高中数学 第一章《1.3空间几何体的表面积与体积》练习1 新人教A版必修2

黑龙江省大庆外国语学校高一数学必修二第一章 《1.3 空间几何体的表面积 与体积》练习 1
1．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面 积与侧面积的比是（ ）.

1 ? 2? （A） 2?

1 ? 4? （B） 4?

（C）

1 ? 2?

?

1 ? 4? （D） 2?

2．在棱长为 1 的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去与 8 个顶点 相关的 8 个三棱锥后 ，剩下的几何体的体积是（ ）. （A）

2 3

（B）

3 4

（C）

4 5

（D）

5 6

3．一个直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）的底面是菱形，对角线长分别是 6cm 和 8cm，高是 5cm， 则这个直棱柱的全面积是 。 4．已知两个母线长相等的圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为 1：2，则它 们的高之比为 。 5 ．已知三 棱锥的三 条侧棱两 两互相垂 直，且长度分 别 为 1cm ， 2cm ， 3cm ，则此棱 锥的体 积 _______________。 6 ．矩形两邻边的长为 a 、 b ，当它分别绕边 a 、 b 旋转一周时 , 所形成的几何体的体积之比 为 。 1 7．球面上有三点，其中任意两点间的球面距离都等于大圆周长的 ，经过这三点的小圆周 长为 4π ， 6 则这个球的表面积为 。

B组 1．四面体 ABCD 四个面的重心分别为 E、F、G、H，则四面体 EFGH 的表面积与四面体 ABCD 的表面
积的比值是 。 2．半径为 R 的半球，一正方体的四个顶点在半球的底面上，另四个顶点在半球的球面上，则该正方 体的表面积是 。 3．如图，一个棱锥 S－BCD 的侧面积是 Q，在高 SO 上取一点 A，使 SA= 过点 A 作平行于底面的截面得一棱台，求这个棱台 的侧面积.

1 SO， 3

4．如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，边长 AB=a，且 PD=a，

PA=PC= 2 a，若在这个四棱锥内放一个球，求球的最大半径.

1

参考答案 A 组 1．答案：A 解：设展 开图的正方形边长为 a，圆柱的底面半径为 r，则 2π r=a， r ?

a a2 ，底面圆的面积是 ， 2? 4?

a2 ? a2 1 ? 2? 于是全面积与侧面积的比是 2? 2 ，选 A. ? a 2?
2．答案：D 解：正方体的体积为 1，过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体截得的三棱锥的体积是

1 1 1 1 1 1 1 5 ?( ? ? )? ? ，于是 8 个三棱锥的体积是 ，剩余部分的体积是 ，选 D. 3 2 2 2 2 48 6 6
3．答案：148 cm 解：底面菱形中，对角线长分别是 6cm 和 8cm，所以底面边长是 5cm， 2 2 侧面面积是 4×5×5=100cm ，两个底面面积是 48cm ， 2 所以棱柱的全面积是 148cm . 4．答案：2 2 ： 5 解：设圆柱的母线长为 l，因为两个圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为 1： 2 ，所以它们的展开图即扇形的圆心角分别是
2

2? 4? 和 ， 3 3 2? r l 2l 由圆锥侧面展开图扇形的圆心角的计算公式 ? ? ，得 r1 ? ， r2 ? ， l 3 3 l l 2 ? ( )2 3 ?2 2. 所以它们的高的比是 2l 5 l 2 ? ( )2 3
3

5．答案：1cm 解：转换一个角度来认识这个三棱锥，即把它的两条侧棱(如长度为 1cm，2cm 的两条) 确定的侧面看 作底面，另一条侧棱作为高，则此三棱锥的底面面积是 1 ，高为 3， 则它的体积是 6．答案：

1 3 ×1×3=1c m . 3

b a
2 2

解： 矩形绕 a 边旋转， 所得几何体的体积是 V1=π b a， 矩形绕 b 边旋转， 所得几何体的体积是 V2=π a b， 所以两个几何体的体积的比是

V1 ? b2 a b ? ? . V2 ? a 2b a

7．答案：48π 解：小圆周长为 4π ，所以小圆的半径为 2，又这三点 A、B、C 之间距离相等， 所以每两点间的距离是 AB=BC=AC=2 3 ， 又 A、B 之间的大圆劣弧长等于大圆周长的

1 ，所以 A、B 在大圆中的圆心角是 60°， 6
2

所以大圆的半径 R=2 3 ，于是球的表面积是 4π R =48π .

A

B 组 1．答案：1：9
H B F M E C G N D 2

解：如图，不难看出四面体 EFGH 与四面体 ABCD 是相似的。所以关键是求出它们的相似比， 连接 AF、AG 并延长与 BC、CD 相交于 M、N， 由于 F、G 分别是三角形的重心，所以 M、N 分别是 BC、CD 的中点，且 AF：AM=AG：AN=2：3， 所以 FG：MN=2：3，又 MN：BD=1：2， 所以 FG：BD=1：3，即两个四面体的相似 比是 1： 3， 所以两个四面体的表面积的比是 1：9. 2．答案： 4 R 解：如图，过正方体的对角面 AC1 作正方体和半球的截面。 则 OC1=R，CC1=a，OC= 所以 a ? (
2
2

A1

C1

2 a， 2
A O C

2 2 2 a) ? R 2 ，得 a2= R2， 3 2
2 2

所以正方体的表面积是 6a =4R . 3．解：棱锥 S－BCD 的截面为 B’C’D’，过 S 作 SF⊥B’C’，垂足为 F，延长 SF 交 BC 于点 E， 连结 AF 和 OE， ∵ 平面 BCD//平面 B’C’D’，平面 B’C’D’∩平面 SOE=AF，平面 BCD∩平面 SOE=OE， ∴ AF//OE ，于是

AF SA SF 1 1 ? ? ? ，即 SF ? SE，同理可得 OE SO SE 3 3

1 B ' C ' ? BC ， 3 1 1 1 S ?SBC ， S ?SB ' D ' ? S ?SBD ， S ?SC ' D ' ? S ?SCD ， 9 9 9 1 8 ∴ S 棱锥 S－B’C’D’= Q，∴ S 棱台侧= Q. 9 9
∴ S ?SB 'C ' ? 4．解：设放入的球的半径为 R，球心为 S，当且仅当球与四棱锥的各个面都相切时，球的半径最大， 连结 SA、SB、SC、SD、SP，则把此四棱锥分割成四个三棱锥和一个四棱锥，这些小棱锥的高均 为 R，底面为原四棱锥的侧面或底面.由体积关系，得

R ( S ?PAB ? S ?PBC ? S ?PCD ? S ?PAD ? S ABCD ) 3 R 2 2 2 2 1 2 1 2 ? ( a ? a ? a ? a ? a2 ) 3 2 2 2 2 R ? (2 ? 2)a 2 3 R 1 1 1 3 (2 ? 2)a 2 ? a 3 ， 又 VP－ABCD= S 正方形 ABCD·PD= a ，∴ 3 3 3 3 2? 2 解得 R= a， 2 2? 2 a. 故所放入的球的最大半径为 2 VP ? ABCD ?

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