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福建省泉州市2014届高三5月质量检测 数学理含答案


泉州市 2014 届高中毕业班 5 月质量检测 数学(理科)
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在给出的四个选项中,只有一项是符合要求的) 1.设全集为 R,函数 f(x)=lg(x﹣1)的定义域为 M,则?RM 为( ) A. (0,1) B. (0,1] C. (﹣∞,1] D. (﹣∞,1) 2.已知角 α 的终边经过点 P(m,4) ,且 cosα=﹣ ,则 m 等于( A. ﹣ 3.已知 =(1,2) , B. ﹣3 =(3,n) ,若 C. ∥ ,则 n 等于( D. 3 ) D. 6 ) + ) D. + )

A. 3 B. 4 C. 5 4.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于( A. +π B. 3( +π ) C. 3(

5.从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数,则取出的 3 个数可作为三角形的三边边长 的概率是( ) A. B. C. D. 6. 运行如图所示的程序框图所表达的算法, 若输出的结果为 0.75, 则判断框内应填入的内容是 ( A. i≥4? B. i<4? C. i≥3? D. i<3? 7.下列说法正确的是( ) A. 命题“?x∈R,使得 x2+x﹣1>0”的否定是“?x∈R,x2+x﹣1<0” B. 命题 p: “?x∈R,sinx+cosx≤ ”,则¬p 是真命题 2 C. “x=﹣1”是“x ﹣2x﹣3=0”的必要不充分条件 D. “0<a<1”是“函数 f(x)=ax(a>0,a≠1)在 R 上为减函数”的充要条件 )

8.若不等式组

所表示的平面区域被直线 y﹣1=k(x﹣5)分为面积相等

的两部分,则 k 的值是( ) A. B.

C.2

D.4

9.双曲线



=1 (a>0,b>0)的一个焦点为 F1,顶点为 A1、A2,P 是双曲线上任意一点,

则分别以线段 PF1,A1A2 为直径的两圆一定( ) A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 以上情况都有可能 * 10.若函数 y=f(x)满足:集合 A={f(n)|n∈N }中至少有三个不同的数成等差数列,则称函数 f (x)是“等差源函数”,则下列四个函数中,“等差源函数”的个数是( )

1

① y=2x+1; ② y=log2x; x ③ y=2 +1; ④ y=sin( x+ )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题:共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分 11. (4 分) (2014?泉州模拟)复数 z= 12. (4 分) (2014?泉州模拟)已知(3 数的和为 _________ . 13. (4 分) (2014?泉州模拟)已知在等差数列{an}中,a1=10,其公差 d<0,且 a1,2a2+2,5a3 成等 比数列,则|a1|+|a2|+|a3|+…+|a15|= _________ . 14. (4 分) (2014?泉州模拟)如图,矩形 ABCD 的面积为 3,以矩形的中心 O 为顶点作两条抛物线, 分别过点 A、B 和点 C、D,若在矩形 ABCD 中随机撒入 300 颗豆子,则落在阴影部分内的豆子大 约是 _________ . (其中 i 为虚数单位)的共轭复数等于 _________ . ﹣ ) 的展开式中第三项为常数项,则展开式中个项系
n

15. (4 分) (2014?泉州模拟)如图,已知点 G 是△ ABC 的重心(即三角形各边中线的交点) ,过点 G 作直线与 AB、AC 两边分别交于 M、N 两点,若 =x , =y ,则 + =3,由平面图形类比

到空间图形,设任一经过三棱锥 P﹣ABC 的重心 G(即各个面的重心与该面所对顶点连线的交点) 的平面分别与三条侧棱交于 A1、B1、C1,且 _________ . =x , =y , =z ,则有 + + =

三、解答题:共 5 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 16. (13 分) (2014?泉州模拟)已知某射击队员每次射击击中目标靶的环数都在 6 环以上(含 6 环) , 据统计数据绘制得到的频率分布条形图如图所示,其中 a,b,c 依次构成公差为 0.1 的等差数列,若 视频率为概率,且该队员每次射击相互独立,试解答下列问题: (Ⅰ )求 a,b,c 的值,并求该队员射击一次,击中目标靶的环数 ξ 的分布列和数学期望 Eξ; (Ⅱ )若该射击队员在 10 次的射击中,击中 9 环以上(含 9 环)的次数为 k 的概率为 P(X=k) ,试 探究:当 k 为何值时,P(X=k)取得最大值?

2

17. (13 分) (2014?泉州模拟)已知 m=(1,﹣ (Ⅰ )求函数 f(x)的单调递增区间;

) ,n=(sin2x,cos2x) ,定义函数 f(x)=m?n.

(Ⅱ )已知△ ABC 中,三边 a,b,c 所对的角分别为 A,B,C,f( )=0. (i)若 acosB+bcosA=csinC,求角 B 的大小; (ii)记 g(λ)=| + |,若| |=| |=3,试求 g(λ)的最小值.

18. (13 分) (2014?泉州模拟)椭圆 G 的中心为原点 O,A(4,0)为椭圆 G 的一个长轴端点,F 为椭圆的左焦点,直线 l 经过点 E(2,0) ,与椭圆 G 交于 B、C 两点,当直线 l 垂直 x 轴时,|BC|=6. (Ⅰ )求椭圆 G 的标准方程; (Ⅱ )若 AC∥ BF,求直线 l 的方程.

19. (13 分) (2014?泉州模拟) 如图, 在四棱锥 P﹣ABCD 中, 底面 ABCD 为正方形, PA=PD, PA⊥ AB, 点 E、F 分别是棱 AD、BC 的中点. (Ⅰ )求证:AB⊥ PD; (Ⅱ )若 AB=AP,求平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值; (Ⅲ )若△ PAD 的面积为 1,在四棱锥 P﹣ABCD 内部,放入一个半径为 R 的球 O,且球心 O 在截面 PEF 中,试探究 R 的最大值,并说明理由.

20. (14 分) (2014?泉州模拟)已知函数 f(x)=ln|x+1|﹣ax .

2

3

(Ⅰ )若 a= 且函数 f(x)的定义域为(﹣1,+∞) ,求函数 f(x)的单调递增区间; (Ⅱ )若 a=0,求证 f(x)≤|x+1|﹣1; (Ⅲ )若函数 y=f(x)的图象在原点 O 处的切线为 l,试探究:是否存在实数 a,使得函数 y=f(x) 的图象上存在点在直线 l 的上方?若存在,试求 a 的取值范围;若不存在,请说明理由. 本题有三小题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分 【选修 4-2:矩阵与变换】 21. (7 分) (2014?泉州模拟)已知 (Ⅰ )求 m 的值和向量 (Ⅱ )若矩阵 B= 是矩阵 A= 的一个特征向量.

相应的特征值; ,求矩阵 B A.
﹣1

【选修 4-4:坐标系与参数方】 22. (7 分) (2014?泉州模拟)直线 l1:θ= (ρ∈R)与直线 l2: (t 为参数)的交点为 A,

曲线 C:

(其中 α 为参数) .

(Ⅰ )求直线 l1 与直线 l2 的交点 A 的极坐标; (Ⅱ )求曲线 C 过点 A 的切线 l 的极坐标方程. 【选修 4-5:不等式选讲】 23. (2014?泉州模拟)已知不等式|t+3|﹣|t﹣2|≤6m﹣m 对任意 t∈R 恒成立. (Ⅰ )求实数 m 的取值范围; (Ⅱ )若(Ⅰ )中实数 m 的最大值为 λ,且 3x+4y+5z=λ,其中 x,y,z∈R,求 x +y +z 的最小值.
2 2 2 2

4

泉州市 2014 届普通中学高中毕业班质量检测 理科数学试题参考解答及评分标准
说明: 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考 生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则. 二、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容 和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如 果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 50 分. 1.C 2.B 3.D 4.C 5.A 6.B 7.D 8.A 9. B 10.C

二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 4 分,满分 20 分. 11、 ?i ; 12、 16 ; 13、 65 ; 14、 200 ; 15、 4 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.本小题主要考查组合数公式、概率、统计等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力以 及应用意识,考查必然与或然思想等.满分 13 分. 解: (Ⅰ)依题意,得 a ? b ? c ? 0.6 ,即 a ? a ? 0.1 ? a ? 0.2 ? 0.6 ,解得 a ? 0.1 ,?2 分 所以 b ? 0.2, c ? 0.3 .??????3 分 故该队员射击一次,击中目标靶的环数 ? 的分布列为:

?
P

6 0.1

7 0.2

8 0.3 ????5 分

9 0.36

10 0.04

E? ? 6 ? 0.1 ? 7 ? 0.2 ? 8 ? 0.3 ? 9 ? 0.36 ? 10 ? 0.04 ? 8.04 . ??????6 分
(Ⅱ)记事件 A : “该队员进行一次射击,击中 9 环” ,事件 B : “该队员进行一次射击,击中 10 环” ,则事件“该队员进行一次射击,击中 9 环以上(包括 9 环) ”为 A ? B .???7 分 因为 A 与 B 互斥,且 P( A) ? 0.36, P( B) ? 0.04 ,

5

所以 P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? 0.4 . ????8 分 所以,该射击队员在 10 次的射击中,击中 9 环以上(含 9 环)的次数为 k 的概率
k P( X ? k ) ? C10 ? 0.4k ? 0.610?k (k ? 0,1, 2,

,10) . ??????10 分

* 当 k ? 1 , k ? N 时,

k C10 ? 0.4k ? 0.610?k P( X ? k ) 2(11 ? k ) . ? k ?1 ? k ?1 10? k ?1 P( X ? k ? 1) C10 ? 0.4 ? 0.6 3k



22 P( X ? k ) . ??????12 分 ? 1 ,解得 k ? 5 P( X ? k ? 1)

所以当 1 ? k ? 4 时, P( X ? k ? 1) ? P( X ? k ) ; 当 5 ? k ? 10 时, P( X ? k ? 1) ? P( X ? k ) . 综上,可知当 k ? 4 时, P( X ? k ) 取得最大值.??????13 分

17.本小题主要考查平面向量、三角恒等变换、三角函数性质以及解三角形等基础知识,考查运 算求解能力与推理论证能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想等.满分 13 分. 解: (Ⅰ) f ( x) ? m ? n ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2sin(2 x ? 由?

?
3

) , ??????2 分 5? ? k? ,k ? Z .??3 分 12

?
2

? 2 k? ? 2 x ?

?
3

?

?
2

? 2k? ,得 ?

?
12

? k? ? x ?

所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为 ? ? (Ⅱ)由 f ( ) ? 0 ,得 2sin( A ? 因为 0 ? A ? ? ,所以 A ?

5? ? ? ? ? k? , ? k? ? , k ? Z .??????4 分 12 ? 12 ?

A 2

?
3

) ? 0,
.????5 分

?

3 (ⅰ)由正弦定理,知 a cos B ? b cos A ? c sin C
2

可化为 sin A cos B ? sin B cos A ? sin C ,??6 分 故 sin( A ? B) ? sin 2 C ,??????7 分
2 又因为 A ? B ? ? ? C ,所以 sin(? ? C) ? sin 2 C 即 sin C ? sin C ,

因为 sin C ? 0 ,所以 sin C ? 1 ,

6

又由于 0 ? C ? ? ,所以 C ? 所以 B ? ? ? ( A ? C ) ? (ⅱ) AB ? ? AC ?

?
2

,??????8 分

?
6

.??????9 分
2

? AB ? ? AC ?
?
3

?

AB ? 2? AB ? AC cos A ? ? 2 AC ,?10 分

2

2

又 AB ? AC ? 3 , A ? 所以 AB ? ? AC ?



?1 ? ? ? ? ?
2

1? 3 ? AB ? (1 ? ? ? ? )3 ? 3 ? ? ? ? ? ,12 分 2? 4 ?
2 2 2

2

故当 ? ? ?

1 3 3 时, g (? ) ? AB ? ? AC 的值取得最小值 .??????13 分 2 2

另 解 : 记 AB ? ? AC ? AP , 则 P 是 过 B 且 与 AC 平 行 的 直 线 l 上 的 动 点 ,

g (? ) ?| AP | ,????12 分
所以 g (? ) 的最小值即点 A 到直线 l 的距离

3 3 .????13 分 2

18.本小题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、 运算求解能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等.满分 13 分. 解: (Ⅰ)因为 A(4, 0) 为椭圆 G 的一个长轴端点, 所以可设椭圆 G 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,??????1 分 16 b2 因为当直线 l 垂直 x 轴时, BC ? 6 ,所以椭圆 G 过点 (2,3) ,??2 分
所以

4 9 ? 2 ? 1 ,解得 b 2 ? 12 . ??????3 分 16 b x2 y 2 ? ? 1 .??????4 分 故所求椭圆的方程为 16 12 (Ⅱ)方法 1:设直线 l 的方程为 x ? my ? 2 , ? x ? my ? 2 2 2 联立方程组 ? 2 ,消去 x ,得 (3m ? 4) y ? 12my ? 36 ? 0 ,??5 分 2 3 x ? 4 y ? 48 ? 12m , 设 B( x1 , y1 ), C( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ? ? 3m2 ? 4 ??① 36 y1 ? y2 ? ? 2 3m ? 4 .??② ????6 分 又 AC ? ( x2 ? 4, y2 ), FB ? ( x1 ? 2, y1 ) ,且 AC BF ,??????7 分
故 ( x2 ? 4) y1 ? ( x1 ? 2) y2 ? 0 ,即 (my2 ? 2) y1 ? (my1 ? 4) y2 ? 0 ,

7

即 y1 ? ?2 y2 .???③ ????9 分

4 18 ? 12m ? 2 由①②③得 ? ,所以 m ? .????11 分 ? ? 2 2 5 ? 3m ? 4 ? 3m ? 4 4 2 5 2 当 m ? 时, ? ? 0 ,所以 m ? ? ,????12 分 5 5 2 5 所以直线 l 的方程为 x ? ? y ? 2, 5 即 5x ? 2 5 y ?10 ? 0 或 5x ? 2 5 y ?10 ? 0 .????13 分 方法 2:①当直线 l 的斜率不存在时, AC 与 BF 不平行;??????5 分 ②当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) , ? y ? k ( x ? 2), 联立方程组 ? 2 2 ?3x ? 4 y ? 48.
消去 y ,整理得 (3 ? 4k 2 ) x2 ?16k 2 x ? 16k 2 ? 48 ? 0 ,????6 分

2

16k 2 设 B( x1 , y1 ), C( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ,????① 3 ? 4k 2 16k 2 ? 48 x1 ? x2 ? ????② ????7 分 3 ? 4k 2 又 AC ? ( x2 ? 4, y2 ), FB ? ( x1 ? 2, y1 ) ,且 AC BF , ??????8 分 故 ( x2 ? 4) y1 ? ( x1 ? 2) y2 ? 0 ,
即 k ( x2 ? 4)( x1 ? 2) ? k ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? 0 , 即 x1 ? 2 x2 ? 6 ????③ ????9 分

? 8k 2 ? 18 x ? ? ? 1 3 ? 4k 2 由①③得 ? , 2 8 k ? 18 ?x ? 2 ? 3 ? 4k 2 ? 8k 2 ? 18 8k 2 ? 18 16k 2 ? 48 ? 代入②得 ??????11 分 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 5 2 化简,得 k ? , 4 5 5 2 当 k ? 时, ? ? 0 ,故 k ? ? ,????12 分 4 2 所以直线 l 的方程为 5x ? 2 5 y ?10 ? 0 或 5x ? 2 5 y ?10 ? 0 .??13 分
19.本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系等基础知识,考查空间想象能力、推理 论证能力及运算求解能力,考查化归与转化思想等.满分 13 分. 解: (Ⅰ)在正方形 ABCD 中, AB ? AD , 又 PA ? AB , PA AD ? A ,

? AB ? 平面 PAD ,????2 分

8

又 PD ? 平面 PAD , ? AB ? PD ??????3 分 (Ⅱ) 点 E 、 F 分别是棱 AD 、 BC 的中点,连结 PE , EF ,则 PE ? AD, EF

AB ,

又由(Ⅰ)知 AB ? 平面 PAD , ∴ EF ? 平面 PAD , 又 AD, PE ? 平面 PAD , ∴ EF ? AD, EF ? PE ,??????4 分 如图,以点 E 为坐标原点,分别以 AD, EF , EP 所 在直线为为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系
E(O) B P z

D F

C

y

O ? xyz .

A x

由题设可知: PA ? PD ? AB ? AD ,故不妨设 AB ? 2 , 则 A(1,0,0), D(?1,0,0), B(1, 2,0), C(?1, 2,0), F (0, 2,0), P(0,0, 3)

PB ? (1, 2, ? 3) , PC ? (?1, 2, ? 3) ,??????5 分
AB ? 平面 PAD , ? 平面 PAD 的一个法向量为 AB ? (0, 2,0) ,????6 分
设平面 PBC 的一个法向量为 n ? ( x, y, z ) ,

PB ? n, PC ? n ,
? ? ? ?x ? 0 ? PB ? n ? 0 ? x ? 2 y ? 3z ? 0 ,即 ? ,解得 ? , ?? 2 y ? 3 z ? 0 ? PC ? n ? 0 ? x ? 2 y ? 3 z ? 0 ? ? ? ? ?
令 z ? 2 ,得 y ? 3 ,

? 平面 PBC 的一个法向量为 n ? (0, 3, 2) .??????7 分
设平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的大小为 ? , 则 cos ? ? cos ? AB, n ? ?

AB ? n AB n

?

0?2 3 ?0 3 21 ? ? . 7 2? 7 7

? 平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值为

21 . ?????8 分 7

(Ⅲ)由(Ⅱ)已证得 PE ? EF ,则截面 ?PEF 为直角三角形.

9

1 1 EF ? EP ? AD ? EP ? S ?PAD ? 1, 2 2 ? EF ? EP ? 2. ??????9 分 1 设 ?PEF 的内切圆半径为 r , 则 S ?PEF ? ( PE ? EF ? FP ) ? r ? 1 2 S?PEF ?

?r ?

2 2 ? PE ? EF ? PF PE ? EF ? PE 2 ? EF 2
2 2 1 ? ? ? 2 ? 1, ??????10 分 2 PE ? EF ? 2 PE ? EF 2 2 ? 2 2 ?1

?

∴当且仅当 EF ? EP 时, ?PEF 有最大内切圆,其半径 r ? 此时 EF ? EP ? 2 , PF ? 2. ??????11 分

2 ? 1.

S?PAB ? S?PCD ?

1 1 1 1 5 5 S?PBC ? BC ? PF ? ? 2 ? 2 ? 2 , , PA ? AB ? ? 2? 2 2 2 2 2 2

S?PAD ? 1, SABCD ? AD ? EF ? ( 2)2 ? 2.
设 ?PEF 的内切圆圆心 O 到侧面 PAB 、侧面 PCD 的距离为 d , 则 VP ? ABCD ?

1 1 1 1 r ? ( S?PAD ? S?PBC ? S ABCD ) ? d ? S ?PAB ? d ? S ?PCD ? EP ? S ?ABCD , 3 3 3 3

即 r ? (S?PAD ? S?PBC ? S ABCD ) ? 2d ? S?PAB ? EP ? S?ABCD , 所以 ( 2 ? 1) 1 ? 2 ? 2 ? 5d ? 2 2 , 解得 d ?

?

?

1 ? 2 ? 1 ? r. ??????12 分 5

∴在四棱锥 P ? ABCD 的内部放入球心 O 在截面 PEF 中的球,其最大半径 R 是

2 ? 1, 该最大半径的球只能与四棱锥 P ? ABCD 的三个面相切. ???13 分
20.本小题主要考查函数、导数等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转 化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想等.满分 14 分. 解: (Ⅰ)当 a ?

2 2 2 且 x ? ?1 时, f ( x) ? ln( x ? 1) ? x , 3 3

f '( x) ?

1 4 ?4 x 2 ? 4 x ? 3 (2 x ? 3)(2 x ? 1) ? x? ?? ,????2 分 x ?1 3 3( x ? 1) 3( x ? 1)

10

令 f '( x) ? 0 , 因为 x ? ?1 ,所以 (2 x ? 3)(2 x ? 1) ? 0 ,解得 ?1 ? x ? 所以函数 f ( x ) 的递增区间为 ( ?1, ) .????4 分 (Ⅱ)当 a ? 0 时, f ( x) ? ln x ?1 , 不等式 f ( x) ? x ? 1 ?1即 ln x ?1 ? x ?1 ?1 ? 0 , ????5 分 令 t ? x ? 1 ,则 t ? 0 , 此时不等式 ln x ?1 ? x ?1 ?1 ? 0 等价于不等式 ln t ? t ? 1 ? 0(t ? 0) . 令 ? (t ) ? ln t ? t ? 1 ,则 ? '(t ) ? ? 1 ? 令 ? '(t ) ? 0 ,得 t ? 1 .

1 , 2

1 2

1 t

1? t . ????7 分 t

? (t ), ? '(t ) 随 t 的变化情况如下表
t
(0,1)
1
0 极大值 0

(1, ??)

? '(t )

?
递增

?
递减

? (t )

由表可知,当 t ? 0 时, ? (t ) ? ? (1) ? 0 即 ln t ? t ? 1 ? 0 . 所以 f ( x) ? x ? 1 ?1成立. ????9 分
2 (Ⅲ)当 x ? ?1 时, f ( x) ? ln( x ? 1) ? ax , f '( x) ?

1 ? 2ax , x ?1

所以直线 l 的斜率 k ? f '(0) ? 1 , 又 f (0) ? 0 ,所以直线 l 的方程为 y ? x . 令 g ( x) ? ln x ?1 ? ax ? x ,则命题“函数 y ? f ( x) 的图象上存在点在直线 l 的上
2

方”可等价转化为命题“存在 x ? (??, ?1)

(?1, ??) ,使得 g ( x) ? 0 .”??10 分

11

1 ? 2ax ? 1 , x ?1 1 ? 2ax ? 1 , 当 x ? ?1 时, g ( x) ? ln(? x ?1) ? ax2 ? x , g '( x) ? x ?1
当 x ? ?1 时, g ( x) ? ln( x ? 1) ? ax2 ? x , g '( x) ? 所以,对 x ? (??, ?1)

(?1, ??) ,都有

x
g '( x )

1 ?2ax( x ? 1 ? ) ?2ax2 ? (2a ? 1) x 2a . ??11 分 g '( x) ? ? x ?1 x ?1 2a ? 1 令 g '( x) ? 0 ,解得 x ? 0 或 x ? ? . 2a 2a ? 1 ? ?1 , g ( x), g '( x) 随 x 的变化情况如下表: ①当 a ? 0 时, ? 2a 1 1 1 (?1, 0) (??, ?1 ? ) ?1 ? (?1 ? , ?1) 0 2a 2a 2a
+ 递增 又因为 g (?1 ? 0 极大值 - 递减 + 递增 0 极大值

(0, ??)
- 递减

g ( x)

1 1 1 ) ? ln ? ? a, g (0) ? 0 , 2a 2a 4a

所以, 为使命题 “存在 x ? (??, ?1) 使 得

(?1, ??) ,

g ( x) ? 0 . ” 成 立 , 只 需

1 1 1 ) ? ln ? ?a ?0. 2a 2a 4a 1 1 1 1 ) ? ln t ? t ? , 令t ? ,则 g (?1 ? 2a 2a 2 2t 1 1 令 h(t ) ? ln t ? ? t (t ? 0) , 2t 2 1 1 1 因为 h '(t ) ? ? 2 ? ? 0 ,所以 h(t ) 在 (0, ??) 上为增函数, t 2t 2 g (?1 ?
又注意到 h(1) ? 0 , 所以当且仅当 t ?

1 1 ? 1 ,即 0 ? a ? 时, h(t ) ? 0 , 2a 2 1 1 ? 1? ? ? a ? 0 的解集为 ?a 0 ? a ? ? ;????13 分 2a 4a 2? ?

故关于 a 的不等式 ln

②当 a ? 0 时,因为存在 x ? ?e ? 1 使得 g (?e ?1) ? e ? 2 ? a(e ? 1)2 ? 0 恒成立,

12

所以,总存在点 (?e ? 1, 1 ? a(e ? 1)2 ) 在直线 l 的上方. 综合①②,可知 a 的取值范围为 ?a a ?

? ?

1? ? . ????14 分 2?

21. (1) (本小题满分 7 分)选修 4—2:矩阵与变换 解:(Ⅰ)由题意,可知存在实数 ? (? ? 0) ,使得 ?

? 1 0 ?? k ? ?k ? ?? ? ? ? ? ? ,???1分 ? m 2 ?? 0 ? ?0?

即?

?k ? ?k , ???2分 ?mk ? 0 ? ? ?1 , ???3分 ?m ? 0 ?k ? ?0?

又因为 k ? 0 ,所以 ?

所以 m ? 0 ,特征向量 ? ? 相应的特征值为1. ????4分

(Ⅱ)因为 B ? ?1 ,所以 B ?1 ? ?

? ?1 2 ? ? , ????6分 ? 2 ?3 ?

故 B?1A ? ?

? ?1 2 ?? 1 0 ? ? ?1 4 ? ?? ??? ? . ????7分 ? 2 ?3 ?? 0 2 ? ? 2 ?6 ?

(2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解:(Ⅰ)将 l1 , l2 的方程化为普通方程,得 l1 : y ? x , l2 : x ? 2 y ? 2 ? 0 ,2分 联立方程组 ?

y?x ?x ? 2 ,解得 ? , ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?y ? 2 ?

所以 A 的坐标为 (2, 2) ,???3分 故点 A 的极坐标 (2 2,

?
4

) . ????4分
2 2

(Ⅱ)将曲线 C 的方程化为普通方程得 x ? y ? 8 ,????5分 所以曲线 C 是圆心为 O (0, 0) ,半径为 2 2 的圆,且 A (2, 2) 在曲线 C 上. 因为 kOA ? 1,所以曲线 C 过点 A 的切线 l 的斜率 kl ? ?1, 所以 l 的方程为 x ? y ? 4 ? 0 ,??6分

13

故 l 的极坐标方程为 ? cos ? ? ? sin ? ? 4 ? 0 . ????7分 (3) (本小题满分 7 分)选修 4—5:不等式选讲 解: (Ⅰ)由已知得 t ? 3 ? t ? 2

?

?

max

? 6m ? m 2 ??????1 分

因为 t ? 3 ? t ? 2 ? t ? 3 ? (t ? 2) ? 5 (当且仅当 t ? 2 时取等号)???3 分 所以 6m ? m ? 5 ,解得 1 ? m ? 5 ,
2

所以实数 m 的取值范围是 1 ? m ? 5. ??????4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 ? ? 5 ,所以 3x ? 4 y ? 5 z ? 5 . 由柯西不等式, 可得 x ? y ? z
2 2

?

2

??3

2

? 42 ? 52 ? ? ? 3x ? 4 y ? 5 z ? ? 25 , ?5 分
2

所以 x ? y ? z ?
2 2 2

1 , 2

x y z 3 2 1 ? ? 即 x ? , y ? , z ? 时等号成立. ???6 分 3 4 5 10 5 2 1 2 2 2 故 x ? y ? z 的最小值为 . ??????7 分 2
当且仅当

14


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