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高中数学破题致胜微方法(椭圆的进阶性质):椭圆的焦点弦 Word版含答案

今天我们介绍椭圆的焦点弦。如果过椭圆焦点的直线与该椭圆相交于两点,那么这两个交点 间的线段就叫做椭圆的焦点弦。关于直线与椭圆相交求弦长,通用方法是将直线方程代入椭 圆方程,消元化为一元二次方程,设出交点坐标,利用韦达定理及弦长公式求出弦长。然而 对于过焦点的弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐,直接利用椭圆的焦点弦长公式就 更为简捷。

先看例题:

例:已知椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

?

0) ,若过左焦点的直线交椭圆于 A,B 两点,求

|AB|. 解:设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) 由焦半径公式得:
AF1 ? a ? ex1 BF1 ? a ? ex2 两式相加得| AB |? 2a ? e(x1 ? x2 )
注意:此时只需要两根和,即可求得弦长。

归纳整理:

椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

? 0) 其中两焦点为 F1(?c, 0), F2 (c, 0),

| AB |? 2a ? e(xA ? xB ) (过左焦点)

| AB |? 2a ? e(xA ? xB ) (过右焦点)
其中 e 是椭圆的离心率

同理可证:

椭圆

y2 a2

?

x2 b2

? 1(a

?b

?

0)

| AB |? 2a ? e( yA ? yB ) (过左焦点)

| AB |? 2a ? e( yA ? yB ) (过右焦点) 其中 e 是椭圆的离心率

再看一个例题,加深印象

例:已知椭圆 x2 ? y2 ? 1的左右焦点分别为 F1,F2,若过点 P(0,-2)及 F1 的直线交椭圆于 21
A,B 两点,求|AB|.

解:令 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) 则 AF1 ? a ? ex1 , BF1 ? a ? ex2

其中 a ? 2, e ? 2 2

又因为椭圆左焦点为

F1 (?1,

0)

,直线

AB

的方程为

x ?1

?

y ?2

?

1 ,即

y

?

?2x

?

2

直线方程与椭圆方程联立

?? ? ??

y ? ?2x x2 ? y2 21

?2 ?1



得: 9x2 ?16x ? 6 ? 0 ,

所以

AB

?

a ? ex1

? a ? ex2

?

2a ? e(x1

?

x2 )

? 10 9

2

总结: 1.从椭圆的标准方程看出焦点的位置,合理选择椭圆的焦点弦长公式.

2.一般弦长公式对椭圆的焦点弦长仍然适用,但是计算繁琐,直接利用椭圆的焦点弦长公式 就更为简捷。

练习:
1.已知椭圆 x2 ? y2 ? 1 ,若过左焦点的直线交椭圆于 A,B 两点,且 A,B 两点的横坐标之和 49 13
是-7,求|AB|

2.过椭圆 3x2 ? 4y2 ? 48 椭圆的左焦点引直线交椭圆于 A,B 两点,|AB|=7,求直线方程.

答案: 1.

解:

AB

?

a ? ex1

? a ? ex2

?

2a ? e(x1

?

x2 )

?

2? 7- 6 ? 7=8 7

2.

解:直线为 3x ? 2 y ? 2 3 ? 0 或 3x ? 2 y ? 2 3 ? 0