,解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知 {an } 是一个等差数列,且 a2 = 1 , a5 = 5 . (Ⅰ)求 {an } 的通项 an ; (Ⅱ)求 {an } 前 n 项和 Sn 的最大值.

18. (本小题满分 12 分) 如图,已知点 P 在正方体 ABCD A′B′C ′D′ 的对角线 BD′ 上, ∠PDA = 60° . (Ⅰ)求 DP 与 CC ′ 所成角的大小; D′ (Ⅱ)求 DP 与平面 AA′D′D 所成角的大小. C′

A′

P D

B′
C B

A

第 4 页 共 12 页

19. (本小题满分 12 分) A,B 两个投资项目的利润率分别为随机变量 X1 和 X2.根据市场分析,X1 和 X2 的分布列分别为 X1 5% 10% X2 2% 8% 12% P 0.8 0.2 P 0.2 0.5 0.3

(Ⅰ)在 A,B 两个项目上各投资 100 万元,Y1 和 Y2 分别表示投资项目 A 和 B 所获得的利润,求 方差 DY1,DY2; (Ⅱ)将 x (0 ≤ x ≤ 100) 万元投资 A 项目, 100 x 万元投资 B 项目, f ( x ) 表示投资 A 项目所 得利润的方差与投资 B 项目所得利润的方差的和.求 f ( x ) 的最小值,并指出 x 为何值时, f ( x ) 取到最小值. (注: D ( aX + b) = a 2 DX )

20. (本小题满分 12 分) 在直角坐标系 xOy 中,椭圆 C1:

x2 y2 + =1(a>b>0)的左,右焦点分别为 F1,F2.F2 也是抛 a2 b2
5 . 3

物线 C2: y 2 = 4 x 的焦点,点 M 为 C1 与 C2 在第一象限的交点,且|MF2|= (Ⅰ)求 C1 的方程;

(Ⅱ) 平面上的点 N 满足 MN = MF1 + MF2 , 直线 l‖MN, 且与 C1 交于 A, 两点, OAiOB = 0 , B 若 求直线 l 的方程.

21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x ) = ax +

1 (a,b ∈ Z) ,曲线 y = f ( x) 在点 (2,f (2)) 处的切线方程为 y=3. x+b

(Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式: (Ⅱ)证明:函数 y = f ( x) 的图像是一个中心对称图形,并求其对称中心; (Ⅲ)证明:曲线 y = f ( x) 上任一点的切线与直线 x=1 和直线 y=x 所围三角形的面积为定值,并 求出此定值.

第 5 页 共 12 页

请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时,用 2B , , 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时, 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,过圆 O 外一点 M 作它的一条切线,切点为 A ,过 A 点作直线 AP 垂直直线 OM ,垂足为 P. (Ⅰ)证明: OM iOP = OA ;
2

(Ⅱ)N 为线段 AP 上一点, 直线 NB 垂直直线 ON , 且交圆 O 于 B 点. B 点的切线交直线 ON 过 于 K .证明:∠OKM = 90 . B A N P

K M

O 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4;坐标系与参数方程

x = x = cos θ, 已知曲线 C1: ( θ 为参数) ,曲线 C2: y = sin θ y =

2 t 2, 2 (t 为参数) . 2 2

(Ⅰ)指出 C1,C2 各是什么曲线,并说明 C1 与 C2 公共点的个数; (Ⅱ)若把 C1,C2 上各点的纵坐标都压缩为原来的一半,分别得到曲线 C1′,C2′ .写出 C1′,C2′ 的参数方程. C1′ 与 C2′ 公共点的个数和 C 1 与C 2 公共点的个数是否相同?说明你的理由.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) = x 8 x 4 . (Ⅰ)作出函数 y = f ( x) 的图像; (Ⅱ)解不等式 x 8 x 4 > 2 . 1 O 1 x y

第 6 页 共 12 页

年普通高等学校招生全国统一考试(宁夏卷) 2008 年普通高等学校招生全国统一考试(宁夏卷) 理科数学试题参考答案
一,选择题 1.B 2.B 7.C 8.D 二,填空题 13. 3 3.D 9.A 4.C 10.D 5.A 11.A 6.B 12.C

14.

32 15

15.

4 π 3

16.1.乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度(或:乙品种棉花的纤维长度 普遍大于甲品种棉花的纤维长度) . 2.甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散. (或:乙品种棉花的纤维长度较甲品 种棉花的纤维长度更集中 (稳定) 甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的 . 分散程度更大) . 3.甲品种棉花的纤维长度的中位数为 307mm,乙品种棉花的纤维长度的中位数为 318mm. 4.乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的,而且大多集中在中间(均值附近) .甲品种棉花的纤 维长度除一个特殊值(352)外,也大致对称,其分布较均匀. 三,解答题 17.解: (Ⅰ)设 {an } 的公差为 d ,由已知条件, 所以 an = a1 + ( n 1) d = 2n + 5 . (Ⅱ) S n = na1 +

a1 + d = 1 ,解出 a1 = 3 , d = 2 . a1 + 4d = 5

n(n 1) d = n 2 + 4n = 4 (n 2)2 . 2

所以 n = 2 时, Sn 取到最大值 4 . 18.解: 如图,以 D 为原点, DA 为单位长建立空间直角坐标系 D xyz . 则 DA = (1, 0) , CC ′ = (0,1) . 0, 0, 连结 BD , B′D′ . 在平面 BB′D′D 中,延长 DP 交 B′D′ 于 H . 设 DH = ( m,m, m > 0) , 1)( 由已知 < DH, >= 60 , DA 由 DAi DH = DA DH cos < DA DH > , 可得 2m = x z

D′ A′
D A

H P

C′ B′
C B y

2m 2 + 1 .
第 7 页 共 12 页

解得 m =

2 2 2 ,所以 DH = 1 2 ,2 , . 2

2 2 ×0 + × 0 + 1× 1 2 2 ′ >= 2 (Ⅰ)因为 cos < DH, CC = , 2 1× 2

CC 所以 < DH, ′ >= 45 .
即 DP 与 CC ′ 所成的角为 45 . (Ⅱ)平面 AA′D′D 的一个法向量是 DC = (0,0) . 1,

2 2 ×0 + × 1 + 1× 0 1 2 2 DC 因为 cos < DH, >= = , 2 1× 2

DC 所以 < DH, >= 60 .
可得 DP 与平面 AA′D′D 所成的角为 30 . 19.解: (Ⅰ)由题设可知 Y1 和 Y2 的分布列分别为 Y1 P 5 0.8 10 0.2 Y2 P 2 0.2 8 0.5 12 0.3

EY1 = 5 × 0.8 + 10 × 0.2 = 6 , DY1 = (5 6) 2 × 0.8 + (10 6) 2 × 0.2 = 4 , EY2 = 2 × 0.2 + 8 × 0.5 + 12 × 0.3 = 8 , DY2 = (2 8) 2 × 0.2 + (8 8)2 × 0.5 + (12 8) 2 × 0.3 = 12 .
(Ⅱ) f ( x) = D
2

x 100 x Y1 + D Y2 100 100
2

x 100 x = DY1 + DY2 100 100
= 4 x 2 + 3(100 x) 2 2 100

第 8 页 共 12 页

4 (4 x 2 600 x + 3 × 100 2 ) , 2 100 600 = 75 时, f ( x) = 3 为最小值. 当x= 2× 4 =
20.解: (Ⅰ)由 C2 : y = 4 x 知 F2 (1, . 0)
2

设 M ( x1,y1 ) , M 在 C2 上,因为 MF2 = 得 x1 =

5 5 ,所以 x1 + 1 = , 3 3

2 2 6 , y1 = . 3 3

M 在 C1 上,且椭圆 C1 的半焦距 c = 1 ,于是

8 4 2 + 2 = 1, 2 消去 b 并整理得 9a 3b b 2 = a 2 1. 9a 4 37 a 2 + 4 = 0 ,
解得 a = 2 ( a =

1 不合题意,舍去) . 3 x2 y 2 + = 1. 4 3

故椭圆 C1 的方程为

(Ⅱ)由 MF1 + MF2 = MN 知四边形 MF1 NF2 是平行四边形,其中心为坐标原点 O , 因为 l ‖ MN ,所以 l 与 OM 的斜率相同,

2 6 故 l 的斜率 k = 3 = 6 . 2 3
设 l 的方程为 y =

6( x m) .

3 x 2 + 4 y 2 = 12, 由 消去 y 并化简得 y = 6( x m), 9 x 2 16mx + 8m2 4 = 0 .
设 A( x1,y1 ) , B ( x2,y2 ) ,

第 9 页 共 12 页

x1 + x2 =

16m 8m 2 4 , x1 x2 = . 9 9

因为 OA ⊥ OB ,所以 x1 x2 + y1 y2 = 0 .

x1 x2 + y1 y2 = x1 x2 + 6( x1 m)( x2 m)
= 7 x1 x2 6m( x1 + x2 ) + 6m 2 8m 2 4 16m = 7i 6 mi + 6m 2 9 9 1 = (14m 2 28) = 0 . 9
所以 m = ± 2 . 此时 = (16m) 2 4 × 9(8m 2 4) > 0 , 故所求直线 l 的方程为 y = 21.解: (Ⅰ) f ′( x ) = a

6 x 2 3 ,或 y = 6 x + 2 3 .

1 , ( x + b) 2

1 9 a= , 2a + 2 + b = 1, a = 1, 4 于是 解得 或 8 b = 1, a 1 = 0, b= . 2 3 (2 + b)
因 a,b ∈ Z ,故 f ( x ) = x +

1 . x 1 1 都是奇函数. x

(Ⅱ)证明:已知函数 y1 = x , y2 = 所以函数 g ( x ) = x + 而 f ( x) = x 1 +

1 也是奇函数,其图像是以原点为中心的中心对称图形. x

1 +1 . x 1

可知,函数 g ( x ) 的图像按向量 a = (11) 平移,即得到函数 f ( x ) 的图像,故函数 f ( x ) 的图像是 , 以点 (11) 为中心的中心对称图形. , (Ⅲ)证明:在曲线上任取一点 x0,x0 +



1 . x0 1

第 10 页 共 12 页

由 f ′( x0 ) = 1

1 知,过此点的切线方程为 ( x0 1) 2

y

2 x0 x0 + 1 1 = 1 ( x x0 ) . 2 x0 1 ( x0 1)

令 x =1得 y =

x +1 x0 + 1 ,切线与直线 x = 1 交点为 1,0 . x0 1 x0 1

令 y = x 得 y = 2 x0 1 ,切线与直线 y = x 交点为 (2 x0 1,x0 1) . 2 直线 x = 1 与直线 y = x 的交点为 (11) . ,

从而所围三角形的面积为

1 x0 + 1 1 2 1 2 x0 1 1 = 2 x0 2 = 2 . 2 x0 1 2 x0 1

所以,所围三角形的面积为定值 2 . 22.解: (Ⅰ)证明:因为 MA 是圆 O 的切线,所以 OA ⊥ AM . 又因为 AP ⊥ OM .在 Rt△OAM 中,由射影定理知,

OA2 = OM iOP .
(Ⅱ)证明:因为 BK 是圆 O 的切线, BN ⊥ OK . 同(Ⅰ) ,有 OB = ON iOK ,又 OB = OA ,
2

所以 OP iOM = ON iOK ,即 又 ∠NOP = ∠MOK ,

ON OM = . OP OK

所以 △ONP ∽△OMK ,故∠OKM = ∠OPN = 90 . 23.解: (Ⅰ) C1 是圆, C2 是直线.

C1 的普通方程为 x 2 + y 2 = 1 ,圆心 C1 (0, ,半径 r = 1 . 0) C2 的普通方程为 x y + 2 = 0 .
因为圆心 C1 到直线 x y + 2 = 0 的距离为 1 , 所以 C2 与 C1 只有一个公共点. (Ⅱ)压缩后的参数方程分别为

第 11 页 共 12 页

x = cos θ, x = ′: ′ : C1 ( θ 为参数) C2 ; 1 y = y = 2 sin θ

2 t 2, 2 (t 为参数) . 2 t 4
1 2 x+ , 2 2

化为普通方程为: C1′ : x 2 + 4 y 2 = 1 , C2′ : y = 联立消元得 2 x + 2 2 x + 1 = 0 ,
2

其判别式 = (2 2) 2 4 × 2 × 1 = 0 , 所以压缩后的直线 C2′ 与椭圆 C1′ 仍然只有一个公共点,和 C1 与 C2 公共点个数相同. 24.解:

4, (Ⅰ) f ( x) = 2 x + 12, 4
图像如下:

x ≤ 4, 4 < x ≤ 8, x > 8.
y

4 2 1

-2 -1 -2 -4

O1 2 3 4

8

x

(Ⅱ)不等式 x 8 x 4 > 2 ,即 f ( x ) > 2 , 由 2 x + 12 = 2 得 x = 5 .

5) 由函数 f ( x ) 图像可知,原不等式的解集为 ( ∞, .

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