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【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第十一章 概率 11.3 几何概型 文


【步步高】 (江苏专用)2017 版高考数学一轮复习 第十一章 概率 11.3 几何概型 文

1.几何概型的概念 设 D 是一个可度量的区域(例如线段、平面图形、立体图形等),每个基本事件可以视为从区 域 D 内随机地取一点,区域 D 内的每一点被取到的机会都一样;随机事件 A 的发生可以视为 恰好取到区域 D 内的某个指定区域 d 中的点.这时,事件 A 发生的概率与 d 的测度(长度、面 积、 体积等)成正比, 与 d 的形状和位置无关. 我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型. 2.几何概型的概率计算公式 一般地,在几何区域 D 中随机地取一点,记事件“该点落在其内部一个区域 d 内”为事件 A, 则事件 A 发生的概率 P(A)=

d的测度 . D的测度

3.要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点 (1)无限性:在一次试验中,可能出现的结果有无限多个; (2)等可能性:每个结果的发生具有等可能性. 4.随机模拟方法 (1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验, 以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似 值的方法就是模拟方法. (2)用计算机或计算器模拟试验的方法为随机模拟方法. 这个方法的基本步骤是①用计算器或 计算机产生某个范围内的随机数,并赋予每个随机数一定的意义;②统计代表某意义的随机 数的个数 M 和总的随机数个数 N;③计算频率 fn(A)= 作为所求概率的近似值. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零.( √ ) (2)几何概型中, 每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点, 该区域中的每 一点被取到的机会相等.( √ ) (3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.( √ ) (4)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.( √ ) (5)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关.( × )
1

M N

1 (6)从区间[1,10]内任取一个数,取到 1 的概率是 P= .( × ) 9

1.(教材改编)在线段[0,3]上任投一点,则此点坐标小于 1 的概率为________. 答案 1 3

1 解析 坐标小于 1 的区间为[0,1],长度为 1,[0,3]区间长度为 3,故所求概率为 . 3

? 1? 2.(2015·山东改编)在区间[0,2]上随机地取一个数 x,则事件“-1≤ log 1 ?x+ ?≤1”发 ? 2?
2

生的概率为________. 答案 3 4

1 1 ? 1? 解析 ∵由-1≤ log 1 ?x+ ?≤1,得 ≤x+ ≤2, 2 2 ? 2?
2

3 ∴0≤x≤ . 2 ∴由几何概型的概率计算公式得所求概率 3 -0 2 3 P= = . 2-0 4 3.(2014·辽宁改编)若将一个质点随机投入如图所示的长方形 ABCD 中,其中 AB=2,BC=1,则质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率是 ________. 答案 π 4

解析 设质点落在以 AB 为直径的半圆内为事件 A, 1 2 π ·1 阴影面积 2 π 则 P(A)= = = . 长方形面积 1×2 4 4. (2014·福建)如图, 在边长为 1 的正方形中随机撒 1 000 粒豆子, 有 180 粒落到阴影部分, 据此估计阴影部分的面积为________.

答案 0.18

2

解析 由题意知,这是个几何概型问题,

S阴 180 = =0.18, S正 1 000
∵S 正=1,∴S 阴=0.18. 5. (教材改编)如图, 圆中有一内接等腰三角形. 假设你在图中随机撒一把黄豆, 则它落在阴影部分的概率为________. 答案 1 π

解析 设圆的半径为 R,由题意知圆内接三角形为等腰直角三角形,其直角边长为 2R,则 所求事件的概率为:

S阴 2 P= = S圆

1 × 2R× 2R 1 = . 2 πR π

题型一 与长度、角度有关的几何概型 例 1 (1)(2015·重庆)在区间[0,5]上随机地选择一个数 p, 则方程 x +2px+3p-2=0 有两 个负根的概率为________. π π 1 (2)(2015·烟台模拟)在区间[- , ]上随机取一个数 x,则 cos x 的值介于 0 到 之间的 2 2 2 概率为________. 2 1 答案 (1) (2) 3 3 Δ ≥0, ? ? (1) 方 程 x + 2px + 3p - 2 = 0 有 两 个 负 根 , 则 有 ?x1+x2<0, ? ?x1·x2>0,
2 2

解析



4p -4?3p-2?≥0, ? ? ?-2p<0, ? ?3p-2>0, 2 解得 p≥2 或 <p≤1,又 p∈[0,5], 3 1 10 3+ 3 3 2 则所求概率为 P= = = . 5 5 3

2

3

π π 1 (2)当- ≤x≤ 时,由 0≤cos x≤ , 2 2 2 π π π π 得- ≤x≤- 或 ≤x≤ , 2 3 3 2 1 根据几何概型概率公式得所求概率为 . 3 (3)如图所示,在△ABC 中,∠B=60°,∠C=45°,高 AD= 3,在∠BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M,求 BM<1 的概率. 解 因为∠B=60°,∠C=45°,所以∠BAC=75°. 在 Rt△ABD 中,AD= 3,∠B=60°, 所以 BD= =1,∠BAD=30°. tan 60°

AD

记事件 N 为“在∠BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M,使 BM<1”,则可得∠BAM<∠BAD 时事件 N 发生. 30° 2 由几何概型的概率公式,得:P(N)= = . 75° 5 引申探究 1 3 1. 本例(2)中, 若将“cos x 的值介于 0 到 ”改为“cos x 的值介于 0 到 ”, 则概率如何? 2 2 π π 3 解 当- ≤x≤ 时,由 0≤cos x≤ , 2 2 2 π π π π 得- ≤x≤- 或 ≤x≤ , 2 6 6 2 2 根据几何概型概率公式得所求概率为 . 3 2. 若本例(3)中“在∠BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M”改为“在线段 BC 上找一点 M”, 求 BM<1 的概率. 1 3-1 解 依题意知 BC=BD+DC=1+ 3,P(BM<1)= = . 2 1+ 3 思维升华 求解与长度、角度有关的几何概型的方法 求与长度 ( 角度 ) 有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度 ( 角 度),然后求解.要特别注意“长度型”与“角度型”的不同.解题的关键是构建事件的区域 (长度或角度). (1)如图,在直角坐标系内,射线 OT 落在 30°角的终边上,任 作一条射线 OA,则射线 OA 落在∠yOT 内的概率为________.

4

? ? ?x-2 >0 (2)已知集合 A={x|-1<x<5},B=?x? ? ?3-x ?

? ? ?,在集合 ? ?

A 中任取一个元素 x,则事件

“x∈(A∩B)”的概率是________. 1 1 答案 (1) (2) 6 6 解析 (1)如题图,因为射线 OA 在坐标系内是等可能分布的,所以 OA 落在∠yOT 内的概率为 60° 1 = . 360° 6 (2)由题意得 A={x|-1<x<5},B={x|2<x<3

},故 A∩B={x|2<x<3}.由几何概型知,在

1 集合 A 中任取一个元素 x,则 x∈(A∩B)的概率为 P= . 6 题型二 与面积有关的几何概型 命题点 1 与平面图形面积有关的问题 例 2 (2015·福建改编)如图,矩形 ABCD 中,点 A 在 x 轴上,点 B 的坐标

x+1,x≥0, ? ? 为(1,0),且点 C 与点 D 在函数 f(x)=? 1 - x+1,x<0 ? ? 2

的图象上.若

在矩形 ABCD 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于________. 答案 1 4

3 2 1 1 3 解析 由图形知 C(1,2),D(-2,2),∵S 四边形 ABCD=6,S 阴= ×3×1= .∴P= = . 2 2 6 4 命题点 2 与线性规划知识交汇命题的问题 例 3 (2014·重庆)某校早上 8:00 开始上课,假设该校学生小张与小王在早上 7:30~7: 50 之间到校,且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的,则小张比小王至少早 5 分钟到 校的概率为________. 答案 9 32

解析 设小张与小王的到校时间分别为 7:00 后第 x 分钟,第 y 分钟,根据题意可画出图形, 如图所示, 则总事件所占的面积为(50-30) =400.小张比小王至少早 5 分钟到校表示的事件
2

A={(x,y)|y-x≥5,30≤x≤50,30≤y≤50},如图中阴影部分所示,阴影部分所占的面积为
225 2 1 225 9 ×15×15= ,所以小张比小王至少早 5 分钟到校的概率为 P(A)= = . 2 2 400 32

5

思维升华 求解与面积有关的几何概型的注意点 求解与面积有关的几何概型时,关键是弄清某事件对应的面积,必要时可根据题意构造两个 变量,把变量看成点的坐标,找到全部试验结果构成的平面图形,以便求解. (1)在区间[-π ,π ]内随机取出两个数分别记为 a,b,则函数 f(x)=x +2ax -b +π 有零点的概率为________.
2 2 2

x≤0, ? ? (2)(2014·湖北改编 ) 由不等式组 ?y≥0, ? ?y-x-2≤0
?x+y≤1, ? ? ?x+y≥-2 ?

确定的平面区域记为 Ω 1 ,不等式组

确定的平面区域为 Ω 2,在 Ω 1 中随机取一点,则该点恰好在 Ω 2 内的概率为

________. π 答案 (1)1- 4 7 (2) 8
2 2 2

解析 (1)由函数 f(x)=x +2ax-b +π 有零点, 可得 Δ =(2a) -4(-b +π )≥0,整理得 a +b ≥π , 如图所示,(a,b)可看成坐标平面上的点, 试验的全部结果构成的区域为 Ω ={(a,b)|-π ≤a≤π ,-π ≤b≤π }, 其面积 SΩ =(2π ) =4π . 事件 A 表示函数 f(x)有零点, 所构成的区域为 M={(a,b)|a +b ≥π }, 即图中阴影部分,其面积为 SM=4π -π ,
2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

SM 4π 2-π 3 π 故 P(A)= = =1- . 2 SΩ 4π 4
(2)如图,平面区域 Ω 1 就是三角形区域 OAB,平面区域 Ω 2 与平面区域 Ω 1 的重叠部分就是区 域 OACD,

6

1 2- 4 7 1 3 S四边形OACD 易知 C(- , ),故由几何概型的概率公式,得所求概率 P= = = . 2 2 S△OAB 2 8 题型三 与体积有关的几何概型 例 4 在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 点 O 为底面 ABCD 的中心, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 内随机取一点 P,则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为________. π 答案 1- 12 1 4 2 3 3 解析 V 正=2 =8,V 半球= × π ×1 = π , 2 3 3

V半球 2π π = = , V正 8×3 12
π 故点 P 到 O 的距离大于 1 的概率为 1- . 12 思维升华 求解与体积有关问题的注意点 对于与体积有关的几何概型问题, 关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空 间),对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求. 如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,有一动点在此长方体内随机运动,则此动点 在三棱锥 A-A1BD 内的概率为________.

答案 解析

1 6 1 1 因为 VA-A1BD=VA1-ABD= ·S△ABD·AA1 = ·S 3 6 1 = . 6
矩 形 ABCD

1 ·AA1 = V 6

长方体

,故所求概率为

VA-A1BD V长方体

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12.混淆长度型与面积型几何概型致误

典例 (14 分)在长度为 1 的线段上任取两点,将线段分成三段,试求这三条线段能构成三角 形的概率. 易错分析 不能正确理解题意,无法找出准确的几何度量来计算概率. 规范解答 解 设 x、y 表示三段长度中的任意两个. 因为是长度,所以应有 0<x<1,0<y<1,0<x+y<1, 即(x,y)对应着坐标系中以(0,1)、(1,0)和(0,0)为顶点的三角形内的点, 如图所示.[6 分] 要形成三角形,由构成三角形的条件知

x+y>1-x-y, ? ? ?1-x-y>x-y, ? ?1-x-y>y-x,
1 1 1 所以 x< ,y< ,且 x+y> , 2 2 2 故图中阴影部分符合构成三角形的条件.[10 分] 1 因为阴影部分的三角形的面积占大三角形面积的 , 4 1 故这三条线段能构成三角形的概率为 .[14 分] 4 温馨提醒 解决几何概型问题的易误点: (1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型,导致错误. (2)利用几何概型的概率公式时,忽视验证事件是否具有等可能性,导致错误.

[方法与技巧] 1.区分古典概型和几何概型最重要的是看基本事件的个数是有限个还是无限个. 2.转化思想的应用 对一个具体问题,可以将其几何化,如建立坐标系将试验结果和点对应,然后利用几何概型 概率公式. (1)一般地, 一个连续变量可建立与长度有关的几何概型, 只需把这个变量放在坐标轴上即可; (2)若一个随机事件需要用两个变量来描述, 则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本

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事件,然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型; (3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述, 则可用这三个变量组成的有序数组来表示基 本事件,利用空间直角坐标系建立与体积有关的几何概型. [失误与防范] 1.准确把握几何概型的“测度”是解题关键; 2.几何概型中,线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果.

A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) 1.(2014·湖南改编)在区间[-2,3]上随机选取一个数 X,则 X≤1 的概率为________. 答案 3 5

3 解析 在区间[-2,3]上随机选取一个数 X,则 X≤1,即-2≤X≤1 的概率为 P= . 5 1 2 2.在区间[-1,4]内取一个数 x,则 2x-x ≥ 的概率是________. 4 答案 3 5
x-x 2

解析 不等式 2 则-1≤x≤2,

1 2 ≥ ,可化为 x -x-2≤0, 4

2-?-1? 3 故所求概率为 = . 4-?-1? 5 3.已知△ABC 中,∠ABC=60°,AB=2,BC=6,在 BC 上任取一点 D,则使△ABD 为钝角三 角形的概率为__________. 答案 1 2

解析 如图,当 BE=1 时,∠AEB 为直角,则点 D 在线段 BE(不包含 B、

E 点)上时,△ABD 为钝角三角形;当 BF=4 时,∠BAF 为直角,则点 D
在线段 CF(不包含 C、F 点)上时,△ABD 为钝角三角形.所以△ABD 为钝 1+2 1 角三角形的概率为 = . 6 2
? ?0≤x≤2, 4.设不等式组? ?0≤y≤2 ?

表示的平面区域为 D,在区域 D 内随机取一个点,则此点到坐

9

标原点的距离大于 2 的概率是__________. π 答案 1- 4 解析 如图所示,正方形 OABC 及其内部为不等式组表示的区域 D,且 区域 D 的面积为 4,而阴影部分表示的是区域 D 内到坐标原点的距离 大于 2 的区域.易知该阴影部分的面积为 4-π .因此满足条件的概率 π 是 1- . 4 5. 已知一只蚂蚁在边长分别为 5,12,13 的三角形的边上随机爬行, 则其恰在离三个顶点的距 离都大于 1 的地方的概率为________. 答案 4 5

解析 由题意可知,三角形的三条边长的和为 5+12+13=30,而蚂蚁要在离三个顶点的距 离都大于 1 的地方爬行,则它爬行的区域长度为 3+10+11=24,根据几何概型的概率计算 24 4 公式可得所求概率为 = . 30 5 6.有一个底面圆的半径为 1、高为 2 的圆柱,点 O 为这个圆柱底面圆的圆心,在这个圆柱内 随机取一点 P,则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为________. 答案 2 3

1 4 2 3 解析 V 圆柱=2π ,V 半球= × π ×1 = π , 2 3 3

V半球 1 = , V圆柱 3
2 故点 P 到 O 的距离大于 1 的概率为 . 3 7.在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数,记为 m 和 n,则方程 2+ 2=1 表示焦点在 x 轴 上的椭圆的概率是________. 答案 1 2

x2 y2 m n

解析 ∵方程 2+ 2=1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,∴m>n. 如图,由题意知,在矩形 ABCD 内任取一点 Q(m,n),点 Q 落在阴影部分 的概率即为所求的概率,易知直线 m=n 恰好将矩形平分, 1 ∴所求的概率为 P= . 2

x2 y2 m n

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8.随机地向半圆 0<y< 2ax-x (a 为正常数)内掷一点,点落在圆内任何区域的概率与区域 π 的面积成正比,则原点与该点的连线与 x 轴的夹角小于 的概率为______. 4 答案 1 1 + 2 π

2

解析 半圆域如图所示: 设 A 表示事件“原点与该点的连线与 x 轴的夹角小于 π ,由几何概型 4

1 2 1 2 πa+ a 4 2 A的面积 1 1 的概率计算公式得 P(A)= = = + . 半圆的面积 1 2 2 π πa 2 9.随机向边长为 5,5,6 的三角形中投一点 P,则点 P 到三个顶点的距离都不小于 1 的概率是 ________. 答案 24-π 24

解析 由题意作图,如图 1 2 2 则点 P 应落在深色阴影部分,S 三角形= ×6× 5 -3 =12,三个小扇 2 π 形可合并成一个半圆,故其面积为 ,故点 P 到三个顶点的距离都 2 π 12- 2 24-π 不小于 1 的概率为 = . 12 24 10.已知向量 a=(-2,1),b=(x,y). (1)若 x,y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为 1,2,3,4,5,6)先后 抛掷两次时第一次、第二次出现的点数,求满足 a·b=-1 的概率; (2)若 x,y 在连续区间[1,6]上取值,求满足 a·b<0 的概率. 解 (1) 将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次,所包含的基本事件总数为 6×6=

36(个); 由 a·b=-1 有-2x+y=-1, 所以满足 a·b=-1 的基本事件为(1,1),(2,3),(3,5),共 3 个; 故满足 a·b=-1 的概率为 3 1 = . 36 12

(2)若 x,y 在连续区间[1,6]上取值,则全部基本事件的结果为 Ω = {(x,y)|1≤x≤6,1≤y≤6}; 满足 a·b<0 的基本事件的结果为

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A={(x,y)|1≤x≤6,1≤y≤6 且-2x+y<0};
画出图形如图, 矩形的面积为 S 矩形=25, 1 阴影部分的面积为 S 阴影=25- ×2×4=21, 2 21 故满足 a·b<0 的概率为 . 25 B 组 专项能力提升 (时间:30 分钟) 11.一个长方体空屋子,长,宽,高分别为 5 米,4 米,3 米,地面三个角上各装有一个捕蝇 器(大小忽略不计),可捕捉距其一米空间内的苍蝇,若一只苍蝇从位于另外一角处的门口飞 入,并在房间内盘旋,则苍蝇被捕捉的概率是________. 答案 π 120

解析 屋子的体积为 5×4×3=60 立方米, π 2 1 4 π π 3 捕蝇器能捕捉到的空间体积为 × π ×1 ×3= 立方米.故苍蝇被捕捉的概率是 = . 8 3 2 60 120 1 12.(2015·湖北改编)在区间[0,1]上随机取两个数 x,y,记 p1 为事件“x+y≤ ”的概率, 2

p2 为事件“xy≤ ”的概率,则下列正确的是________.
1 ①p1<p2< 2 1 ③ <p2<p1 2 答案 ④ 0≤x≤1, ? ?0≤y≤1, 在直角坐标系中,依次作出不等式组? 1 ? ?x+y≤2, 1 ②p2< <p1 2 1 ④p1< <p2 2

1 2

解析

0≤x≤1, ? ?0≤y≤1, ? 1 ? ?xy≤2 的可行域如图所示:

12

依题意,p1=

S△ABO

S四边形OCDE

,p2=

S曲边多边形OEGFC , S四边形OCDE

1 S△OEC 1 而 = ,所以 p1< <p2. 2 S四边形OCDE 2 13.如图, 已知点 A 在坐标原点, 点 B 在直线 y=1 上, 点 C(3,4), 若 AB≤ 10, 则△ABC 的面积大于 5 的概率是________. 答案 5 24

3 1 解析 设 B(x,1),根据题意知点 D( ,1),若△ABC 的面积小于或等于 5,则 ×DB×4≤5, 4 2 5 7 13 即 DB≤ ,此时点 B 的横坐标 x∈[- , ],而 AB≤ 10, 2 4 4 所以点 B 的横坐标 x∈[-3,3],所以△ABC 的面积小于或等于 5 的概率为 7 3-?- ? 4 19 P= = , 6 24 5 所以△ABC 的面积大于 5 的概率是 1-P= . 24 14.已知集合 A=[-2,2],B=[-1,1],设 M={(x,y)|x∈A,y∈B},在集合 M 内随机取出 一个元素(x,y). (1)求以(x,y)为坐标的点落在圆 x +y =1 内的概率; (2)求以(x,y)为坐标的点到直线 x+y=0 的距离不大于
2 2 2 2

2 的概率. 2

解 (1)集合 M 内的点形成的区域面积 S=8.因圆 x +y =1 的面积 S1=π , 故所求概率为 = π . 8 |x+y| 2 (2)由题意 ≤ , 即-1≤x+y≤1, 形成的区域如图中阴影部分, 阴影部分面积 S2=4, 2 2

S1 S

S2 1 所求概率为 = . S 2

15.甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头,它们在一昼夜内到达该码头的时刻是

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等可能的.如果甲船停泊时间为 1 h,乙船停泊时间为 2 h,求它们中的任意一艘都不需要等 待码头空出的概率. 解 设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为 x 与 y,记事件 A 为“两船都不需要等待码头空 出”,则 0≤x≤24,0≤y≤24,要使两船都不需要等待码头空出,当且仅当甲比乙早到达 1 h 以上或乙比甲早到达 2 h 以上,即 y-x≥1 或 x-y≥2.故所求事件构成集合 A={(x,y)|y -x≥1 或 x-y≥2,x∈[0,24],y∈[0,24]}.

A 为图中阴影部分,全部结果构成集合 Ω 为边长是 24 的正方形及其
内部.

A的面积 所求概率为 P(A)= Ω 的面积
1 1 2 2 ?24-1? × +?24-2? × 2 2 = 2 24 = 506.5 1 013 = . 576 1 152

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