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高中数学课件:第一章 1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积_图文

读教材·填要点

第 一 章 立 体 几 何 初 步

1.1.6 1.1

课前预习·巧设计

小问题·大思维

棱柱、
棱锥、 棱台 和球 的表
名师课堂·一点通

考点一 考点二

空 间 几 何 体

考点三
考点四 解题高手
NO.1课堂强化

面积

创新演练·大冲关

No.2课下检测

[读教材·填要点]

几何体 直棱柱 正棱锥
正棱台 球

侧面积公式
h S直棱柱侧= c·
1 S正棱锥侧= 2c ·h′

表面积(全面积) 棱柱、棱锥、
棱台的表面积 = 侧面积 + 底面积 S球= 4πR2

1 S正棱台侧= 2(c+c′) ·h′

其中c′,c分别表示上、下底面周长,h表示高,h′表示

斜高,R表示球的半径.

2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
几何体 圆柱 侧面展开图的形状 矩形 扇形 扇环 侧面积公式 S圆柱侧= 2πrl

圆锥
圆台

S圆锥侧= πrl
S圆台侧= π(r1+r2)l

其中r为底面半径,l为侧面母线长,r1,r2分别为圆台 的上、下底面半径.

[小问题·大思维] 1.几何体的表面积与全面积是否相同?

提示:相同.表面积与全面积指的都是几何体暴露在
外面的面积. 2.直三棱柱的侧面展开后是什么图形? 提示:直三棱柱的侧面展开后,可以形成一个矩形. 3.从正棱柱底面变化的角度来看,正棱柱、正棱锥、正

棱台侧面积之间有什么关系?
提示:

[研一题]
[例1] 一个直棱柱的底面是菱形,直棱柱的对角线
如图,BD1=9 cm,A1C=15 cm,AA1=

长是9 cm和15 cm,高是5 cm,求直棱柱的全面积.
[自主解答] BB1=5 cm,在 Rt△BD1D 中,BD2=92-52=56, ∴BD=2 14 (cm). 在 Rt△AA1C 中, AC2=152-52=200, ∴AC=10 2 (cm).

又底面是菱形, 所以 AB= ?5 2?2+? 14?2 =8 (cm). 棱柱的侧面积 S1=4×8×5=160 cm2, 上、下底面积的和 S2=2 14×10 2=40 7 cm2, 故棱柱的全面积 S=S1+S2=(160+40 7) (cm2).

[悟一法]
(1)直棱柱的侧面与对角面都是矩形,菱形的对角线 互相垂直,且菱形的面积等于对角线长度的积的一半. (2)涉及棱柱表面积的问题多以直棱柱为主,其中又 以正方体、长方体为多,建立棱长、对角线与面积之间的

关系是关键.

[通一类] 1.如图所示,有一滚筒是正六棱柱形 (底面是正六边形,每个侧面都是矩 形),两端是封闭的,筒长1.6 m,底 面外接圆半径是0.46 m,制造这个滚筒需要多少平方米 铁板?(精确到0.1 m2)

解:此正六棱柱底面外接圆半径为 0.46 m, ∴正六边形的边长是 0.46 m. ∴S 侧=ch=6×0.46×1.6=4.416(m2). 3 ∴S 全=S 侧+2S 底=4.416+2× 4 ×0.462×6≈5.5(m2). 故制造这个滚筒约需要 5.5 平方米铁板.

[研一题] [例 2] 若一个正六棱锥的高为 69 cm,侧棱长为 13

cm,求这个六棱锥的全面积. [自主解答] 如图,
正六棱锥 S-ABCDEF,在 Rt△SOC 中, SO= 69,SC=13, OC= 132-69=10, 取 BC 的中点 H,连接 SH, ∵SB=SC,∴SH⊥BC.

又△OBC 为正三角形, 则 BC=OC=10. 在 Rt△SCH 中,SH= 132-52=12, 所以正六棱锥的全面积为 1 1 S=S 侧+S 底=2ch′+6×2ah 1 3 =2×6×10×12+6× 4 ×102 =(360+150 3) (cm2)

[悟一法] (1)正棱锥的高、侧棱与侧棱在底面的正射影组成直角三 角形,正棱锥的高、斜高与斜高在底面的正射影也组成直角三 角形,这是解决面积问题常用的两个重要三角形. (2)正六边形的中心与六个顶点组成六个全等的正三角 3 2 形,边长为 a 的正三角形的面积等于 4 a .明确这些结论和公 式是计算的关键.

[通一类] 2.已知正四棱锥底面的边长为4,高与斜高夹角为30°,

求它的侧面积和表面积.
解:如图所示,设正四棱锥的高为 PO,斜高为 PE,底 面边心距为 OE,它们组成一个直角三角形 POE. 4 ∵OE=2=2,∠OPE=30° , OE 2 ∴PE=sin30° 1=4. = 2

1 1 ∴S 正四棱锥侧=2ch′=2×(4×4)×4=32. S 表面积=42+32=48, 即该正四棱锥的侧面积是 32,表面积是 48.

[研一题]

[例3]

正四棱台两底面边长分别为a和b(a<b).若侧棱

所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45°, 求棱台的侧面积. [自主解答] 如图, 设O1,O分别为上、下底面的中心, 过C1作C1E⊥AC于E,过E作EF⊥BC 于F,连接C1F, 则C1F为正四棱台的斜高.

由题意知∠C1CO=45°,

2 CE=CO-EO=CO-C1O1= 2 (b-a). 2 在 Rt△C1CE 中,C1E=CE= 2 (b-a), 1 又 EF=CE· sin45° 2(b-a), = ∴斜高 C1F= C1E2+EF2 = 2 1 2 [ 2 ?b-a?] +[2?b-a?]2

3 = 2 (b-a). 1 3 ∴S 侧=2(4a+4b)× 2 (b-a)= 3(b2-a2).

[悟一法] 正棱台的侧面展开图是由若干个全等的等腰梯形组合而 成,解决这类问题求出上下底面的边长与棱台的斜高是解题 的方向.掌握正棱台的侧面积公式并正确计算是关键.

[通一类] 3.一个正三棱台的两底面的边长分别为8 cm、18 cm, 侧棱长是13 cm,求它的全面积.

解:上底面周长 c′=3×8=24(cm), 下底面周长 c=3×18=54(cm), 斜高 h′= 18-8 2 13 -? 2 ? =12 (cm),
2

1 ∴S 正棱台侧=2(c+c′)h′

1 =2(24+54)×12=468 (cm2), 3 2 S 上底面= 4 ×8 =16 3 (cm2), 3 S 下底面= 4 ×182=81 3(cm2), ∴正三棱台的全面积为 S=468+16 3+81 3=(468+97 3) (cm2).

[研一题] [例4] (2010· 海南、宁夏高考)设三棱柱的侧棱垂直

于底面,所有棱的长为a,顶点都在球面上,则该球的表

面积为
A.πa2 11 C. 3 πa2 7 B.3πa2 D.5πa2

(

)

[自主解答] 设球心为 O. 设正三棱柱上底面为△ABC,中心 O′. ∵三棱柱所有棱的长都等于 a, a 则可知 OO′=2, 2 3 3 O′A=3× 2 a= 3 a, 又由球的相关性质可知, 7 球的半径 R2=O′O2+O′A2=12a2. 7 2 7π 2 ∴球的表面积 S=4πR =4π×12a = 3 a . [答案]
2

B

[悟一法] 与球有关的组合体共有两种, 一种是内切, 一种是外接. 解 题时要认真分析图形, 明确切点和接点的位置, 灵活利用球的 对称性, ①若半径为 R 的球的内接正方体的棱长为 a, 2R= 3a. 则 ②若半径为 R 的球的内接长方体的长、宽、高分别为 a, b,c,则 2R= a2+b2+c2.

[通一类] 4.(2012·枣庄高一检测)已知一个表面积为120 cm2的正

方体的四个顶点在半球的球面上,四个顶点在半球的
底面上,求半球的表面积.
解: 如图, 为过正方体对角面的截面图. 设正方体的棱长为 a, 半球的半径为 R, 由 6a2=120 得 a2=20, 在 Rt△AOB 中,AB=a,OB= 2 a, 2

2a 2 3a2 由勾股定理,得 R2=a2+( ) = =30. 2 2 所以半球的表面积为 S=2πR2+πR2=3πR2=3×30π=90π(cm2).

已知正四棱台上底面边长为4 cm,侧棱和下底面边长 都是8 cm,求它的侧面积.
[解] 法一:在 Rt△B1FB 中,

B1F=h′, 1 BF=2(8-4)=2,B1B=8, ∴B1F= 82-22=2 15, ∴h′=B1F=2 15. 1 ∴S 正棱台侧=4×2×(4+8)×2 15 =48 15(cm2).

法二:延长正四棱台的侧棱交于点 P, 如图设 PB1=x, 则 x 4 =8,得 x=8. x+8

∴PB1=B1B=8, ∴E1 为 PE 的中点 ∴PE1= 82-22=2 15, PE=2PE1=4 15.

∴S 正棱台侧=S 大正棱锥侧-S 小正棱锥侧 1 1 =4×2×8×PE-4×2×4×PE1 1 1 =4×2×8×4 15-4×2×4×2 15 =48 15(cm2). ∴正四棱台的侧面积为 48 15 cm2.


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