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广东省潮州市庵埠中学2015届高三数学上学期摸底试卷 理(含解析)


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广东省潮州市庵埠中学 2015 届高三上学期摸底数学试卷(理科 )
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1. (5 分)设 z= A. ﹣1+3i ,则 z 的共轭复数为() B. ﹣1﹣3i C. 1+3i D. 1﹣3i

2. (5 分)有一段演绎推理是这样的:“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线;已知直 线 b?平面 α ,直线 a? 平面 α ,直线 b∥平面 α ,则直线 b∥直线 a”的结论显然是错误的, 这是因为() A. 大前提错误 B. 小前提错误 C. 推理形式错误 D. 非以上错误 3. (5 分)用反证法证明命题:“已知 a,b 为实数,则方程 x +ax+b=0 至少有一个实根”时, 要做的假设是() 2 A. 方程 x +ax+b=0 没有实根 2 B. 方程 x +ax+b=0 至多有一个实根 2 C. 方程 x +ax+b=0 至多有两个实根 2 D. 方程 x +ax+b=0 恰好有两个实根 4. (5 分)由曲线 y=x ,y=0,x=1 所围成图形的面积为() A. B. C. D.
2 2

5. (5 分)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法 共有() A. 192 种 B. 216 种 C. 240 种 D. 288 种 6. (5 分)函数 y=x?1nx+2 的单调增区间是() A. (0, ) B. (0,e) C. ( ,+∞) D. (e,+∞)

7. (5 分)设(1+x)+(1+x) +(1+x) +?+(1+x) =a0+a1x+a2x +?+anx ,当 a0+a1+a2+?+an=254 时,n 等于() A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. (5 分)已知 f(x) ,g(x)都是定义在 R 上的函数,g(x)≠0,f(x)g′(x)>f′(x) g(x) ,且 f(x)=a g(x) (a>0 且 a≠1,
x

2

3

n

2

n

,对于有穷数列 的概率是()

,任取正整数 k(1≤k≤10) ,则前 k 项和大于 A. B. C. D.

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二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 2 9. (5 分)随机变量 ξ 服从正态分布 N(40,σ ) ,若 P(ξ <30)=0.2,则 P(30<ξ <50) =. 10. (5 分)计算定积分 (e +2x)dx 的值为.
x

11. (5 分)已知离散型随机变量 X~B(n,p) ,EX=4,DX=2,则 n=. 12. (5 分)在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张,其余 5 张无奖.将这 8 张奖券分配给 4 个人,每人 2 张,不同的获奖情况有种(用数字作答) . 13. (5 分)用火柴棒摆“金鱼”,如图所示:按照上面的规律,第 n 个“金鱼”图需要火柴

棒的根数为. 14. (5 分)如图,在平行四边形 ABCD 中,点 E 在 AB 上且 EB=2AE,AC 与 DE 交于点 F,则 =.

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤) 15. (12 分)某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中,随机抽取了 100 名电视观众,得到如下列联表: 文艺节目新闻节目总计 20 至 40 岁40 16 56 大于 40 岁 20 24 44 总计 60 40 100 (1) 用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取 5 名, 大于 40 岁的观众应抽取几名? (2)是否有 99%的把握认为收看文艺节目的观众与年龄有关?说明你的理由. 16. (12 分)某产品的广告费用支出 x 与销售额 y 之间有如下的对应数据: x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 (1)求回归直线方程,并计算 x=6 时的残差 ; (残差公式 =yi﹣ )

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (2)据此估计广告费用为 10 时销售收入 y 的值. 17. (14 分)已知 10:1. (1)求展开式中各项系数的和; (2)求展开式中含 的项. (n∈N )的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是
*

18. (14 分)PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.我 国 PM2.5 标准采用世卫组织设定的最宽限值,即 PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气质 量为一级;在 35 微克/立方米~75 微克/立方米之间空气质量为二级;在 75 微克/立方米以上 空气质量为超标. 某城市环保局从该市市区 2012 年全年每天的 PM2.5 监测数据中随机的抽取 15 天的数据作为 样本,监测值如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶) . (Ⅰ)从这 15 天的 PM2.5 日均监测数据中,随机抽出三天数据,求恰有一天空气质量达到一 级的概率; (Ⅱ)从这 15 天的数据中任取三天数据,记 ξ 表示抽到 PM2.5 监测数据超标的天数,求 ξ 的分布列和数学期望; (Ⅲ)根据这 15 天的 PM2.5 日均值来估计一年的空气质量情况,则一年(按 365 天计算)中 平均有多少天的空气质量达到一级或二级.

19. (14 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 Sn=2nan+1﹣3n ﹣4n,n∈N ,且 S3=15. (1)求 a1,a2,a3 的值; (2)求数列{an}的通项公式. 20. (14 分)设函数 f(x)=ln(1+x) ,g(x)=xf′(x) ,x≥0,其中 f′(x)是 f(x)的 导函数. (Ⅰ)令 g1(x)=g(x) ,gn+1(x)=g(gn(x) ) ,n∈N+,求 gn(x)的表达式; (Ⅱ)若 f(x)≥ag(x)恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)设 n∈N+,比较 g(1)+g(2)+?+g(n)与 n﹣f(n)的大小,并加以证明.

2

*

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广东省潮州市庵埠中学 2015 届高三上学期摸底数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 1. (5 分)设 z= A. ﹣1+3i ,则 z 的共轭复数为() B. ﹣1﹣3i C. 1+3i D. 1﹣3i

考点: 复数代数形式的乘除运算;复数的基本概念. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 直接由复数代数形式的除法运算化简,则 z 的共轭可求. 解答: 解:∵z= = ,

∴ . 故选:D. 点评: 本题考查复数代数形式的除法运算,考查了复数的基本概念,是基础题. 2. (5 分)有一段演绎推理是这样的:“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线;已知直 线 b?平面 α ,直线 a? 平面 α ,直线 b∥平面 α ,则直线 b∥直线 a”的结论显然是错误的, 这是因为() A. 大前提错误 B. 小前提错误 C. 推理形式错误 D. 非以上错误 考点: 演绎推理的基本方法;空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 阅读型. 分析: 本题考查的知识点是演绎推理的基本方法及空间中线面关系,在使用三段论推理证 明中,如果命题是错误的,则可能是“大前提”错误,也可能是“小前提”错误,也可能是逻 辑错误,我们分析:“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线;已知直线 b?平面 α ,直 线 a? 平面 α ,直线 b∥平面 α ,则直线 b∥直线 a”的推理过程,不难得到结论. 解答: 解:直线平行于平面,则直线可与平面内的直线平行、异面、异面垂直. 故大前提错误. 故选 A 点评: 演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论推理.三段论推理的 依据用集合论的观点来讲就是:若集合 M 的所有元素都具有性质 P,S 是 M 的子集,那么 S 中 所有元素都具有性质 P.三段论的公式中包含三个判断:第一个判断称为大前提,它提供了一 个一般的原理;第二个判断叫小前提,它指出了一个特殊情况;这两个判断联合起来,揭示了 一般原理和特殊情况的内在联系,从而产生了第三个判断结论.演绎推理是一种必然性推理, 演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系.因而,只要前提是真实的,推理的形式是正确的,那 么结论必定是真实的,但错误的前提可能导致错误的结论. 3. (5 分)用反证法证明命题:“已知 a,b 为实数,则方程 x +ax+b=0 至少有一个实根”时, 要做的假设是() 2 A. 方程 x +ax+b=0 没有实根 2 B. 方程 x +ax+b=0 至多有一个实根
2

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com C. 方程 x +ax+b=0 至多有两个实根 2 D. 方程 x +ax+b=0 恰好有两个实根 考点: 反证法与放缩法. 专题: 证明题;反证法. 分析: 直接利用命题的否定写出假设即可. 解答: 解:反证法证明问题时,反设实际是命题的否定, 2 ∴用反证法证明命题“设 a,b 为实数,则方程 x +ax+b=0 至少有一个实根”时,要做的假设 2 是:方程 x +ax+b=0 没有实根. 故选:A. 点评: 本题考查反证法证明问题的步骤,基本知识的考查. 4. (5 分)由曲线 y=x ,y=0,x=1 所围成图形的面积为() A. B. C. D.
2 2

考点: 定积分在求面积中的应用. 2 分析: 作出两个曲线的图象,求出它们的交点,由此可得所求面积为函数 y=x 在区间[0, 1]上的定积分的值,再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案. 2 解答: 解:∵曲线 y=x 和直线 L:x=2 的交点为 A(1,1) , 2 ∴曲线 C:y=x 、直线 L:x=1 与 x 轴所围成的图形面积为: S= x dx= x
2 3

= .

故选 B.

点评: 本题求两条曲线围成的曲边图形的面积,着重考查了定积分的几何意义和积分计算 公式等知识,属于基础题. 5. (5 分)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法 共有() A. 192 种 B. 216 种 C. 240 种 D. 288 种 考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 应用题;排列组合. 分析: 分类讨论,最左端排甲;最左端只排乙,最右端不能排甲,根据加法原理可得结论.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 解答: 解:最左端排甲,共有 =120 种,最左端只排乙,最右端不能排甲,有 =96

种, 根据加法原理可得,共有 120+96=216 种. 故选:B. 点评: 本题考查排列、组合及简单计数问题,考查学生的计算能力,属于基础题. 6. (5 分)函数 y=x?1nx+2 的单调增区间是() A. (0, ) B. (0,e) C. ( ,+∞) D. (e,+∞)

考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: 先求函数的定义域,然后求函数的导数,解导数不等式 f'(x)>0,得相应的单调 增区间. 解答: 解:要使函数有意义,则 x>0.即函数的定义域为(0,+∞) . 函数的导数为函数的导数为 f'(x)=1+lnx,由 f'(x)=1+lnx>0,解得 即增区间为 . ,

故选 C. 点评: 本题考查函数的单调性与导数之间的关系,判断函数的单调性首先要求函数的定义 域,然后解导数不等式 f'(x)>0 得函数的递增区间.要熟练掌握常见函数的导数公式以及 导数的运算法则. 7. (5 分)设(1+x)+(1+x) +(1+x) +?+(1+x) =a0+a1x+a2x +?+anx ,当 a0+a1+a2+?+an=254 时,n 等于() A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 考点: 数列的求和;二项式定理的应用. 专题: 计算题. 2 3 分析: 观察已知条件 a0+a1+a2+?+an=254,可令(1+x)+(1+x) +(1+x) +?+(1+x) n 2 n n+1 =a0+a1x+a2x +?+anx 中的 x=1,可得 254=2 ﹣2,解之即可. 2 3 n 2 n 解答: 解:∵(1+x)+(1+x) +(1+x) +?+(1+x) =a0+a1x+a2x +?+anx 2 3 n ∴令 x=1 得 2+2 +2 +?+2 =a0+a1+a2+?+an, 而 a0+a1+a2+?+an=254= =2 ﹣2,
n+1 2 3 n 2 n

∴n=7 故答案为:C 点评: 本题主要考查了二项式系数的性质,以及赋值法的应用,属于基础题.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 8. (5 分)已知 f(x) ,g(x)都是定义在 R 上的函数,g(x)≠0,f(x)g′(x)>f′(x) g(x) ,且 f(x)=a g(x) (a>0 且 a≠1,
x

,对于有穷数列 的概率是()

,任取正整数 k(1≤k≤10) ,则前 k 项和大于 A. B. C. D.

考点: 等比数列;函数的单调性与导数的关系;概率的应用. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 根据导数可知函数 的值,从而可判定{ 的单调性,从而确定 a 的取值范围,然后根据条件求出 a }是等比数列,求出前 n 项和,然后求出满足条件的 n,最后利用

古典概型的概率公式进行求解即可. 解答: 解:∵f(x)g′(x)>f′(x)g(x) ∴
x



单调递减,

又 所以由

=a ,故 0<a<1 ,得 a=

{

}是首项为

= ,公比为 的等比数列,其前 n 项和 Sn=1﹣



∴n≥5 所以 P=

=

故选 D. 点评: 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性,以及等比数列的前 n 项和,同时考查 了运算求解能力,考查计算能力和转化得思想,属于基础题. 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 2 9. (5 分)随机变量 ξ 服从正态分布 N(40,σ ) ,若 P(ξ <30)=0.2,则 P(30<ξ <50) =0.6. 考点: 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 根据随机变量 ξ 服从正态分布,知正态曲线的对称轴是 x=40,且 P(ξ <30)=0.2, 依据正态分布对称性,即可求得答案. 解答: 解:根据随机变量 ξ 服从正态分布,知正态曲线的对称轴是 x=40, 利用正态分布的对称性可得 P(ξ >50)=P(ξ <30)=0.2, 所以 P(30<ξ <50)=1﹣[P(ξ >50)+P(ξ <30)]=1﹣0.4=0.6 故答案为:0.6

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 点评: 本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等 基础知识,考查运算求解能力,属于基础题. 10. (5 分)计算定积分 (e +2x)dx 的值为 e.
x

考点: 定积分. 专题: 导数的综合应用. 分析: 根据积分公式直接进行计算即可. 解答: 解: (e +2x)dx=(e +x )|
x x 2

=e+1﹣1=e,

故答案为:e; 点评: 本题主要考查积分的计算,要求熟练掌握常见函数的积分公式,比较基础. 11. (5 分)已知离散型随机变量 X~B(n,p) ,EX=4,DX=2,则 n=8. 考点: 专题: 分析: 解答: ∴ 离散型随机变量的期望与方差. 概率与统计. 利用二项分布的性质求解. 解:∵离散型随机变量 X~B(n,p) ,EX=4,DX=2, ,解得 n=8,p=0.5.

故答案为:8. 点评: 本题考查实数 n 的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意二项分布的性质的合 理运用. 12. (5 分)在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张,其余 5 张无奖.将这 8 张奖券分配给 4 个人,每人 2 张,不同的获奖情况有 60 种(用数字作答) . 考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 排列组合. 分析: 分类讨论,一、二、三等奖,三个人获得;一、二、三等奖,有 1 人获得 2 张,1 人 获得 1 张. 解答: 解:分类讨论,一、二、三等奖,三个人获得,共有 一、二、三等奖,有 1 人获得 2 张,1 人获得 1 张,共有 =24 种; =36 种,

共有 24+36=60 种. 故答案为:60. 点评: 本题考查排列、组合及简单计数问题,考查学生的计算能力,属于基础题.

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棒的根数为 6n+2. 考点: 归纳推理. 专题: 规律型. 分析: 观察给出的 3 个例图,注意火柴棒根数的变化是图②的火柴棒比图①的多 6 根,图 ③的火柴棒比图②的多 6 根,而图①的火柴棒的根数为 2+6. 解答: 解:由题意知:图②的火柴棒比图①的多 6 根,图③的火柴棒比图②的多 6 根,而 图①的火柴棒的根数为 2+6, ∴第 n 条小鱼需要(2+6n)根, 故答案为:6n+2. 点评: 本题考查了规律型中的图形变化问题,本题的解答体现了由特殊到一般的数学方法 (归纳法) ,先观察特例,找到火柴棒根数的变化规律,然后猜想第 n 条小鱼所需要的火柴棒 的根数. 14. (5 分)如图,在平行四边形 ABCD 中,点 E 在 AB 上且 EB=2AE,AC 与 DE 交于点 F,则 =3.

考点: 三角形的面积公式. 专题: 解三角形. 分析: 证明△CDF∽△AEF,可求 .

解答: 解:∵四边形 ABCD 是平行四边形,EB=2AE, ∴AB∥CD,CD=3AE, ∴△CDF∽△AEF, ∴ = =3.

故答案为:3. 点评: 本题考查三角形相似的判断,考查学生的计算能力,属于基础题. 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤) 15. (12 分)某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中,随机抽取了 100 名电视观众,得到如下列联表: 文艺节目新闻节目总计 20 至 40 岁40 16 56

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 大于 40 岁 20 24 44 总计 60 40 100 (1) 用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取 5 名, 大于 40 岁的观众应抽取几名? (2)是否有 99%的把握认为收看文艺节目的观众与年龄有关?说明你的理由. 考点: 独立性检验;分层抽样方法. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: (1)采用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取 5 名观众,而收看新闻节 目的共有 40 人,做出每个个体被抽到的概率,得到结果. 2 (2)由已知中的列联表,代入计算出 K 的值,与临界值比较后可得有 99%的把握认为收看文 艺节目的观众与年龄有关 解答: 解: (1)应抽取大于 40 岁的观众人数为 ×5=3(名)?4 分

(2) 根据列联表中的数据, 得k=

2

=

≈6.926>6.635?10

分 所以,有 99%的把握认为收看文艺节目的观众与年龄有关?12 分. 点评: 本题考查分层抽样方法,独立性检验是统计较为综合的题型,难度中档. 16. (12 分)某产品的广告费用支出 x 与销售额 y 之间有如下的对应数据: x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 (1)求回归直线方程,并计算 x=6 时的残差 ; (残差公式 (2)据此估计广告费用为 10 时销售收入 y 的值. 考点: 线性回归方程. 专题: 应用题;概率与统计. 分析: (1)先求出横标和纵标的平均数,得到这组数据的样本中心点,利用最小二乘法求 出线性回归方程的系数,代入样本中心点求出 a 的值,写出线性回归方程,计算 x=6 时的残 差 ; (2)由回归直线方程,计算当 x=10 时,可求对应的销售收入 y 的值. 解答: 解: (1) , , (2 分) =yi﹣ )





b=

=6.5, (5 分)

, (7 分)

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所以回归直线方程为 当 x=6 时, 又 =50,从而 =﹣6.5 =56.5

. (8 分)

(10 分)

(2)x=10 时,预报 y 的值为 y=6.5×10+17.5=82.5. (12 分) 点评: 本题考查线性回归方程的求法和应用,本题解题的关键是利用最小二乘法求出线性 回归方程的系数,考查学生的运算能力. 17. (14 分)已知 10:1. (1)求展开式中各项系数的和; (2)求展开式中含 的项. (n∈N )的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是
*

考点: 二项式系数的性质. 专题: 计算题. 分析: (1)利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的通项,求出第五项的系数与第三 项的系数,根据已知条件列出方程,求出 n 的值,将 n 的值代入二项式,给二项式中的 x 赋 值 1,求出展开式中各项系数的和. (2)令二项展开式的通项中的 x 的指数为 ,求出 r 的值,将 r 的值代入通项求出展开式中



的项.

解答: 解:由题意知,展开式的通项为

则第五项系数为 Cn ?(﹣2) ,第三项的系数为 Cn ?(﹣2) 则有 ,化简,得 n ﹣5n﹣24=0
2

4

4

2

2

解得 n=8 或 n=﹣3(舍去) 8 (1)令 x=1,得各项系数的和为(1﹣2) =1 (2)令 ,则 r=1

故展开式中含

的项为

点评: 求二项展开式的特定项问题一般借助的工具是二项展开式的通项公式;求二项展开 式的各项系数和问题,一般通过观察,通过赋值的方法来解决.

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 18. (14 分)PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.我 国 PM2.5 标准采用世卫组织设定的最宽限值,即 PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气质 量为一级;在 35 微克/立方米~75 微克/立方米之间空气质量为二级;在 75 微克/立方米以上 空气质量为超标. 某城市环保局从该市市区 2012 年全年每天的 PM2.5 监测数据中随机的抽取 15 天的数据作为 样本,监测值如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶) . (Ⅰ)从这 15 天的 PM2.5 日均监测数据中,随机抽出三天数据,求恰有一天空气质量达到一 级的概率; (Ⅱ)从这 15 天的数据中任取三天数据,记 ξ 表示抽到 PM2.5 监测数据超标的天数,求 ξ 的分布列和数学期望; (Ⅲ)根据这 15 天的 PM2.5 日均值来估计一年的空气质量情况,则一年(按 365 天计算)中 平均有多少天的空气质量达到一级或二级.

考点: 概率的应用;等可能事件的概率;离散型随机变量的期望与方差. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)从 15 天的 PM2.5 日均监测数据中,随机抽出三天,共有 C 一天空气质量达到一级,共有 种情况,由此可求概率; 种情况,恰有

(Ⅱ)ξ 服从超几何分布:其中 N=15,M=5,n=3,ξ 的可能值为 0,1,2,3,故可得其分 布列和数学期望; (Ⅲ) 一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为 P= 级的天数 η ~B(360, ) ,求出期望,即可得到结论. 解答: 解: (Ⅰ)从茎叶图可知,空气质量为一级的有 4 天,为二级的有 6 天,超标的有 5 天 记“从 15 天的 PM2.5 日均监测数据中,随机抽出三天,恰有一天空气质量达到一级”为事件 A 则 ?(3 分) , 一年中空气质量达到一级或二

(Ⅱ)ξ 的可能值为 0,1,2,3,?(4 分)
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,?(8 分) 所以 ξ 的分布列为 ξ 0 P ?(9 分) ?(10 分) (Ⅲ)15 天的空气质量达到一级或二级的频率为 , 所以估计一年中有 天的空气质量达到一级或二级.?(13 分) ?(11 分)

1

2

3

(说明:答 243 天,244 天不扣分) 点评: 本题考查等可能事件概率的求法,考查离散型随机变量的分布列,考查利用数学知 识解决实际问题,属于中档题. 19. (14 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 Sn=2nan+1﹣3n ﹣4n,n∈N ,且 S3=15. (1)求 a1,a2,a3 的值; (2)求数列{an}的通项公式. 考点: 数列递推式;数列的函数特性. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: (1)在数列递推式中取 n=2 得一关系式,再把 S3 变为 S2+a3 得另一关系式,联立可 求 a3,然后把递推式中 n 取 1,再结合 S3=15 联立方程组求得 a1,a2; (2)由(1)中求得的 a1,a2,a3 的值猜测出数列的一个通项公式,然后利用数学归纳法证明. 2 * 解答: 解: (1)由 Sn=2nan+1﹣3n ﹣4n,n∈N ,得: S2=4a3﹣20 ① 又 S3=S2+a3=15 ② 联立①②解得:a3=7. 2 再在 Sn=2nan+1﹣3n ﹣4n 中取 n=1,得: a1=2a2﹣7 ③
2 *

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 又 S3=a1+a2+7=15 ④ 联立③④得:a2=5,a1=3. ∴a1,a2,a3 的值分别为 3,5,7; (2)∵a1=3=2×1+1,a2=5=2×2+1,a3=7=2×3+1. 由此猜测 an=2n+1. 下面由数学归纳法证明: 1、当 n=1 时,a1=3=2×1+1 成立. 2、假设 n=k 时结论成立,即 ak=2k+1. 那么,当 n=k+1 时, 由 Sn=2nan+1﹣3n ﹣4n,得
2

, ,

两式作差得: ∴



=

=2(k+1)+1.

综上,当 n=k+1 时结论成立. ∴an=2n+1. 点评: 本题考查数列递推式,训练了利用数学归纳法证明与自然数有关的命题,考查了学 生的灵活应变能力和计算能力,是中档题. 20. (14 分)设函数 f(x)=ln(1+x) ,g(x)=xf′(x) ,x≥0,其中 f′(x)是 f(x)的 导函数. (Ⅰ)令 g1(x)=g(x) ,gn+1(x)=g(gn(x) ) ,n∈N+,求 gn(x)的表达式; (Ⅱ)若 f(x)≥ag(x)恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)设 n∈N+,比较 g(1)+g(2)+?+g(n)与 n﹣f(n)的大小,并加以证明. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用.

分析: (Ⅰ)由已知





?可得 (Ⅱ)由已知得到 ln(1+x)≥ 导数求出函数的最小值即可;

用数学归纳法加以证明; 恒成立构造函数 φ (x)=ln(1+x)﹣ (x≥0) ,利用

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (Ⅲ)在(Ⅱ)中取 a=1,可得 取 1,2,3?,然后各式相加即得到不等式. 解答: 解:由题设得, (Ⅰ)由已知 , ,令 则 ,n 依次



? 可得 下面用数学归纳法证明.①当 n=1 时, ②假设 n=k 时结论成立,即 , ,结论成立.

那么 n=k+1 时,

=

即结论

成立. 由①②可知,结论对 n∈N+成立.

(Ⅱ)已知 f(x)≥ag(x)恒成立,即 ln(1+x)≥

恒成立.

设 φ (x)=ln(1+x)﹣

(x≥0) ,则 φ ′(x)=



当 a≤1 时,φ ′(x)≥0(仅当 x=0,a=1 时取等号成立) , ∴φ (x)在[0,+∞)上单调递增, 又 φ (0)=0, ∴φ (x)≥0 在[0,+∞)上恒成立. ∴当 a≤1 时,ln(1+x)≥ 恒成立, (仅当 x=0 时等号成立)

当 a>1 时,对 x∈(0,a﹣1]有 φ ′(x)<0,∴φ (x)在∈(0,a﹣1]上单调递减, ∴φ (a﹣1)<φ (0)=0 即当 a>1 时存在 x>0 使 φ (x)<0, 故知 ln(1+x)≥ 不恒成立,

综上可知,实数 a 的取值范围是(﹣∞,1].

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文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (Ⅲ)由题设知,g(1)+g(2)+?+g(n)= n﹣f(n)=n﹣ln(n+1) , 比较结果为 g(1)+g(2)+?+g(n)>n﹣ln(n+1) 证明如下:上述不等式等价于 在(Ⅱ)中取 a=1,可得 令 故有 ln3﹣ln2 ,? , 上述各式相加可得 结论得证. 则 , , , ,

点评: 本题考查数学归纳法;考查构造函数解决不等式问题;考查利用导数求函数的最值, 证明不等式,属于一道综合题.

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