当前位置:首页 >> 数学 >>

2012届高考数学第一轮专题复习测试卷第二十讲 三角函数的图象


第二十讲

三角函数的图象

一、选择题:(本大题共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分,将正确答案的代号填在题后的括号内.) π 5π 1.(2010· 天津)下图是函数 y=Asin(ωx+φ)(x∈R)在区间?-6, 6 ?上的图象,为了得到这个函数的图 ? ? 象,只要将 y=sinx(x∈R)的图象上所有的点( )

π 1 A.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变 3 2 π B.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 3 π 1 C.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变 6 2 π D.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 6 解析:观察图象可知,函数 y=Asin(ωx+φ)中 A=1, π 2π π =π,故 ω=2,ω×?-6?+φ=0,得 φ= , ? ? ω 3

π π 1 所以函数 y=sin?2x+3?,故只要把 y=sinx 的图象向左平移 个单位,再把各点的横坐标缩短到原来的 即 ? ? 3 2 可. 答案:A π π 2.(2010· 全国Ⅱ)为了得到函数 y=sin?2x-3?的图象,只需把函数 y=sin?2x+6?的图象( ? ? ? ? π A.向左平移 个长度单位 4 π B.向右平移 个长度单位 4 π C.向左平移 个长度单位 2 π D.向右平移 个长度单位 2 π x→x+φ π π π π π 解析:由 y=sin?2x+6? ― → y=sin?2(x+φ)+6?=sin?2x-3?,即 2x+2φ+ =2x- ,解得 φ=- , ? ? ― ? ? ? ? 6 3 4 )

π 即向右平移 个长度单位.故选 B. 4 答案:B π 3.(2010· 重庆)已知函数 y=sin(ωx+φ)?ω>0,|φ|<2?的部分图象如图所示,则( ? ? )

π A.ω=1,φ= 6 π C.ω=2,φ= 6

π B.ω=1,φ=- 6 π D.ω=2,φ=- 6

7π π π 2π π 2π π π 解析:依题意得 T= =4?12-3?=π,ω=2,sin?2×3+φ?=1.又|φ|< ,所以 +φ= ,φ=- ,选 ? ? ? ? ω 2 3 2 6 D. 答案:D 4.已知函数 y=2sin(ωx+φ)(ω>0)在区间[0,2π]上的图象如图所示,那么 ω=( )

A.1 1 C. 2

B.2 1 D. 3

2π 解析:由函数的图象可知该函数的周期为 π,所以 =π,解得 ω=2. ω 答案:B π π 5.已知函数 y=sin?x-12?cos?x-12?,则下列判断正确的是( ? ? ? ? π A.此函数的最小正周期为 2π,其图象的一个对称中心是?12,0? ? ? )

π B.此函数的最小正周期为 π,其图象的一个对称中心是?12,0? ? ? π C.此函数的最小正周期为 2π,其图象的一个对称中心是?6,0? ? ? π D.此函数的最小正周期为 π,其图象的一个对称中心是?6,0? ? ? π π π 1 解析:∵y=sin?x-12?· ?x-12?= sin?2x-6?, cos? ? ? ? 2 ? ? 2π π ∴T= =π,且当 x= 时,y=0. 2 12 答案:B π 6.如果函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x=- 对称,则实数 a 的值为( 8 A. 2 C.1 D.-1 π 分析:函数 f(x)在 x=- 时取得最值;或考虑有 8 π π f?-8+x?=f?-8-x?对一切 x∈R 恒成立. ? ? ? ? π π π 解析: 解法一: f(x)=sin2x+acos2x, 设 因为函数的图象关于直线 x=- 对称, 所以 f?-8+x?=f?-8-x? ? ? ? ? 8 对一切实数 x 都成立, π π 即 sin2?-8+x?+acos2?-8+x? ? ? ? ? π π =sin2?-8-x?+acos2?-8-x? ? ? ? ? π π 即 sin?-4+2x?+sin?4+2x? ? ? ? ? π π =a?cos?4+2x?-cos?-4+2x??, ? ? ? ? ?? π π ∴2sin2x· =-2asin2x· , cos sin 4 4 即(a+1)· sin2x=0 对一切实数 x 恒成立,而 sin2x 不能恒为 0, ∴a+1=0,即 a=-1,故选 D. π 解法二:∵f(x)=sin2x+acos2x 关于直线 x=- 对称. 8 π π ∴有 f?-8+x?=f?-8-x?对一切 x∈R 恒成立. ? ? ? ? B.- 2 )

π 特别,对于 x= 应该成立. 8 π π 将 x= 代入上式,得 f(0)=f?-4?, ? ? 8 π π ∴sin0+acos0=sin?-2?+acos?-2? ? ? ? ? ∴0+a=-1+a×0. ∴a=-1.故选 D. 解法三:y=sin2x+acos2x= 1+a2sin(2x+φ),其中角 φ 的终边经过点(1,a).其图象的对称轴方程 π 为 2x+φ=kπ+ (k∈Z), 2 kπ π φ 即 x= + - (k∈Z). 2 4 2 kπ π φ π 令 + - =- (k∈Z). 2 4 2 8 3π 得 φ=kπ+ (k∈Z). 4 π 但角 φ 的终边经过点(1,a),故 k 为奇数,角 φ 的终边与- 角的终边相同,∴a=-1. 2 π 解法四:y=sin2x+acos2x= 1+a2sin(2x+φ),其中角 φ 满足 tanφ=a.因为 f(x)的对称轴为 y=- , 8 π ∴当 x=- 时函数 y=f(x)有最大值或最小值, 8 π π 所以 1+a2=f?-8?或- 1+a2=f?-8?, ? ? ? ? π π 即 1+a2=sin?-4?+acos?-4?, ? ? ? ? π π 或- 1+a2=sin?-4?+acos?-4?. ? ? ? ? 解之得 a=-1.故选 D. 答案:D 评析:本题给出了四种不同的解法,充分利用函数图象的对称性的特征来解题.解法一是运用了方程 思想或恒等式思想求解.解法二是利用了数形结合的思想求解,抓住 f(m+x)=f(m-x)的图象关于直线 x =m 对称的性质,取特殊值来求出待定系数 a 的值.解法三利用函数 y=Asin(ωx+φ)的对称轴是方程 ωx π kπ+ -φ 2 π π +φ=kπ+ (k∈Z)的解 x= (k∈Z),然后将 x=- 代入求出相应的 φ 值,再求 a 的值.解法四利 2 ω 8

π π 用对称轴的特殊性质,在此处函数 f(x)取最大值或最小值.于是有 f?-8?=[f(x)]max 或 f?-8?=[f(x)]min.从而 ? ? ? ? 转化为解方程问题,体现了方程思想.由此可见,本题体现了丰富的数学思想方法,要从多种解法中悟出 其实质东西.

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分,把正确答案填在题后的横线上.) π 7.(2010· 福建)已知函数 f(x)=3sin?ωx-6?(ω>0)和 g(x)=2cos(2x+φ)+1 的图象的对称轴完全相同.若 ? ? π x∈?0,2?,则 f(x)的取值范围是________. ? ? 解析: ∵f(x)与 g(x)的图象的对称轴完全相同, ∴f(x)与 g(x)的最小正周期相等, ∵ω>0,∴ω=2,∴f(x) π π π π π π 5π 1 3 =3sin?2x-6?,∵0≤x≤ ,∴- ≤2x- ≤ ,∴- ≤sin?2x-6?≤1,∴- ≤3sin?2x-6?≤3,即 f(x) ? ? ? ? ? ? 2 6 6 6 2 2 3 的取值范围为?-2,3?. ? ? 3 答案:?-2,3? ? ? 1 8.设函数 y=cos πx 的图象位于 y 轴右侧所有的对称中心从左依次为 A1,A2,…,An,….则 A50 的坐 2 标是________. 解析:对称中心横坐标为 x=2k+1,k≥0 且 k∈N,令 k=49 即可得. 答案:(99,0) π 9.把函数 y=cos?x+3?的图象向左平移 m 个单位(m>0),所得图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值是 ? ? ________. π π π 解析:由 y=cos(x+ +m)的图象关于 y 轴对称,所以 +m=kπ,k∈Z,m=kπ- ,当 k=1 时,m 最 3 3 3 2 小为 π. 3 2 答案: π 3 10. 定义集合 A, 的积 A×B={(x, B y)|x∈A, y∈B}. 已知集合 M={x|0≤x≤2π}, N={y|cosx≤y≤1}, 则 M×N 所对应的图形的面积为________. 解析:如图所示阴影面积可分割补形为 ABCD 的面积即 BC×CD=π·2=2π.

答案:2π

三、解答题:(本大题共 3 小题,11、12 题 13 分,13 题 14 分,写出证明过程或推演步骤.) 11.若方程 3sinx+cosx=a 在[0,2π]上有两个不同的实数解 x1、x2,求 a 的取值范围,并求 x1+x2 的 值. 分析:设函数 y1= 3sinx+cosx,y2=a,在同一平面直角坐标系中作出这两个函数的图象,应用数形 结合解答即可. π 解:设 f(x)= 3sinx+cosx=2sin?x+6?,x∈[0,2π]. ? ? π 13π π 令 x+ =t,则 f(t)=2sint,且 t∈?6, 6 ?.在同一平面直角坐标系中作出 y=2sint 及 y=a 的图象,从 ? ? 6 图中可以看出当 1<a<2 和-2<a<1 时,两图象有两个交点,即方程 3sinx+cosx=a 在[0,2π]上有两个 不同的实数解. 当 1<a<2 时,t1+t2=π, π π 即 x1+ +x2+ =π, 6 6 2π ∴x1+x2= ; 3 当-2<a<1 时,t1+t2=3π, π π 即 x1+ +x2+ =3π, 6 6 8π ∴x1+x2= . 3 综上可得,a 的取值范围是(1,2)∪(-2,1). 2π 当 a∈(1,2)时,x1+x2= ; 3 8π 当 a∈(-2,1)时,x1+x2= . 3

评析:本题从方程的角度考查了三角函数的图象和对称性,运用的主要思想方法有:函数与方程的思 想、 数形结合的思想及换元法. 解答本题常见的错误是在换元时忽略新变量 t 的取值范围, 仍把 t 当成在[0,2π] 中处理,从而出错. π 1 12.已知函数 f(x)=Asin(x+φ)(A>0,0<φ<π),x∈R 的最大值是 1,其图象经过点 M?3,2?. ? ? (1)求 f(x)的解析式; π 3 12 (2)已知 α,β∈?0,2?,且 f(α)= ,f(β)= ,求 f(α-β)的值. ? ? 5 13 解:(1)∵f(x)=Asin(x+φ)(A>0,0<φ<π)的最大值是 1,∴A=1. π 1 ∵f(x)的图象经过点 M?3,2?, ? ? π 1 ∴sin?3+φ?= . ? ? 2 π ∵0<φ<π?φ= , 2 π ∴f(x)=sin?x+2?=cosx. ? ? π 3 12 (2)∵f(x)=cosx,∴f(α)=cosα= ,f(β)=cosβ= ,已知 α,β∈?0,2?,所以 ? ? 5 13 sinα= 3 4 1-?5?2= ,sinβ= ? ? 5 12 5 1-?13?2= . ? ? 13

故 f(α-β)=cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 3 12 4 5 56 = × + × = . 5 13 5 13 65 π π 1 1 1 13.(2010· 山东)已知函数 f(x)= sin2xsinφ+cos2xcosφ- sin?2+φ?(0<φ<π),其图象过点?6,2?. ? ? ? 2 2 ? (1)求 φ 的值; 1 (2)将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,求函 2 π 数 g(x)在?0,4?上的最大值和最小值. ? ? π 1 1 解:(1)因为 f(x)= sin2xsinφ+cos2xcosφ- sin?2+φ?(0<φ<π), ? 2 2 ? 1+cos2x 1 1 所以 f(x)= sin2xsinφ+ cosφ- cosφ 2 2 2 1 1 = sin2xsinφ+ cos2xcosφ 2 2

1 = (sin2xsinφ+cos2xcosφ) 2 1 = cos(2x-φ), 2 π 1 又函数图象过点?6,2?, ? ? π 1 1 所以 = cos?2×6-φ?, ? 2 2 ? π 即 cos?3-φ?=1, ? ? 又 0<φ<π, π 所以 φ= . 3 π 1 1 (2)由(1)知 f(x)= cos?2x-3?,将函数 y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变,得 ? 2 ? 2 到函数 y=g(x)的图象,可知 π 1 g(x)=f(2x)= cos?4x-3?, ? 2 ? π 因为 x∈?0,4?, ? ? 所以 4x∈[0,π], π 2π π 因此 4x- ∈?-3, 3 ?, ? 3 ? π 1 故- ≤cos?4x-3?≤1. ? ? 2 1 1 ? π? 所以 y=g(x)在 0,4 上的最大值和最小值分别为2和-4. ? ?


赞助商链接
相关文章:
...专题二三角函数与平面向量第1讲三角函数的图象与性...
2018年高考数学轮复习第二部分专题二三角函数与平面向量第1讲三角函数的图象与性质课时规范练理 - 第1讲 三角函数的图象与性质 一、选择题 1 ? π? ? π?...
2012年高考数学第二轮复习热点专题测试卷:三角函数(含...
2012年高考数学第轮复习热点专题测试卷:三角函数(含祥解) 2012年高考数学第二轮...? < x < ? 的图象是( 2? ? 2 y y π 6 5π 12 y ? π 2 O ...
...解三角形课时达标检测(二十)三角函数的图象与性质
(江苏专版)2019版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形课时达标检测(二十)三角函数的图象与性质_高考_高中教育_教育专区。课时达标检测(二十) 三角函数的...
...三角函数解三角形课时达标检测二十三角函数的图象与...
江苏专版版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形课时达标检测二十三角函数的图象与性质(含答案)_高考_高中教育_教育专区。课时达标检测(二十) 三角函数的图象与...
...部分专题二三角函数平面向量第一讲三角函数的图象与...
18年高考数学轮复习第一部分专题二三角函数平面向量第一讲三角函数的图象与性质教案180126147 - 第一讲 三角函数的图象与性质 [考情分析] 三角函数的考查重点是...
2013届高考数学第一轮复习精品学案第23讲:三角函数的图...
2013 普通高考数学一轮复习精品学案第 23 讲 三角函数的图象与性质一.课标要求 1.能画出 y=sin x, y=cos x, y=tan x 的图像,了解三角函数的周期性...
专题4.4 三角函数的图象及三角函数模型的简单应用(讲)-...
专题4.4 三角函数的图象及三角函数模型的简单应用(讲)-2018年高考数学(理)一轮复习讲练测(解析版) - 学科网 2018 年高考数学讲练测【新课标版理】 【讲】 ...
(江苏版)2018年高考数学一轮复习(讲+练+测):第04章 三...
(江苏版)2018年高考数学一轮复习(讲+练+测):第04章 三角函数与解三角形测试题_数学_高中教育_教育专区。第 04 章 三角函数与解三角形 班级___ 一、填空 1...
高考数学专题复习:三角函数与解三角形测试题及详解
高考数学专题复习:三角函数与解三角形测试题及详解_高考_高中教育_教育专区。高考数学专题复习:三角函数与解三角形第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题...
...大二轮总复习练习:专题三第1讲三角函数的图象与性质...
【步步高】2017版高考数学(文,江苏专用)大二轮总复习练习:专题第1讲三角函数的图象与性质.doc - 第1讲 三角函数的图象与性质 π 2x- ?的图象, 1. (2016...
更多相关标签: