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2015-2016学年辽宁省鞍山市第一中学高一下学期期末考试数学试题


2015-2016 学年辽宁省鞍山市第一中学、东北育才中学、辽宁省实验中学、大连 市第八中学、大连市二十四中学高一下学期期末考试数学试题
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的.
1.下列函数的最小正周期为 ? 的是( A. y ? cos 2 x B. y ?| sin ) C. y ? sin x D. y ? tan

x | 2

x 2

2.已知变量 x 与 y 正相关,且由观测数据算得样本平均数 x ? 2, y ? 3 ,则由该观测的数据算得的线性回归 方程可能是( )

? ? 0.4 x ? 2.1 A. y

? ? 2x ?1 B. y

? ? ?2 x ? 1 C. y

? ? ?0.4 x ? 2.9 D. y

3.利用系统抽样从含有 45 个个体的总体中抽取一个容量为 10 的样本,则总体中每个个体被抽到的可能性 是( A. ) B.

1 45

2 9

C.

1 4

D.与第几次被抽取有关

4. 书架上有两本不同的数学书、一本语文书、一本英语书.从中选取 2 本,两本书中只有一本数学书的概 率为( A. ) B.

1 6

1 3

C.

1 2

D.

2 3
2 , b ? 3 , A ? 45? ,则角 B 大小为(


5.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c .已知 a ? A. 60? B. 120? C. 60? 或 120?

D. 15? 或 75?

6.程序: S ? 1 ; for i ? 1 : 1 : 10 end print(%io(2),S)以上程序是用来计算( A. 1 ? 10 B. 3 ? 10 )的值 D. 310 )

S ? 3? S ;

C. 1 ? 2 ? 3 ? ? ? ?10

7.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果为( A.4 B.5 C.6 D.7

-1-

8. A.

? 在 [0,2? ] 上随机的取一个值,则使得关于 x 的方程 x 2 ? 4 x ? sin ? ? 1 ? 0 有实根的概率为(
2 3
B.



1 2

C.

1 3

D.

1 6 2 AC ,点 E 在直线 BD 上,且 BD ? 2 DE .若 3

9. 在 ?ABC 中,点 D 在直线 AC 上,且 AD ?

AE ? ?1 AB ? ?2 AC ,则 ?1 ? ?2 ? (
A. 0 B.

) D.

1 2

10.已知 0 ? ? ? A. ?

?
4

63 65

4 33 B. ? 65



?

8 9 3? 3? 5 ? 3 , sin( ?? ? ? ?) ? , sin( ? ?) ? ,求 cos(? ? ?) ?( 4 4 13 4 5 33 63 C. D. 65 65
C.

7 9



11.将 f ( x) ? 2 sin 2 x 的图象向右平移

?

6

个单位, 再向下平移 1 个单位, 得到函数 y ? g ( x) 的图象.若函数 )

y ? g ( x) 在区间 (a, b) 上含有 20 个零点,则 b ? a 的最大值为(
A. 10? B.

31 ? 3

C.

32 ? 3

D. 11?

12.若锐角 ?ABC 满足 ( AB ? AC ) ? BC ?

1 | BC |2 ,则 tan C 的取值范围是( 3



A. (0,

2 ) 2

B. (

2 ,1) 2

C. (

2 ,??) 2

D. (1,??)

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13.求值: sin 600? ? .
-2-

14. 某单位由老年教师 27 人,中年教师 54 人,青年教师 81 人,为了调查他们的身体状况,需从他们中间 抽取一个容量为 36 的样本,则青年教师被抽取的人数是 . .

15.运行如图所示的框图,如果输出的 y ? 0 ,则输入的 x 的取值范围为

16.将一副直角三角板拼成如图所示的四边形 ABCD (其中 ?DAC ? ?DCA ? 45? , ,若 BC ? 1 ,则 AC ? BD ? ?ABC ? 2?CAB ? 60? ) .

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.已知 a ? (sin x, cos x), b ? (cos x, cos x) , f ( x) ? a ? b . (1)已知 tan x ? 2 ,求 f ( x) 的值; (2)求函数 f ( x) 的单调递增区间. 18.高一数学期末考试试卷分值在 [0,150] ,没有小数分值.从年级 600 名同学中随机抽取 50 名同学了解期 末数学考试成绩,他们 成绩分布在 [90,150] 分之间.以 [90,100) , [100,110) , [110,120) , [120,130) ,

[130,140) , [140,150] 分组的频率分布直方图如图所示:
(1)如规定分数在 [130,150] 为优秀,根据样本的频率分布直方图估计年级期末数学考试中取得优秀的学 生人数; (2)在分数为 [130,150] 的所抽取的样本同学中,再随机选取两人,求此 2 人分数均在 [130, 的概率. 140)
-3-

19.今年的 NBA 西部决赛勇士和雷霆共进行了七场比赛,经历了残酷的“抢七”比赛,两队的当家球星库 里和杜兰特七场比赛的每场比赛的得分如下表: 第一场 第二场 库里 杜兰特 26 26 28 29 第三场 24 33 第四场 22 26 第五场 第六场 31 40 29 29 第七场 36 27

(1)绘制两人得分的茎叶图; (2)右图是计算每位选手七场比赛的平均得分(图中用 A 表示)的程序框图,请将框图中空缺的部分① ②填充完整; (3)分析并比较两位球星的七场比赛的平均得分及得分的稳定程度.

20.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c(b ? c) .满足 c cos B ? b cos C ? 2a cos A . (1)求角 A 的大小; (2)若 ?ABC 的周长为 20,面积为 10 3 ,求 b , c .

21.已知 ? ? (0,

?

) , ? ? ( , ? ) , a ? (1 ? cos ? , sin ? ) , b ? (1 ? sin ? , cos ? ) , 2 2

?

c ? (1,0) . ? a, c ?? ?1 , ? b, c ?? ? 2 .
(1)若 ? 2 ?

?
6

,求角 ? ;

(2)若 ? 2 ? ?1 ?

?
6

,求 sin( ? ? ? ) .

22.已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 3 sin x cos x ?

1 ? , g ( x) ? m cos( x ? ) ? m ? 2 . 2 3

(1)若对任意的 x1 , x2 ? [0, ? ] ,均有 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求 m 的取值范围;
-4-

(2)若对任意的 x ? [0, ? ] ,均有 f ( x) ? g ( x) ,求 m 的取值范围.

高一数学试题答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 题号 答案 1 A 2 B 3 B 4 D 5 C 6 D 7 C 8 A
[

9 B

10 B

11 C

12 C

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. ?

3 ; 2

14.18;

15. [2k? ? ? ,2k? ?

3? ], k ? Z ; 2

16. ?

3 2

三、解答题:本大题共 6 个题,共 70 分. 17.解: (1)已知 tan x ? 2 ,

f ( x) ? a ? b ? sin x cos x ? cos 2 x ?

sin x cos x ? cos 2 x tan x ? 1 3 ? ? sin 2 x ? cos 2 x tan 2 x ? 1 5

18.解: (1)年级期末数学考试中的取得优秀的学生人数大约为 600 ? (0.06 ? 0.08) ? 84 人. (2)由频率分布直方图中可知样本的 50 人中 [130,140) 为 4 人,记为 a1 , a2 , a3 , a4 , [140,150] 为 3 人, 记为 b1 , b2 , b3 . 则所求事件的基本事件空间 ? ? {( a1 , a2 ), (a1 , a3 ), (a1 , a4 ), (a2 , a3 ), (a2 , a4 ), (a3 , a4 ),

(a1 , b1 ), (a1 , b2 ), (a1 , b3 ), (a2 , b1 ), (a2 , b2 ), (a2 , b3 ), (a3 , b1 ), (a3 , b2 ), (a3 , b3 ), (a4 , b1 ), (a4 , b2 ), (a4 , b3 ), (b1 , b2 ), (b1 , b3 ), (b2 , b3 )} 共有 21 个基本事件
所求的事件 A 包含 (a1 , a2 ), (a1 , a3 ), (a1 , a4 ), (a2 , a3 ), (a2 , a4 ), (a3 , a4 ), 6 个基本事件 则 2 人分数均在 [130,140) 的概率 P ( A) ? 19.解: (1)如图
-5-

6 2 ? . 21 7

S . 7 1 (3)库里的平均得分 x1 ? (26 ? 28 ? 24 ? 22 ? 31 ? 29 ? 36) ? 28 分 7 1 130 方差 s12 ? [(?2) 2 ? 0 2 ? (?4) 2 ? (?6) 2 ? 32 ? 12 ? 82 ] ? . 7 7 1 杜兰特的平均得分 x2 ? (26 ? 29 ? 33 ? 26 ? 40 ? 29 ? 27) ? 30 分 7 1 152 2 方差 s2 . ? [(?4) 2 ? (?1) 2 ? 32 ? (?4) 2 ? 10 2 ? (?1) 2 ? (?3) 2 ] ? 7 7
(2)① i ? 7 ; ② A ?
2 ∴ x1 ? x2 , s12 ? s2 ,则这七场比赛库里的平均得分低于杜兰特,但库里的得分更稳定一些.

20.解: (1) c cos B ? b cos C ? 2a cos A ,由正弦定理可得

sin C cos B ? sin B cos C ? sin( B ? C ) ? sin A ? 2 sin A cos A ,∴ cos A ?
(2)∵ S ?ABC ?

? 1 ,则 A ? . 2 3

1 3 bc sin A ? bc ? 10 3 ,∴ bc ? 40 ,又 a ? b ? c ? 20 ,∴ a 2 ? (20 ? a ) 2 ? 120 , 2 4

解得 a ? 7 ,∴ b ? c ? 13 , bc ? 40 ,解得 b ? 5, c ? 8 . 21. 解: (1) 由向量夹角的余弦公式可得 cos ? 2 ? 解得 sin ? ?

b?c 1 ? sin ? 2 3 , ? ? 1 ? sin ? ? 2 2 2 2 | b || c | (1 ? sin ? ) ? cos ?

1 ? 5 ,又因为 ? ? ( , ? ) ,∴ ? ? ? . 2 2 6

(2)∵ ? ? (0,

?
2

) , cos ?1 ?

? a?c 1 ? cos ? 2 ? ? ? 1 ? cos ? ? cos ,∴ ?1 ? , 2 2 2 | a || c | (1 ? cos ? ) 2 ? sin 2 ?

∵? ?(

?
2

, ? ) , cos ? 2 ?

b?c 1 ? sin ? 2 2 ? ? ? ? 1 ? sin ? ? (cos ? sin ) 2 2 2 2 2 2 2 | b || c | (1 ? sin ? ) ? cos ?

?

2 ? ? ? ? ? ? (cos ? sin ) ? cos( ? ) ,∴ ? 2 ? ? . 2 2 2 2 4 2 4

由 ? 2 ? ?1 ?

?
6

,可得 ? ? ? ?

5 1 ? ,∴ sin( ? ? ? ) ? . 6 2

22.解: (1) f ( x) ? sin 2 x ? 3 sin x cos x ? 由 x1 ? [0, ? ] ,得 f ( x1 ) ? [0,2] .

1 1 ? cos 2 x 3 1 ? ? ? sin 2 x ? ? 1 ? sin( 2 x ? ) , 2 2 2 2 6

-6-

1 1 x2 ? [0, ? ] ,当 m ? 0 时,g ( x2 ) ? [?2m ? 2,? m ? 2] ,要使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 恒成立,只需 0 ? ? m ? 2 , 2 2
解得 m ? 4 . 当 m ? 0 时, g ( x2 ) ? [?

1 m ? 2,?2m ? 2] ,要使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 恒成立,只需 0 ? ?2m ? 2 ,矛盾. 2

综上 m 的取值范围是 m ? 4 . (2) f ( x) ? sin 2 x ? 3 sin x cos x ?

1 1 ? cos 2 x 3 1 ? ? ? sin 2 x ? ? 1 ? sin( 2 x ? ) 2 2 2 2 6

? 1 ? cos(2 x ?

2? ? ) ? 2 cos 2 ( x ? ) , 3 3

要使 f ( x) ? g ( x) 恒成立,只需 2 cos 2 ( x ? 则 m[cos( x ?

?
3

) ? m cos( x ?

?
3

)?m?2,

?
3

) ? 1] ? 2[cos 2 ( x ?

?
3

) ? 1] ,因为 x ? [0, ? ] , cos( x ?

?

所以只需 m ? 2[cos( x ?

?
3

1 ) ? [?1, ] , 3 2

) ? 1] 恒成立,则所求的 m 的取值范围为 m ? 3 .

-7-


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