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2016届高考数学大一轮复习 第2章 第10节 导数的概念及其运算课时提升练 文 新人教版


课时提升练(十三) 导数的概念及其运算
一、选择题 1.下列函数求导运算正确的个数为( ①(3 )′=3 log3e;②(log2x)′= ④?
x x

) 1 ;③(e )′=e ;
x x

xln 2

? 1 ?′=x;⑤(x·ex)′=ex+1. ? ?ln x?
B.2 D.4 ① (3 )′= 3 ln 3 ;② (log2x)′=
x x

A.1 C.3 【解析】 1

1

xln 2

;③ (e )′= e ;④?
x x

? 1 ? ′=- ? ?ln x?

x
?ln x?
2

=-

1 x x x x ;⑤(x·e )′=e +x·e =e (x+1). x·?ln x?2

【答案】 B 2.函数 f(x)=(x+2a)(x-a) 的导数为( A.2(x -a ) C.3(x -a )
2 2 2 2 2

)

B.2(x +a ) D.3(x +a )
2 2 2 2 2

2

2

【解析】 f′(x)=(x-a) +(x+2a)[2(x-a)]=3(x -a ). 【答案】 C 3.(2013·浙江高考)已知函数 y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数 y=

f′(x)的图象如图 2?10?1 所示,则该函数的图象是(

)

图 2?10?1

【解析】 从导函数的图象可以看出,导函数值先增大后减小,x=0 时最大,所以函 数 f(x)的图象的变化率也先增大后减小,在 x=0 时变化率最大.A 项,在 x=0 时变化率最 小,故错误;C 项,变化率是越来越大的,故错误;D 项,变化率是越来越小的,故错误.B
1

项正确. 【答案】 B 4. 已知曲线 f(x)=ax -bln x 在点 P(1,1)处的切线与直线 x-y+1=0 垂直, 则 f′(3) =( ) A.-5 C.5 B.4 D.-4
2 2

【解析】 由已知可得 f(1)=1,∴a×1 -bln 1=1, ∴a=1. ∴f(x)=x -bln x, 故 f′(x)=2x- , 则曲线在点 P 处切线的斜率 k=f′(1)=2-b, 3 由于切线与直线 x-y+1=0 垂直, 故(2-b)×1=-1, ∴b=3, 则 f′(x)=2x- , ∴f′(3)
2

b x

x

=5. 【答案】 C 5.若曲线 y=x +aln x(a>0)上任意一点处的切线斜率为 k,若 k 的最小值为 4,则此 时该切点的坐标为( A.(1,1) C.(3,1)
2 2

) B.(2,3) D.(1,4)

【解析】 y=x +aln x 的定义域为(0, +∞), 由导数的几何意义知 y′=2x+ ≥2 2a =4,则 a=2,当且仅当 x=1 时等号成立,代入曲线方程得 y=1,∴切点坐标为(1,1). 【答案】 A 1 1 6.若曲线 y=x- 在点(a,a- )处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为 18,则 2 2

a x

a=(

) B.32 D.8

A.64 C.16

1 3 【解析】 ∵y′=- x- (x>0), 2 2 1 1 1 3 ∴曲线 y=x- 在点(a,a- )处切线 l 的斜率 k=y′|x=a=- a- ,切线方程为:y 2 2 2 2 1 1 3 3 1 -a- =- a- (x-a),可以求得切线与 x 轴,y 轴截距分别为 3a, a- ,所以围成三角 2 2 2 2 2 1 3 1 9 1 形面积为:S= ×3a× a- = a =18,∴a=64. 2 2 2 4 2 【答案】 A

2

二、填空题 7.(文)(2014·广东高考)曲线 y=-5e +3 在点(0,-2)处的切线方程为________. 【解析】 因为 y′|x=0=-5e =-5,所以曲线在点(0,-2)处的切线方程为 y-(- 2)=-5(x-0),即 5x+y+2=0. 【答案】 5x+y+2=0 8.已知 a 为实数,函数 f(x)=x +ax +(a-2)x 的导函数 f′(x)是偶函数,则曲线 y =f(x)在原点处的切线方程是________. 【解析】 ∵f′(x)=3x +2ax+a-2 是偶函数,∴a=0, ∴f(x)=x -2x,f′(x)=3x -2, ∴f′(0)=-2,f(0)=0, ∴切线方程为 y=-2x. 【答案】 y=-2x 9.给出定义:若函数 f(x)在 D 上可导,即 f′(x)存在,且导函数 f′(x)在 D 上也可 导,则称 f(x)在 D 上存在二阶导函数,记 f″(x)=(f′(x))′,若 f″(x)<0 在 D 上恒成
3 2 2 3 2 0

x

? π? 立,则称 f(x)在 D 上为凸函数.以下四个函数在?0, ?上是凸函数的是________.(把你 2? ?
认为正确的序号都填上) ①f(x)=sin x+cos x;②f(x)=ln x-2x; ③f(x)=-x +2x-1;④f(x)=xe .
3

x

? π? 【解析】 在定义域?0, ?内,由 f″(x)=-sin x-cos x<0,得①是凸函数; 2? ?
1 由 f″(x)=- 2<0,得②是凸函数;

x

由 f″(x)=-6x<0,得③是凸函数; 由 f″(x)=2e +xe >0,得④不是凸函数. 【答案】 ①②③ 三、解答题 10.(2013·北京高考)已知函数 f(x)=x +xsin x+cos x. (1)若曲线 y=f(x)在点(a,f(a))处与直线 y=b 相切,求 a 与 b 的值; (2)若曲线 y=f(x)与直线 y=b 有两个不同交点,求 b 的取值范围. 【解】 由 f(x)=x +xsin x+cos x,得 f′(x)=x(2+cos x). (1)因为曲线 y=f(x)在点(a,f(a))处与直线 y=b 相切,所以 f′(a)=a(2+cos a) =0,b=f(a). 解得 a=0,b=f(0)=1. (2)令 f′(x)=0,得 x=0.
3
2 2

x

x

f(x)与 f′(x)的变化情况如下: x f′(x) f(x)
(-∞,0) - ↘? 0 0 1 (0,+∞) + ↗?

所以函数 f(x)在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增,f(0)=1 是 f(x)的最小值. 当 b≤1 时,曲线 y=f(x)与直线 y=b 最多只有一个交点;当 b>1 时,f(-2b)=

f(2b)≥4b2-2b-1>4b-2b-1>b,f(0)=1<b,
所以存在 x1∈(-2b,0),x2∈(0,2b), 使得 f(x1)=f(x2)=b. 由于函数 f(x)在区间(-∞,0)和(0,+∞)上均单调,所以当 b>1 时曲线 y=f(x)与直 线 y=b 有且仅有两个不同交点. 综上可知,如果曲线 y=f(x)与直线 y=b 有两个不同交点,那么 b 的取值范围是(1, +∞). 1-a 2 11.(2014·课标全国卷Ⅰ)设函数 f(x)=aln x+ x -bx(a≠1),曲线 y=f(x)在 2 点(1,f(1))处的切线斜率为 0. (1)求 b; (2)若存在 x0≥1,使得 f(x0)<

a

a-1

,求 a 的取值范围.

【解】 (1)f′(x)= +(1-a)x-b. 由题设知 f′(1)=0,解得 b=1. (2)f(x)的定义域为(0,+∞), 1-a 2 由(1)知,f(x)=aln x+ x -x, 2

a x

a ? a 1-a? f′(x)= +(1-a)x-1= ? x- ?(x-1). x x ? 1-a?
1 a ①若 a≤ ,则 ≤1,故当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(1,+∞)上单调递 2 1-a 增. 所以,存在 x0≥1,使得 f(x0)< - 2-1<a< 2-1.

a 1-a a 的充要条件为 f(1)< ,即 -1< ,解得 a-1 a-1 2 a-1

a

a ? 1 a ? ? a ,+∞?时, ②若 <a<1, 则 >1, 故当 x∈?1, f′(x)<0; 当 x∈? ?时, ? f′(x)>0. 2 1-a ? 1-a? ?1-a ?
4

所以 f(x)在?1,

? ?

a ? ? a ,+∞?上单调递增. 上单调递减,在? ? ? 1-a? ?1-a ? a ? a ?< a . 的充要条件为 f? ? a-1 ?1-a? a-1

所以,存在 x0≥1,使得 f(x0)<
2

而 f?

a a a ? a ?=aln a + + > ,所以不合题意. ? 1-a 2?1-a? a-1 a-1 ?1-a?

1-a -a-1 a ③若 a>1,则 f(1)= -1= < ,符合题意. 2 2 a-1 综上,a 的取值范围是(- 2-1, 2-1)∪(1,+∞). 12.(2014·北京高考)已知函数 f(x)=2x -3x. (1)求 f(x)在区间[-2,1]上的最大值; (2)若过点 P(1,t)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切,求 t 的取值范围; (3)问过点 A(-1,2),B(2,10),C(0,2)分别存在几条直线与曲线 y=f(x)相切?(只需 写出结论) 【解】 (1)由 f(x)=2x -3x 得 f′(x)=6x -3. 令 f′(x)=0,得 x=- 2 2 或 x= . 2 2 2? ? 2? ?= 2,f? ?=- 2,f(1)=-1, 2? ?2?
3 2 3

因为 f(-2)=-10,f?-

? ?

所以 f(x)在区间[-2,1]上的最大值为 f?-

? ?

2? ?= 2. 2?

(2)设过点 P(1,t)的直线与曲线 y=f(x)相切于点(x0,y0), 则 y0=2x0-3x0,且切线斜率为 k=6x0-3, 所以切线方程为 y-y0=(6x0-3)(x-x0), 因此 t-y0=(6x0-3)(1-x0), 整理得 4x0-6x0+t+3=0. 设 g(x)=4x -6x +t+3,则“过点 P(1,t)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切”等价 于“g(x)有 3 个不同的零点”.
3 2 3 2 2 2 3 2

g′(x)=12x2-12x=12x(x-1).
当 x 变化时,g(x)与 g′(x)的变化情况如下:

x g′(x) g(x)

(-∞,0) + ↗?

0 0

(0,1) - ↘?

1 0

(1,+∞) + ↗?

t+3

t+1

所以,g(0)=t+3 是 g(x)的极大值,g(1)=t+1 是 g(x)的极小值. 当 g(0)=t+3≤0,即 t≤-3 时,g(x)在区间(-∞,1]和(1,+∞)上分别至多有 1

5

个零点,所以 g(x)至多有 2 个零点. 当 g(1)=t+1≥0,即 t≥-1 时,g(x)在区间(-∞,0)和[0,+∞)上分别至多有 1 个零点,所以 g(x)至多有 2 个零点. 当 g(0)>0 且 g(1)<0,即-3<t<-1 时,因为 g(-1)=t-7<0,g(2)=t+11>0,所以

g(x)分别在区间[-1,0),[0,1)和[1,2)上恰有 1 个零点.由于 g(x)在区间(-∞,0)和(1,
+∞)上单调,所以 g(x)分别在区间(-∞,0)和[1,+∞)上恰有 1 个零点. 综上可知,当过点 P(1,t)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切时,t 的取值范围是(-3, -1). (3)过点 A(-1,2)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切; 过点 B(2,10)存在 2 条直线与曲线 y=f(x)相切; 过点 C(0,2)存在 1 条直线与曲线 y=f(x)相切.

6


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