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高中数学第一章导数及其应用1.3导数的应用1.3.3导数的实际应用课件新人教B版选修2


1.3.3 导数的实际应用 1.学会解决实际问题的基本方法,注意首先通过分析、思考、总 结、联想,建立问题涉及的变量之间的函数关系式,然后根据实际 意义确定定义域. 2.学会利用导数求解实际问题,感受导数在解决实际问题中的作 用. 求实际问题中的最值的主要步骤 (1)列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关 系y=f(x); (2)求函数的导数f'(x),解方程f'(x)=0; (3)比较函数在区间端点和使f'(x)=0的点的取值大小,最大(小)者 为最大(小)值. 名师点拨1.求实际问题的最大(小)值时,一定要从问题的实际意义 去考虑,不符合实际意义的理论值应舍去. 2.在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'(x)=0 的情形,如果函数在这点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以 知道这就是最大(小)值. 3.在解决实际优化问题时,不仅要注意将问题中涉及的变量关系 用函数关系式表示,还应确定函数关系式中自变量的定义区间. 【做一做 1】 内接于半径为 R 的半圆的周长最大的矩形的边 长为( ) 3 2 2 4 7 C. 5 和 5 A. 和 B. 5 4 5 和 5 5 D. 以上都不对 解析: 设与半圆中直径垂直的矩形边长为 x,则另一边长 为 2 2 - 2 , 周长l=2x+4 2 - 2 (0 < < ).l'=2? 令 l'=0,得 x1= 5 5 , 2 5 4 2 -2 . =? 5 (舍去), 5 当 0<x< 5 时,l'>0; 当 5 < < 时,l'<0,故当 x= 5 时,l 取最大值, 即矩形周长最大时边长为 5 和 5 . 答案:B 5 4 5 5 5 【做一做2】 面积为S的所有矩形中,其周长最小的是 . 解析: 设矩形的一边长为 , ′() = 2 1- 2 x,则另一边长为 , 周长f(x)=2 + , 令 f'(x)=0,得 x= , 易知当x= 时,f(x)有极小值,也就是最小 值. 答案:以 为边长的正方形 如何求解实际应用题? 剖析:解应用题首先要在阅读材料、理解题意的基础上把实际 问题抽象成数学问题.就是从实际问题出发,抽象概括,利用数学知 识建立相应的数学模型;再利用数学知识对数学模型进行分析、研 究,得到数学结论;然后再把数学结论返回到实际问题中进行检验, 其思路如下: (1)审题:阅读理解文字表达的题意,分清条件和结论,找出问题的 主要关系; (2)建模:将文字语言转化成数学语言,利用数学知识建立相应的 数学模型; (3)解模:把数学问题化归为常规问题,选择合适的数学方法求解; (4)对结果进行验证评估,定性、定量分析,作出正确的判断,确定 其答案. 注意在实际问题中,有时会遇到函数在定义区间内只有一个点使 f'(x)=0的情形,如果函数在这个点有极大(小)值,那么不与端点值比 较也可以知道这就是最大(小)值.这里所说的也适用于开区间或无 穷区间. 题型一 题型二 题型三 利用导数求实际问题的最小值 【例题1】 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的 屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热 层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗 费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系: C(x)= (0≤x≤10), 若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔 热层建造费用与20年的能源消

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