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2013.1石景山区高二第一学期期末数学理


石景山区 2012—2013 学年第一学期期末考试试卷
高二数学(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分. 1.抛物线 y 2 ? 8x 的焦点坐标为( A. (2 , 0) B. ( ?2 , 0) ) C. (0 , 2) D. (0 , ? 2) ) D.不存在 ) D. x ? 2 y ? 3 ? 0

2. 已知直线经过点 A(0 , 4) 和点 B (1 , 2) ,则直线 AB 的斜率为( A. 2 B. ? 2 C. ?

1 2

3.过点 P(?1 , 2) 与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 垂直的直线的方程为( A. 2 x ? y ? 4 ? 0 B. x ? 2 y ? 5 ? 0 C. x ? 2 y ? 3 ? 0 )

4.已知命题 q : ?x ? R , x 2 ? 1 ? 0 ,则 ? q 为( A. ?x ? R , x2 ? 1 ? 0 C. ?x ? R , x ?1 ? 0
2

B. ?x ? R , x2 ? 1 ? 0 D. ?x ? R , x ?1 ? 0
2

1 1
主视图 )

1

1
左视图

5. 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是( A.

1 1

2

1 2

B. 3 ? 2

C. 2 ? 2

D. 6

俯视图

6.棱长为 2 的正方体的外接球的体积为( A. 8 B. 8?

) C. 4 3? D.

8 2? 3

7.已知长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? 2 , AD ? AA 1 与平面 BCC1B 1 ? 1 ,则直线 BD 1 所成角的正弦 值为( A. ) B.

D1
2 2
1 2

C1 B1

3 3 6 3

A1
D

C.

D.

C
B

A

? 表示两个不同的平面, m 为平面 ? 内的一条直线,则“ ? ? ? ”是“ m ? ? ”的( 8.已知 ? ,
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件



9.过点 (1 , 1) 的直线 l 与圆 x2 ? y 2 ? 4 交于 A , B 两点,若 |AB|=2 2 ,则直线 l 的方程为( A. x +y ? 2=0 B. x ? 2 y +1=0 C. 2 x ? y ? 1=0 D. x ? y ? 1=0



10.设双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0) 的渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0 ,则此双曲线的离心率为( a2 9
B.



A.

13 2

5 2

C.

3 2

D.

5 2

11. 已知抛物线 C : y 2 =4 x 的焦点为 F ,直线 y =2 x ? 4 与 C 交于 A , B 两点,则 cos ?AFB = ( A.



4 5

B.

3 5

C. ?

3 5

D. ?

4 5

12.若椭圆 C1 :

x2 a1
2

?

y2 b1
2

? 1 ( a1 ? b1 ? 0 )和椭圆 C 2 :

2 2

x2 a2
2

?

y2 b2
2

? 1 ( a2 ? b2 ? 0 )

的焦点相同,且 a1 ? a2 ,则下面结论正确的是( ① 椭圆 C1 和椭圆 C 2 一定没有公共点 A.②③④ B. ①③④

② a1 ? a2 ? b1 ? b2 C.①②④

2

2



a1 b1 ? a2 b2

④ a1 ? a2 ? b1 ? b2

D. ①②③

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 3 分,共 12 分.把答案填在题中横线上.

b ? R ,如果 a ? b ,则 a 3 ? b3 ”的逆命题是___________________________. 13.命题“ ?a ,
14. 椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为 F1 , 点 P 在椭圆上, 若 | PF1 |? 4 , 则 | PF2 |? _____; F2 , ?F1PF2 的小大为______. 9 2
2 2

15.圆 x ? y ? 2x ? 2 y ? 1 ? 0 上动点 Q 到直线 3x ? 4 y ? 8 ? 0 距离的最小值为_______.

E F AB 上的点. 16. 如图, 正方体 ABCD - A 已知下列判断: ① AC ^ 平面 B1EF ; 1, 1B 1C1D 1 中, , 分别为棱 DD 1
② D B1EF 在侧面 BCC1B1 上的正投影是面积为定值的三角形; ③在平面 A1B1C1D1 内总存在与平面 B1EF 平行的直线; ④平面 B1EF 与平面 ABCD 所成的二面角(锐角)的大小与 点 E 的位置有关,与点 F 的位置无关. 其中正确结论的序号为_____________(写出所有正确结论的序号).

D1 A1
E

C1 B1

D A F B

C

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 40 分.解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 6 分)已知直线 l 与直线 3x ? 4 y ? 7 ? 0 的倾斜角相等,并且与两坐标轴围成的三角形的面积 为 24 ,求直线 l 的方程.

18.(本小题满分 6 分)已知直线 l1 : 2x ? y ? 0 ,直线 l2 : x ? y ? 2 ? 0 和直线 l3 : 3x ? 4 y ? 5 ? 0 . (Ⅰ)求直线 l1 和直线 l2 交点 C 的坐标; (Ⅱ)求以 C 点为圆心,且与直线 l3 相切的圆 C 的标准方程.

19. (本小题满分 6 分)如图, 四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是正方形,O 是正方形 ABCD 的中心,PO ? 底面 ABCD , E 是 PC 的中点. 求证: (Ⅰ) PA ∥平面 BDE ; (Ⅱ)平面 PAC ? 平面 BDE .

P

E

D

C
O
B

A

20.(本小题满分 8 分)如图,在底面是正方形的四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? AB ? 1 , PB ? PD ? 2 ,点 E 在 PD 上,且 PE : ED ? 2 :1 .(Ⅰ)求证: PA ? 平面 ABCD ; (Ⅱ)求二面角 D ? AC ? E 的余弦值; (Ⅲ)在棱 PC 上是否存在一点 F ,使得 BF // 平面 ACE .

P

E

A

D

B

C

21.(本小题满分 7 分)已知平面内一点 P 与两个定点 F 0) 和 F2 ( 3 , 0) 的距离的差的绝对值为 2. 1 (? 3 ,

? 2) 的直线 l 与曲线 C 交于 A , B 两点,且 OA ? OB ( O 为坐标 (Ⅰ)求点 P 的轨迹方程 C ; (Ⅱ)设过 (0 ,
原点) ,求直线 l 的方程.

22.(本小题满分 7 分) 已知椭圆的两个焦点 F 0) , F2 ( 3 , 0) ,过 F1 且与坐标轴不平行的直线 m 与 1 (? 3 ,

0) 的直线 l 与椭 椭圆相交于 M , N 两点,如果 ?MNF2 的周长等于 8 . (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若过点 (1 ,

0) ,使 PE ?QE 恒为定值?若存在,求出 E 的坐标 圆交于不同两点 P ,Q ,试问在 x 轴上是否存在定点 E (m ,
及定值;若不存在,请说明理由.

石景山区 2012—2013 学年第一学期期末考试试卷
高二数学(理科) 参考答案与评分标准
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分. 题号 答案 题号 答案 1 2 3 4 5 6

A
7

B
8

A
9

C
10

B
11

C
12

C

B

A

A

D

C

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 3 分,共 12 分. (一题两空的题目第一问 1 分,第二问 2 分.第 16 题答对一个给 1 分,但有多答或答错不给分.) 题号 答案 13 14 15 16 ②③

?a , b ? R ,如果 a 3 ? b3 ,则 a ? b

2, 120?

2

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 40 分.解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 6 分) 解:直线 3x ? 4 y ? 7 ? 0 的斜率为 ?

3 . 4

因为直线 l 与直线 3x ? 4 y ? 7 ? 0 的倾斜角相等, 所以 kl = ?

3 . 4 3 x +b , 4

?????1 分

设直线 l 的方程为 y = ? 令 y =0 ,则 x =

4 b. 3

?????2 分

因为直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 24 ,

1 4 |b|?| b|=24 , 2 3 所以 b = ? 6 .
所以 S = 所以直线 l 的方程为 y = ?

?????4 分

3 x?6, 4
?????6 分

即 3x+4 y +24=0 或 3x+4 y ? 24=0 . 18.(本小题满分 6 分) 解: (Ⅰ)由 ?

? 2 x ? y ? 0 , ? x ? ?2 , 得? ?x ? y ? 2 ? 0 , ? y ? 4 ,
?????2 分

所以直线 l1 和直线 l2 交点 C 的坐标为 ? ?2 , 4? . (Ⅱ)因为圆 C 与直线 l3 相切,

所以圆的半径 r ?

? 6 ? 16 ? 5 3 ?4
2 2

?
2

15 ? 3, 5
2

?????4 分

所以圆 C 的标准方程为 ?x ? 2? ? ? y ? 4? ? 9 . 19.(本小题满分 6 分) 证明: (Ⅰ)连结 OE . 因为 O 是 AC 的中点, E 是 PC 的中点, 所以 OE ∥ AP , 又因为 OE ? 平面 BDE , PA ? 平面 BDE , 所以 PA ∥平面 BDE . (Ⅱ)因为 PO ? 底面 ABCD , 所以 PO ? BD , 又因为 AC ? BD ,且 AC ? PO = O , 所以 BD ? 平面 PAC . 而 BD ? 平面 BDE , 所以平面 PAC ? 平面 BDE . 20.(本小题满分 8 分) 解: (Ⅰ)正方形 ABCD 边长为 1, PA ? 1 , PB ? PD ? 2 , 所以 ?PAB ? ?PAD ? 90 ,即 PA ? AB , PA ? AD , 因为 AB

?????6 分

?????2 分

?????3 分

?????4 分

?????5 分

?????6 分

AD ? A ,
??????2 分

所以 PA ? 平面 ABCD .

(Ⅱ)如图,以 A 为坐标原点,直线 AB , AD , AP 分别为 x 轴, y 轴, z 轴,建立空间直角坐标系,则

2 1 AC ? (1,, 1 0) , AE ? (0 , , ) . 3 3
由(Ⅰ)知 AP 为平面 ACD 的法向量,

z
P

AP ? (0 ,, 0 1) ,
b c) , 设平面 ACE 的法向量为 n ? (a ,,
由 n ? AC , n ? AE ,

F

E D

?a ? b ? 0 , ? 得 ?2 1 b ? c ? 0, ? 3 ?3

A B

y

C

x

令 c ? 6 ,则 b ? ?3 , a ? 3 , 所以 n ? (3 , ? 3, 6) , 所以 cos ? AP , n ?? ??????4 分

n ? AP n AP

?

6 , 3
??????5 分

即所求二面角的余弦值为

6 . 3

(Ⅲ)设 PF ? ? PC (? ?[0 , 1]) ,则 PF ? ? (1 ,, 1 ?1) ? (? , ?, ? ?) ,

BF ? BP ? PF ? (? ?1, ?, 1 ? ?) ,

?, 1 ? ? ) ? (3 , ? 3, 6) ? 0 , 若 BF // 平面 ACE ,则 BF ? n ,即 BF ? n ? 0 , (? ? 1,
解得 ? ?

1 , 2

??????7 分

所以存在满足题意的点, 当 F 是棱 PC 的中点时, BF // 平面 ACE . 21.(本小题满分 7 分) 解: (Ⅰ)根据双曲线的定义,可知动点 P 的轨迹为双曲线, 其中 a ? 1 , c ? 3 ,则 b ? c2 ? a2 ? 2 . 所以动点 P 的轨迹方程 C : x ?
2

??????8 分

y2 =1 . 2

??????2 分

(Ⅱ)当直线 l 的斜率不存在时,不满足题意. 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,

? 2 y2 ? 1, ?x ? 2 2 由方程组 ? 得 ? 2 ? k ? x ? 4kx ? 6 ? 0 . 2 ? y ? kx ? 2 , ?
因为直线 l 与曲线 C 交于 A , B 两点,
2 ? ?2 ? k ? 0 , 所以 ? 2 2 ? ?? =(4k ) ? 4 ? (2 ? k ) ? ( ? 6)>0 ,

??????3 分

即 ? 6<k < 6 且 k ? ? 2 . 由根与系数关系得 x1 ? x2 ?

(?)

??????4 分

?4k ?6 , x1 ? x2 ? , 2 2?k 2 ? k2

因为 y1 ? kx1 ? 2 , y2 ? kx2 ? 2 ,

所以 y1 y2 ? k 2 x1 ? x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 . 因为 OA ? OB ,所以 OA ? OB ? 0 ,即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 , 所以 (1 ? k 2 ) x1 x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 , 所以 1 ? k

??????5 分 ??????6 分

?

2

6 ?? 2? ?k

2

? 2k ?

?4k ?4?0, 2 ? k2

2 即 k ? 1 ,解得 k ? ?1 ,由 (?) 式知 k ? ?1 符合题意.

所以直线 l 的方程是 y ? x ? 2 或 y ? ? x ? 2 . 22.(本小题满分 7 分) 解: (Ⅰ)由题意知 c= 3 , 4 a =8 , 所以 a =2 , b =1 , 所以椭圆的方程为

??????7 分

x2 2 +y =1 . 4

?????2 分

(Ⅱ)当直线 l 的斜率存在时,设其斜率为 k ,则 l 的方程为 y =k (x ? 1) , 因为点 (1, 0) 在椭圆内,所以直线 l 与椭圆有两个交点, k ? R .

? x2 2 ? +y =1 , 2 2 2 2 由? 4 消去 y 得 (4k +1)x ? 8k x+4k ? 4=0 , ? y =k (x ? 1) , ?
设 P (x1 , y1 ) , Q (x2 , y2 ) ,

?????3 分

8k 2 4k 2 ? 4 则由根与系数关系得 x1 +x2 = 2 , x1 x2 = , 4k +1 4k 2 +1
所以 y1 y2 =k 2 (x1 ?1)(x2 ?1) , 则 PE = (m ? x1 , ? y1 ) , QE = (m ? x2 , ? y2 ) , 所以 PE ? QE = (m ? x1 )(m ? x2 )+y1 y2 = m ? m(x1 +x2 )+x1 x2 +y1 y2
2

?????4 分

= m ? m(x1 +x2 )+x1 x2 +k (x1 ?1)(x2 ?1)
2 2

=m ?
2

8k 2 m 4k 2 ? 4 2 4k 2 ? 4 8k 2 + +k ( ? +1) 4k 2 +1 4k 2 +1 4k 2 +1 4k 2 +1
?????5 分



(4m2 ? 8m+1)k 2 +m2 ? 4 4k 2 +1
17 4m 2 ? 8m+1 4 = ,解得 m = , 2 8 m ?4 1

要使上式为定值须

所以 PE ? QE 为定值

33 . 64

?????6 分

当直线 l 的斜率不存在时 P (1,

3 3 ) , Q (1, ? ), 2 2

由E (

17 9 3 9 3 , 0) 可得 PE = ( , ? ) , QE = ( , ) , 8 8 2 8 2 81 3 33 ? = , 64 4 64
?????7 分

所以 PE ? QE = 综上所述当 E (

17 33 , 0) 时, PE ? QE 为定值 . 8 64

(如有不同解法,请参考评分标准酌情给分)


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