当前位置:首页 >> 数学 >>

实验中学数列测试题(含答案)

实验中学高二数列测试题
一、单项选择

1. 在等差数列 ?a n ?中, S15 ? 90, 则 a8 ? ( A.3 B.4 C.6 D.12



2. 已知数列 {an } 是等差数列,且 a7 ? 2a4 ? ?1, a3 ? 0 ,则公差 d ? ( A.-2 B. ?



1 2

C.

1 2

D.2

3. 等差数列 ?an ? 中, S10 ? 120 ,那么 a2 ? a9 的值是( ) A. 12 C .16 B. 24 D. 48 )

1 4. 在等差数列 ?an ? 中,若 a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? 80 ,则 a7 ? a8 的值为( 2 A.4 B.6 C.8 D.10

5. 已知数列 {an } ,若 a1 , a2 ? a1 , a3 ? a2 , a4 ? a3 ,?, an ? an?1 是公比为 2 的等比数列,则

{an } 的前 n 项和 S n 等于( )
A. a1 [a n ?

1 (n ? 1)] 2

B. a1 (2 n ? n) D. a1[2 n?1 ? (n ? 2)] ) C.-

C. a1[2 n?1 ? (2n ? 1)] 6. 已知{an}是公比为=( A.1 或-

1 2

B.1

1 2

D.-2

7. 已知 ?an ? 为等差数列,若 a3 ? a4 ? a8 ? 9 ,则 S9 ? A. 24 B. 27 C. 15 D. 54 ). (C) 第 668 项 ) (D) 第 669 项

8. 等差数列 2,5,8, ? 中,2006 是数列的( (A)第 666 项 (B) 第 667 项

9. 等差数列 {an } 中, a2 ? a7 ? a15 ? 12 ,则 a8 ? ( A、 2 B、 3 C、 4 D、 6

10. 在等差数列 {an } 中,已知 a5 ? a7 ? 10 , Sn 是数列 {an } 的前 n 项和,则 S11 ? (

)

A.45 B.50 C.55 D.60 11. 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S2=10,S4=36,则过点 P(n,an)和 Q(n+2,an * ) +2)(n∈N )的直线的一个方向向量的坐标可以是( A.(-

1 ,-2) 2

B.(-1,-1)

1

C.(-

1 ,-1) 2

D.(2,

1 ) 2

12. 在实数数列 ?an ? 中,已知 a1 ? 0 , | a2 |?| a1 ? 1 | , | a3 |?| a2 ? 1 | ,…, | an |?| an?1 ? 1 | , 则 a1 ? a2 ? a3 ? a4 的最大值为( A. 0 二、填空题 B. ) C. 2 D. 4

13. 数列{an}中,a1=1,a2=

2 2 1 1 ,且 + = ,则 an=____. 3 an an ?1 an ?1

14. 设集合 M={m|m=2 ,n∈N,且 m<500},则 M 中所有元素的和为________. 15. 已知等差数列 {an } (公差不为零)和等差数列 {bn } ,如果关于 x 的方程

n

9x2 ? (a1 ? a2 ? ?a9 ) x ? b1 ? b2 ? ?b9 ? 0 有解,那么以下九个方程

x2 ? a1x ? b1 ? 0 , x2 ? a2 x ? b2 ? 0 , x2 ? a3 x ? b3 ? 0 ,……, x2 ? a9 x ? b9 ? 0 中,
无解的方程最多有 16. 设 a1 ? 2 , an ?1 ?
三、解答题

个.

a ?2 2 , bn ? n , n ? N * ,则数列 ?bn ? 的通项 bn = an ? 1 an ? 1
3 2 7 n ? n (n ? N * ) . 2 2



17. 已知数列 ?an ? ,其前 n 项和为 S n ?

(I)求数列 ?an ? 的通项公式,并证明数列 ?an ? 是等差数列; (II)设 cn ?

k 9 ,数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn ,求使不等式 Tn ? 对 57 (2an ? 7)(2an ? 1)

一切 n ? N * 都成立的最大正整数 k 的值. 18. 数 列 {an } 的 首 项 a1 ? 1 , 前 n 项 和 为 Sn , 满 足 关 系

3tSn ? (2t ? 3)Sn ?1 ? 3t ( t ? 0 , n ? 2 ,3,4…)

(1)求证:数列 {an } 为等比数列; (2)设数列 {an } 的公比为 f (t ) ,作数列 {bn } ,使 b1 ? 1 , bn ? f (
1 ) .( n ? 2 ,3,4…)求 bn bn ?1

(3)求 Tn ? (b1b2 ? b2b3 ) ? (b3b4 ? b4b5 ) ? … ?(b2n ?1b2n ? b2nb2n ?1 ) 的值 19. 设 a1 ? 2, a2 ? 4, 数列 {bn } 满足: bn ? an?1 ? an , bn?1 ? 2bn ? 2. 求数列 {an } 的通
2

项公式. 20. 已知各项均为正数的两个数列 {an } 和 {bn } 满足: a n ?1 ?

a n ? bn a n ? bn
2 2

,n? N *,

(1)设 bn ?1

?? b ? b ? ? 1 ? n , n ? N * ,求证:数列 ?? n ? an ?? an ? ?

2

? ? ? 是等差数列; ? ?

(2)设 bn?1 ? 2 ?

bn , n ? N * ,且 {an } 是等比数列,求 a1 和 b1 的值. an

21. 假 设 第 n 行 的 第 二 个 数 为

an (n ? 2, n ? N? ) ,
(1)依次写出第六行的所有 6 个数 字; (2)归纳出 an?1与an 的关系式并求 出 an 的通项公式; (3)设 anbn ? 1, 求证: b2 ? b3 ? ? ? bn ? 2 22. 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a2 ? 3 ,且 an?1 ? an ? 2an?1 ? n≥2? . (1)设 bn ? an?1 ? ? an ,是否存在实数 ? ,使数列 ?bn ? 为等比数列.若存在,求出 ? 的值,若 不存在,请说明理由; (2)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn .
一、单项选择 1. C2. B3. B4. C5. D6. A7. B 【 解

参考答案
析 】

a1 ? 2
9. C

d?

5

S9 ? 9

9 ? a1 ? a9 ? a ? ? 9a5 ? 27. 8. D , 9 2

d?

因 为 等 差 数 列 {an } 中 , 利 用 等 差 中 项 的 性 质 可 知 ,

a2 ? a7 ? a15 ? 12=3 a1 +7d)=3a8 ?a8 ? 4 (
10. C【解析】 S11 ?

a ? a7 a1 ? a11 10 ?11 ? 5 ?11 ? ? 11 ? 55 11. A 2 2 2

? ? 2 a1 ? 221d ?10 ? 【解析】设数列{an}的公差为 d,则有 ? ,解得 d=4,于是直线 PQ 的斜率 k 4?3 4a ? d ? 36 ? 1 2 ?

3



an ? 2 ? an 1 =d=4,故直线的一个方向向量的坐标可以是(- ,-2).12. C n?2?n 2 2 14. 511【解析】∵2n<500,∴n=0,1,2,3,4,5,6,7,8.∴M 中所有元素的和 S n ?1
关于 x 的方程 9x2 ? (a1 ? a2 ? ?a9 ) x ? b1 ? b2 ? ?b9 ? 0 有解.
2

二、填空题

13.

=1+2+22+…+28=511. 15. 4

即: ? ? ? a1 ? a2 ? ? ? a9 ? ? 4 ? 9 ? ? b1 ? b2 ? ? ? b9 ? ? 0 . 又数列 {an } 和 {bn } 为公差不为零的等差数列, 所以 ? ? ? 9a5 ? ? 4 ? 9 ? ? 9b5 ? ? 0
2

?

a5 2 ? 4b5 ? 0 .A.

故关于 x 的方程 x2 ? a5 x ? b5 ? 0 必定有解. 另一方面:对关于 x 的方程 x2 ? a4 x ? b4 ? 0 , 有: ? 4 ? a4 2 ? 4b4 ? ? a5 ? d1 ? ? 4 ? b5 ? d 2 ? ,
2

要想 ?4 ? 0 ,则在理论上 ? a5 ? d1 ? ? 4 ? b5 ? d 2 ? .B.
2

将 B.与 A.比较,当 d1 在减少的程度上比 d2 少的多,则 B.一定成立. 但由于对称关系: ? 6 ? a6 2 ? 4b6 ? ? a5 ? d1 ? ? 4 ? b5 ? d 2 ? 有可能就会小于零.
2

综合考虑得无解的方程最多有 4 个. 16. bn ? 2 n?1
三、解答题

17.
4

18. (1)证:?

?3tSn ? (2t ? 3) Sn ?1 ? 3t (n ? 2) ,两式相减得 3tan?1 ? (2t ? 3)an ? 0 , ? ?3tSn ?1 ? (2t ? 3) Sn ? 3t

又t

? 0,?

an ?1 2t ? 3 ? (n ? 2) ,又当 n ? 2 时, 3tS2 ? (2t ? 3)S1 ? 3t , an 3t
,得 a2

即 3t (a1

? a2 ) ? (2t ? 3)a1 ? 3t

?

a2 2t ? 3 an ?1 2t ? 3 2t ? 3 ? ,即 ,? ? (n ? 1) a1 3t an 3t 3t

?数列?an ? 为等比数列
2 ?3 bn ?1 1 2 2t ? 3 )? ? bn ?1 ? (n ? 2) , ? b( n) ? f ( f (n) ? 3 bn ?1 3 3t bn ?1
2 3
为公比的等比数列.? bn

(2)由已知得

?数列?bn ? 是以 b1 ? 1 为首项,
(3) Tn

2 1 ? n? 3 3

? (b1b2 ? b2b3 ) ? (b3b4 ? b4b5 ) ? … ?(b2n ?1b2n ? b2n b2n ?1 )

= b2 (b1

? b3 ) ? b4 (b3 ? b5 ) ? …… ?b2n (b2n ?1 ? b2n ?1 )

= ?2d (b2

2 ? 5 n(n ? 1) 4 ? 8 4 ? b4 ? ? ? ?b2 n ) ? ?2 ? ? n ? ? ? ? = ? n2 ? n 3? 3 2 3? 9 3

19.

bn?1 ? 2bn ? 2 ? bn?1 ? 2 ? 2(bn ? 2), ?

bn?1 ? 2 ? 2, bn ? 2

又b 1

? 2 ? a2 ? a1 ? 2 ? 4 , ? 数列 {bn ? 2} 是首项为 4,公比为 2 的等比数列.

? bn ? 2 ? 4 ? 2n?1 ? bn ? 2n?1 ? 2 . ? an ? an?1 ? 2 n ? 2.
令n

? 1,2,?, (n ? 1),叠加得 an ? 2 ? (22 ? 23 ? ? ? 2n ) ? 2(n ? 1) ,

20. (1)∵ n ?1

b

? 1?

bn an

,∴ an ?1

?

an ? bn an 2 ? bn 2

=

bn?1 ?b ? 1? ? n ? ? an ?
2

.



?b ? bn ?1 ? 1? ? n ? an ?1 ? an ?

2
.∴

2 2 2 ? 2 ? ? bn ?1 ? ? bn ? ? ? bn ? ? ? bn ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 1? n ? N *? ? ? an?1 ? ? an ? ? ? an ? ? ? an ? ? ?

2

.

?? b ? 2 ? ? n ? ∴数列 ?? ? ? 是以 1 ?? an ? ? ? ?
(2)∵ an

为公差的等差数列.

> 0,bn > 0 ,∴

? an ? bn ?
2

2

? an 2 ? bn 2 < ? an ? bn ?

2

.

5

∴ 1 < an ?1

?

an ? bn an 2 ? bn 2

? 2 .(﹡)

设等比数列 {an } 的公比为 q ,由 an

> 0 知 q > 0 ,下面用反证法证明 q =1

若 q > 1, 则 a1 =

a2 2 < a2 ? 2 ,∴当 n > log q q a1

时, an?1

? a1qn > 2 ,与(﹡)矛盾.

若 0 < q < 1, 则 a1 =

a2 1 > a2 > 1 ,∴当 n > log q 时, an?1 ? a1qn <1 ,与(﹡)矛盾. q a1

∴综上所述, q =1 .∴ an

? a1 ? n ? N *? ,∴ 1 < a1 ? 2 .
的等比数列.

又∵ bn ?1

? 2?

bn 2 2 = ? bn ? n ? N *? ,∴ {bn } 是公比是 an a1 a1

若 a1

? 2 ,则

2 > 1 ,于是 b1 < b2 < b3 . a1

又由 a n ?1

?

a n ? bn a n ? bn
2 2

即 a1

?

a1 ? bn a12 ? bn 2

,得 bn =

a1 ? a12 2 ? a12 a12 ? 1

.

∴ b ,b2,b3 中至少有两项相同,与 b < b2 1 1

< b3 矛盾.∴ a1 = 2 .

2?
∴ bn =

? 2? ? 2?
2

2?
2

? 2?

2

?1

= 2 .∴ a1 =b2 = 2 .

21.(1)第六行的所有 6 个数字分别是 6,16,25,25,16,6; (2)依题意

an?1 ? an ? n (n ? 2) , a2 ? 2

an ? a2 ? (a3 ? a2 ) ? (a4 ? a3 ) ? ......? (an ? an?1 )
? 2 ? 2 ? 3 ? ...... ? (n ? 1) ? 2 ?
所以 a n

(n ? 2)(n ? 1) , 2

1 2 1 n ? n ? 1 ( n ? 2) ; 2 2 2 2 1 1 ? 2 ? 2( ? ) (3)因为 anbn ? 1, 所以 bn ? 2 n ?n?2 n ?n n ?1 n 1 1 1 1 1 1 ? )] 所以 b2 ? b3 ? b4 ? ......? bn ? 2[( ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( 1 2 2 3 n ?1 n 1 ? 2(1 ? ) ? 2 n ?
22. (1)假设存在实数

? ,使数列 ?bn ? 为等比数列,则有 b22 ? b1b3 .
6



由 a1

? 1 , a2 ? 3 ,且 an?1 ? an ? 2an?1 ,得 a3 ? 5 , a4 ? 11. ? a2 ? ?a1 ? 3 ? ? , b2 ? a3 ? ?a2 ? 5 ? 3? , b3 ? a4 ? ?a3 ? 11 ? 5? ,
2

所以 b 1

所以

? 5 ? 3? ?

? ? 3 ? ? ??11 ? 5? ? ,解得 ? ? 1 或 ? ? ?2 .



? ? 1 时, bn ? an?1 ? an , bn?1 ? an ? an?1 ,且 b1 ? a2 ? a1 ? 4 ,
bn a ? a ? a ? 2an?1 ? ? an ? n?1 n ? n ? 2 ? n≥2? . bn?1 an ? an?1 an ? an?1





? ? ?2 时, bn ? an?1 ? 2an , bn?1 ? an ? 2an?1 ,且 b1 ? a2 ? 2a1 ? 1 ,
bn a ? 2an ? an ? 2an?1 ? ? 2an ? n?1 ? ? ?1 ? n≥2? . bn?1 an ? 2an?1 an ? 2an?1



所以存在实数

? ,使数列 ?bn ? 为等比数列.



? ? 1 时,数列 ?bn ? 为首项是 4 、公比是 2 的等比数列;



? ? ?2 时,数列 ?bn ? 为首项是1 、公比是 ?1 的等比数列.
? an ? 4 ? 2n?1 ? 2n?1 ? n ? 1? ,

(2)由(1)知 an?1



n 为偶数时, Sn ? ? a1 ? a2 ? ? ? a3 ? a4 ? ? ? a5 ? a6 ? ? ?? ? an?1 ? an ?

? 2 2 ? 2 4 ? 26 ? ? ? 2 n
n ? ? 4 ?1 ? 4 2 ? ? ? 1 2n? 2 ? 4 .当 n 为奇数时, S ? a ? a ? a ? a ? a ? ?? a ? a ? ? ? 2 3? ? 4 5? ? n?1 n ? ? ? n 1 1? 4 3

? 1 ? 23 ? 25 ? ? ? 2n
n ?1 ? ? 8 ?1 ? 4 2 ? ? ? 1 2n ? 2 ? 5 . ? 1? ? ? ? 1? 4 3

? 1 n?2 ? 3 ? 2 ? 4? , ? 故数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ? ? ? 1 ? 2n ? 2 ? 5 ? , ?3 ?

n为偶数, n为奇数.

n ? ?1? ? 1? . 1 ? n?2 注:若将上述和式合并,即得 S n ? ?? 2 ? 4 ? ? ? 3? 2 ? ? ?

7