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高中数学第二章平面向量5从力做的功到向量的数量积(一)课件北师大版必修4


第二章 平面向量 §5 从力做的功到向量的数量积(一) 学习目标 1.了解平面向量数量积的物理背景,即物体在力F的作用下产生位 移s所做的功. 2.掌握平面向量数量积的定义和运算律,理解其几何意义. 3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否 垂直. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 知识点一 两向量的夹角 思考1 以上几组向量中,a,b共线吗? 答案 存在夹角,不一样. 答案 思考2 → =b,则向量a与b的夹角是多少? →=a, △ABC为正三角形,设AB BC 答案 如图, → =a, 延长AB至点D,使AB=BD,则 BD ∵△ABC为等边三角形,∴∠ABC=60°, 则∠CBD=120°,故向量a与b的夹角为120°. 答案 梳理 → = a , → = b ,则 ∠AOB = (1) 夹角:已知两个 非零向量 a 和 b ,作OA OB θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角(如图所示). 当θ=0°时,a与b 同向 ;当θ=180°时,a与b 反向 . (2)垂直:如果a与b的夹角是90°,我们说a与b垂直,记作a⊥b.规定零向 量可与任一向量垂直. 知识点二 平面向量数量积的物理背景及其定义 一个物体在力F的作用下产生位移s,如图. 思考1 如何计算这个力所做的功? 答案 W=|F||s|cos θ. 答案 思考2 力做功的大小与哪些量有关? 答案 与力的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关. 答案 梳理 (1)数量积:已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把 |a||b|cos θ 叫 作a与b的数量积(或内积),记作a· b,即a· b= |a||b|cos θ . (2)数量积的特殊情况 2 | a | 当两个向量相等时,a· a= . 当两个向量e1,e2是单位向量时,e1· e2= |e1||e2|cos θ=cos θ . 知识点三 平面向量数量积的几何意义 思考1 什么叫作向量b在向量a上的射影?什么叫作向量a在向量b上的射影? → → 答案 如图所示, OA=a, OB =b,过B作BB1垂直于直线OA,垂 足为B1,则OB1=|b|cos θ. |b|cos θ叫作向量b在a方向上的射影,|a|cos θ叫作向量a在b方向上 的射影. 答案 思考2 向量b在向量a上的射影与向量a在向量b上的射影相同吗? 答案 由射影的定义知,二者不一定相同. 答案 梳理 (1)射影:若非零向量a,b的夹角为θ,则 |b|cos θ 叫作向量b在a方向上的 射影(简称为投影). (2) a · b 的几何意义: a 与 b 的数量积等于 a 的长度 | a | 与 b 在 a 方向上的射影 |b|cos θ 的乘积,或b的长度|b|与a在b方向上的射影 |a|cos θ 的乘积. 知识点四 平面向量数量积的性质 思考1 向量的数量积运算的结果和向量的线性运算的结果有什么区别? 答案 向量的线性运算的结果是向量,而向量的数量积运算的结 果是数量. 答案 思考2 非零向量的数量积是否可为正数,负数和零,其数量积的符号由 什么来决定? 答案 由两个非零向量的夹角决定. 当0°≤θ<90°时,非零向量的数量积为正数. 当θ=90°时,非零向量的数量积为零. 当90°<θ≤180°时,非零向量的数量积为负数. 答案 梳理 向量的数量积的性质 e = |a|cos θ . (1)若e是单

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