黑龙江省大庆外国语学校高一数学必修二第一章 《1.3 空间几何体的表面积 与体积》练习 1
1.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的全面 积与侧面积的比是( ).
1 ? 2? (A) 2?
1 ? 4? (B) 4?
(C)
1 ? 2?
?
1 ? 4? (D) 2?
2.在棱长为 1 的正方体上,分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去与 8 个顶点 相关的 8 个三棱锥后 ,剩下的几何体的体积是( ). (A)
2 3
(B)
3 4
(C)
4 5
(D)
5 6
3.一个直棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)的底面是菱形,对角线长分别是 6cm 和 8cm,高是 5cm, 则这个直棱柱的全面积是 。 4.已知两个母线长相等的圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆,且它们的侧面积之比为 1:2,则它 们的高之比为 。 5 .已知三 棱锥的三 条侧棱两 两互相垂 直,且长度分 别 为 1cm , 2cm , 3cm ,则此棱 锥的体 积 _______________。 6 .矩形两邻边的长为 a 、 b ,当它分别绕边 a 、 b 旋转一周时 , 所形成的几何体的体积之比 为 。 1 7.球面上有三点,其中任意两点间的球面距离都等于大圆周长的 ,经过这三点的小圆周 长为 4π , 6 则这个球的表面积为 。
B组 1.四面体 ABCD 四个面的重心分别为 E、F、G、H,则四面体 EFGH 的表面积与四面体 ABCD 的表面
积的比值是 。 2.半径为 R 的半球,一正方体的四个顶点在半球的底面上,另四个顶点在半球的球面上,则该正方 体的表面积是 。 3.如图,一个棱锥 S-BCD 的侧面积是 Q,在高 SO 上取一点 A,使 SA= 过点 A 作平行于底面的截面得一棱台,求这个棱台 的侧面积.
1 SO, 3
4.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,边长 AB=a,且 PD=a,
PA=PC= 2 a,若在这个四棱锥内放一个球,求球的最大半径.
1
参考答案 A 组 1.答案:A 解:设展 开图的正方形边长为 a,圆柱的底面半径为 r,则 2π r=a, r ?
a a2 ,底面圆的面积是 , 2? 4?
a2 ? a2 1 ? 2? 于是全面积与侧面积的比是 2? 2 ,选 A. ? a 2?
2.答案:D 解:正方体的体积为 1,过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体截得的三棱锥的体积是
1 1 1 1 1 1 1 5 ?( ? ? )? ? ,于是 8 个三棱锥的体积是 ,剩余部分的体积是 ,选 D. 3 2 2 2 2 48 6 6
3.答案:148 cm 解:底面菱形中,对角线长分别是 6cm 和 8cm,所以底面边长是 5cm, 2 2 侧面面积是 4×5×5=100cm ,两个底面面积是 48cm , 2 所以棱柱的全面积是 148cm . 4.答案:2 2 : 5 解:设圆柱的母线长为 l,因为两个圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆,且它们的侧面积之比为 1: 2 ,所以它们的展开图即扇形的圆心角分别是
2
2? 4? 和 , 3 3 2? r l 2l 由圆锥侧面展开图扇形的圆心角的计算公式 ? ? ,得 r1 ? , r2 ? , l 3 3 l l 2 ? ( )2 3 ?2 2. 所以它们的高的比是 2l 5 l 2 ? ( )2 3
3
5.答案:1cm 解:转换一个角度来认识这个三棱锥,即把它的两条侧棱(如长度为 1cm,2cm 的两条) 确定的侧面看 作底面,另一条侧棱作为高,则此三棱锥的底面面积是 1 ,高为 3, 则它的体积是 6.答案:
1 3 ×1×3=1c m . 3
b a
2 2
解: 矩形绕 a 边旋转, 所得几何体的体积是 V1=π b a, 矩形绕 b 边旋转, 所得几何体的体积是 V2=π a b, 所以两个几何体的体积的比是
V1 ? b2 a b ? ? . V2 ? a 2b a
7.答案:48π 解:小圆周长为 4π ,所以小圆的半径为 2,又这三点 A、B、C 之间距离相等, 所以每两点间的距离是 AB=BC=AC=2 3 , 又 A、B 之间的大圆劣弧长等于大圆周长的
1 ,所以 A、B 在大圆中的圆心角是 60°, 6
2
所以大圆的半径 R=2 3 ,于是球的表面积是 4π R =48π .
A
B 组 1.答案:1:9
H B F M E C G N D 2
解:如图,不难看出四面体 EFGH 与四面体 ABCD 是相似的。所以关键是求出它们的相似比, 连接 AF、AG 并延长与 BC、CD 相交于 M、N, 由于 F、G 分别是三角形的重心,所以 M、N 分别是 BC、CD 的中点,且 AF:AM=AG:AN=2:3, 所以 FG:MN=2:3,又 MN:BD=1:2, 所以 FG:BD=1:3,即两个四面体的相似 比是 1: 3, 所以两个四面体的表面积的比是 1:9. 2.答案: 4 R 解:如图,过正方体的对角面 AC1 作正方体和半球的截面。 则 OC1=R,CC1=a,OC= 所以 a ? (
2
2
A1
C1
2 a, 2
A O C
2 2 2 a) ? R 2 ,得 a2= R2, 3 2
2 2
所以正方体的表面积是 6a =4R . 3.解:棱锥 S-BCD 的截面为 B’C’D’,过 S 作 SF⊥B’C’,垂足为 F,延长 SF 交 BC 于点 E, 连结 AF 和 OE, ∵ 平面 BCD//平面 B’C’D’,平面 B’C’D’∩平面 SOE=AF,平面 BCD∩平面 SOE=OE, ∴ AF//OE ,于是
AF SA SF 1 1 ? ? ? ,即 SF ? SE,同理可得 OE SO SE 3 3
1 B ' C ' ? BC , 3 1 1 1 S ?SBC , S ?SB ' D ' ? S ?SBD , S ?SC ' D ' ? S ?SCD , 9 9 9 1 8 ∴ S 棱锥 S-B’C’D’= Q,∴ S 棱台侧= Q. 9 9
∴ S ?SB 'C ' ? 4.解:设放入的球的半径为 R,球心为 S,当且仅当球与四棱锥的各个面都相切时,球的半径最大, 连结 SA、SB、SC、SD、SP,则把此四棱锥分割成四个三棱锥和一个四棱锥,这些小棱锥的高均 为 R,底面为原四棱锥的侧面或底面.由体积关系,得
R ( S ?PAB ? S ?PBC ? S ?PCD ? S ?PAD ? S ABCD ) 3 R 2 2 2 2 1 2 1 2 ? ( a ? a ? a ? a ? a2 ) 3 2 2 2 2 R ? (2 ? 2)a 2 3 R 1 1 1 3 (2 ? 2)a 2 ? a 3 , 又 VP-ABCD= S 正方形 ABCD·PD= a ,∴ 3 3 3 3 2? 2 解得 R= a, 2 2? 2 a. 故所放入的球的最大半径为 2 VP ? ABCD ?
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