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2012年高二数学教案:第2章(第6课时)平面向量的基本定理及坐标表示(2)(人教A版必修4)



题:

2.3.3 平面向量的坐标运算 2.3.4 平面向量共线的坐标表示

教学目的: (1)理解平面向量的坐标的概念; (2)掌握平面向量的坐标运算; (3)会根据向量的坐标,判断向量是否共线 教学重点:平面向量的坐标运算 教学难点:向量的坐标表示的理解及运算的准确性 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程:
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一、复习引入: 平面向量的坐标表示 如图,在直角坐标系内,我们分别取与 x 轴、 y 轴方向相同 的两个单位向量 i 、 j 作为基底 任作一个向量 a ,由平面向量
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?

?

1 基本定理知,有且只有一对实数 x 、 y ,使得 a ? xi ? yj …………○ 2 我们把 ( x, y ) 叫做向量 a 的(直角)坐标,记作 a ? ( x, y) …………○

?

?

?

?

其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标,y 叫做 a 在 y 轴上的坐标, 2 式叫做向量的坐标表示 与 a 相 ○ . .
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等的向量的坐标也为 ( x, y ) .........

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特别地, i ? (1, 0) , j ? (0,1) , 0 ? (0, 0)

?

?

?

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如图,在直角坐标平面内,以原点 O 为起点作 OA ? a ,则点

??? ?

?

??? ? ??? ? ? ? ? A 的位置由 a 唯一确定 设 OA ? xi ? yj ,则向量 OA 的坐标
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??? ? ( x, y ) 就是点 A 的坐标;反过来,点 A 的坐标 ( x, y ) 也就是向量 OA 的坐标 因此,在平面直
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角坐标系内,每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示 二、讲解新课: 1.平面向量的坐标运算

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(1) 若 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y 2 ) ,则 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) ,

?

?

?

? ? a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 )
两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差
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? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 设基底为 i 、 j ,则 a ? b ? ( x1i ? y1 j ) ? ( x2i ? y2 j ) ? ( x1 ? x2 )i ? ( y1 ? y2 ) j

即 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) ,同理可得 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) (2) 若 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,则 AB ? ? x2 ? x1 , y2 ? y1 ? 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标
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?

?

?

?

??? ?

? ? ??? ??? ??? ? AB = OB ? OA =( x2, y2) ? (x1,y1)= (x2? x1, y2? y1)
(3)若 a ? ( x, y) 和实数 ? ,则 ? a ? (? x, ? y )

?

?

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实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标

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设基底为 i 、 j ,则 ? a ? ? ( xi ? yj) ? ?xi ? ?yj ,即 ? a ? (? x, ? y ) 2. 平面向量共线的坐标表示

?

?

?

?

? ? ? a ∥ b ( b ? 0 )的充要条件是 x1y2-x2y1=0
设 a =(x1, y1) , b =(x2, y2)

? ?

?

其中 b ? a

?

?

由 a =λ b 得, (x1, y1) =λ (x2, y2)

?

? x ? ?x 2 ?? 1 ? y1 ? ?y 2

消去λ ,x1y2-x2y1=0

探究: (1)消去λ 时不能两式相除,∵y1, y2 有可能为 0, ∵b ?0

? ?

∴x2, y2 中至少有一个不为 0

(2)充要条件不能写成

y1 y 2 ? x1 x 2

∵x1, x2 有可能为 0

(3)从而向量共线的充要条件有两种形式:

? ? ? a ? ?b ? ? ? ? ? a ∥b (b ?0 )? ? ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 ?
三、讲解范例: 例 1 已知三个力 F1 =(3, 4), 解:由题设 F1 + F2 + F3 = 0 即: ?

?? ?

?? ? ?? ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ?? ? F2 =(2, ?5), = F3 (x, y)的合力 F1 + F2 + F3 = 0 ,求 F3 的坐标
得:(3, 4)+ (2, ?5)+(x, y)=(0, 0)

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? ? ? ?? ?? ?

?3 ? 2 ? x ? 0 ?4 ? 5 ? y ? 0

∴?

? x ? ?5 ? y ?1

∴ F3 =(?5,1)

?? ?

例 2 若向量 a =(-1,x)与 b =(-x, 2)共线且方向相同,求 x 解:∵ a =(-1, x)与 b =(- x, 2) 共线 ∴x =± 2

?

?

?

?

∴(-1)×2- x?(-x)=0 ∴x = 2

∵ a 与 b 方向相同

?

?

例 3 已知 A(-1, -1), B(1,3), C(1,5) ,D(2,7) ,向量 AB 与 CD 平行吗?直线 AB 与平行 于直线 CD 吗? 解:∵ AB =(1-(-1), 3-(-1))=(2, 4) 又 ∵2×2-4×1=0 ∴ AB ∥ CD

??? ?

??? ?

??? ?

, CD =(2-1,7-5)=(1,2)

??? ?

??? ?

??? ?

又 ∵ AC =(1-(-1), 5-(-1))=(2,6) 2×4-2×6?0 ∴A,B,C 不共线 四、课堂练习: 五、小结 1.向量的坐标概念 ∴ AC 与 AB 不平行 ∴AB 与 CD 不重合

????

??? ? AB =(2, 4)

????

??? ?

∴AB∥CD

2.向量坐标的运算

六、课后作业: 七、板书设计(略) 八、课后记:


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