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2011-12-21数学归纳法证明数列问题列


数学归纳法证明数列问题

课前练习
1.用数学归纳法证明
" ( n ? 1)(n ? 2)?( n ? n) ? 2n ? 1 ? 2?? ( 2n ? 1)(n ? N *)"时, 从n ? k到n ? k ? 1时,左边应 增加的式子 _______ 是 A .

A. 2k ? 1
2k ? 1 C. k ?1

B. 2( 2k ? 1)
2k ? 2 D. k ?1

2.已 知n ? N , n ? 1, 1 1 1 在数学归纳法证明: ? ??? ? n 1? < n中 , 2 3 2 ?1 由n ? k ( k>1)不 等 式 成 立 , 推 出? k ? 1时 , n 左边应增加的项数为 ___ C A 2k -1 B 2k - 1 3.已 知n ? N , n ? 2, C 2k D2k ? 1

1 1 1 1 在数学归纳法证明: ? ? ? ? ? ? <1中 , n?1 n? 2 n? 3 2n 由n ? k ( k>1)不 等 式 成 立 , 推 出? k ? 1时 , n 左边变化的项数为 1 ? 1 ? 1 ___ 2n ? 1 2n ? 2 n ? 1

同步练习
1 1 1 n?1 1.证明: 2 ? 2 ? ? ? ? ? 2 < ( n ? 2,3,4 ? ? ?) 2 3 n n
2.已知: n ? N ?且an ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n( n ? 1) , n( n ? 1) ( n ? 1) ? 求证: <an< , (n ? N ). 2 2
2

4 ? a n ?1 3.a1 ? 1, an ? ( n ? 2), 3 ? a n ?1 (1)求a2a3 , a4 ,

( 2)归 纳an的 表 达 式 , 并 证 明 你 结 论. 的

同步练习
4. 在 数 列 an } , {bn }中, 且a1 ? 2, b1 ? 4, { 且an , bn , an?1 成 等 差 数 列 , bn , an?1 , bn?1 成 等 比 数 列 n ? N *). (
(1) 求a2 , a3 , a4及b2 , b3 , b4 , 由此 猜测an }, {bn } { 的通 项公 式 并证 明你 的结 论 , ; 1 1 1 5 ( 2) 证明: ? ??? ? . a1 ? b1 a2 ? b2 an ? bn 12

同步练习
1 2 5. 已知数列{an }的首项是 a1 ? , an?1 ? an ? an . 2

(1) 比较an与 an?1 的大小 ;

1 1 1 ( 2) 比 较 ? ??? 与 2的 1 ? a1 1 ? a2 1 ? an 大 小( n ? 2, n ? N *).

6.已 知an ? 2 ? 1( n ? N ),
n

?

an n 1 a1 a2 ? 求 证: ? < ? ? ??? ? ( n ? N ). 2 3 a2 a3 an?1

课堂练习

P 29. EX 1,2,3,4.

2.已知: n ? N ?且an ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n( n ? 1) , 数列与不等式 n( n ? 1) ( n ? 1)2 求证: <an< , ( n ? N ? ). 2 2

同步练习 解析 2

证 明: ? n( n ? 1)> n 2 ? n n( n ? 1) ? a n>1 ? 2 ? ? ? ? ? n ? 2 n ? (n ? 1) 且 n (n? 1)< , 2 1? 2 2? 3 n ? ( n ? 1) ? a n< ? ? ??? ? 2 2 2 1 ( n ? 1) 2 ? ( 3 ? 5 ? ? ? ? ? 2n ? 1)? ( ) 2 2 综上可知结论成立 .

数列与不等式
6.已知a n ? 2 n ? 1( n ? N ? ),

同步练习 解析 6

an n 1 a1 a 2 求证 : ? < ? ? ??? ? ( n ? N ? ). 2 3 a2 a3 a n?1 ak 2k ? 1 1 1 1 1 1 证明: ? ? k ?1 ? ? ? ? k ? ? k ?1 k ak ?1 2 ? 1 2 2(2 ? 1) 2 3.2 ? 2 ? 2 2 ?1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? k ? ? . k , k ? 1, 2,..., n, k ?1 k ? 1 2 2(2 ? 1) 2 3.2 ? 2 ? 2 2 3 2

an a1 a2 n 1 1 1 1 n ? ? ? ... ? ? ? ( ? 2 ? ... ? n ) ? ? a2 a3 an?1 2 3 2 2 2 2

1 1 1 n 1 1 n 1 ( ? 2 ? ... ? n ) ? ? (1 ? n ) ? ? , 2 2 2 2 3 2 2 3 an n 1 a1 a2 n ? ? ? ? ? ... ? ? (n ? N * ). 2 3 a2 a3 an?1 2

2 解 析(1) 由 条 件 bn ? a n ? a n?1 , a n ?1 ? bn bn ?1 , : 2

同步练习 解析 4

可 得 a 2 ? 6, b2 ? 9, a 3 ? 12, b3 ? 16, a4 ? 20, b4 ? 25 猜 想 : n ? n( n ? 1), bn ? ( n ? 1) 2 . a 用数学归纳法证明: (1)当n ? 1时 由 上 可 知 结 论 成 立 ; ( 2)假 设 当 ? k时 , 结 论 成 立 , n
2 即 : a k ? k ( k ? 1), bk ? k ? 1), (

那 么 当 ? k ? 1时 , n a k ?1 ? 2bk ? a k ? 2( k ? 1) 2 ? k ( k ? 1) ? ( k ? 1)?( k ? 1) ? 1?, 所 以 当 ? k ? 1时 , 结 论 成 立 n . bk ?1
2 ak ?1 ? bk

? ( k ? 2) 2

由(1), ( 2),可 知a n ? n( n ? 1), bn ? ( n ? 1) 2 对 一 切 正 整 数 都 成 立 .

1 1 5 ( 2)当n ? 1时 , ? < , a1 ? b1 6 12 当n ? 2时 ,

同步练习 解析 4

由(1)知a n ? bn ? ( n ? 1)(2n ? 1)>(n ? 1)n 2 1 1 1 故 ? ? ??? ? a1 ? b1 a 2 ? b2 a n ? bn 1 1 1 1 1 < ? ( ? ? ??? ? ) 6 2 2? 3 3? 4 n( n ? 1) 1 1 1 1 1 1 5 ? ? ( ? )< ? ? . 6 2 2 n ? 1 6 4 12 综 上 可 知 , 原 不 等 式 立. 成


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