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2013届专题10 排列组合(教师版学案)


专题 10 排列 组合 二项式定理
【2013 考纲解读】 1.理解并运用分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题; 2.理解排列、组合的概念;能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式,并能解决简 单的实际问题; 3.能用计数原理证明二项式定理; 会用 二项式定理解决与二项展开式有关的简单问 题. 【知识络构建】

【重点知识整合】 1.两个基本原理 (1)分类加法计数原理; (2)分类乘法计数原理; 2.排列 (1)定义; (2)排列数公式:Am= n 3.组合 (1)定义;(2)组合数公式;(3)组合数的性质:Cm=Cn m(m,n∈N,且 m≤n);Cm+1=Cm+ n n n n Cm 1(m,n∈N,且 m≤n). n 4.二项式定理 (a+b)n 展开式共有 n+1 项,其中 r+1 项 Tr+1=Cr an rbr. n 5.二项式系数的性质 二项式系数是指 C0,C1,…,Cn这 n+1 个组合数. n n n 二项式系数具有如下几个性质: (1)对称性、等距性、单调性、最值性; (2)Cr+Cr+1+Cr+2+…+Cr =Cr +1 ; r r r n n 1
0 1 2 n Cn+Cn+Cn+…+Cr +…+Cn=2n; n 1 3 5 0 2 Cn+Cn+Cn+…=Cn+Cn+C4+…=2n 1; n 1 Cn+2C2+3C3+…+nCn=n·n 2 n n n
-1 - + - - -

n! (n,m∈N,m≤n); ?n-m?!

等.

【高频考点突破】 考点一 两个计数原理的应用 分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别:分类加法计数原理针对的是“分类”问 题,其中各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步乘法计数原理针 对的是“分步”问题,各个步骤中的方法互相依存,只有各个步骤都完成才算做完这件事. 例 1、给 n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色.当 n≤4 时,在所有不同的着色方案 中,黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示:

由此推断,当 n=6 时,黑色正方形互不相邻的着色方案共有________种,至少有两个 黑色正方形相邻的着色方案共有________种(结果用数值表示). 解析: 〈1〉以黑色正方形的个数分类, ①若有 3 个黑色正方形,则有 C3=4 种;②若有 2 个黑色正方形,则有 C2=10(种);③ 4 5 若有 1 个黑色正方形,则有 C1=6(种);④若无黑色正方形,则有 1 种. 6 ∴共 4+10+6+1=21(种). 〈2〉法一:至少有 2 个黑色正方形相邻包括有 2 个黑色正方形相邻,有 3 个黑色正方 形相邻,有 4 个黑色正方形相邻,有 5 个黑色正方形相邻,有 6 个黑色正方形相邻. ①只有 2 个黑色正方形相邻,有 A2+A2+C1=23(种); 3 4 5 ②只有 3 个黑色正方形相邻,有 C1+A2+C1=12(种); 2 3 4 ③只有 4 个黑色正方形相邻,有 C1+C1=5(种); 2 3 ④只有 5 个黑色正方形相邻,有 C1=2(种); 2 ⑤有 6 个黑色正方形相邻,有 1(种). 共 23+12+5+2+1=43(种).

法二:所求事件的对立事件为“黑色正方形互不相邻”,由〈1〉知共有 21 种,而给 6 个 相连正方形着黑色、白色的方案共有 26 种,故所求事件的种数为:26-21=43. 答案:21 43 【变式探究】正五棱柱中,不同在任何侧面且不同在 任何底面的两顶点的连线称为它 的对角线,那么一个正五棱柱对角线的条数共有 A.20 C.12 B.15 D.10 ( )

【方法技巧】 1.在应用两个原理解决问题时,一般是先分类再分步.每一步当中又可能用到分类计 数原理. 2.对于较复杂的两个原理综合使用的问题,可恰当地列出示意图或列出表格,使问题 形象化、直观化. 考点二 排列组合 1.排列数公式: n! Am=n(n-1)…(n-m+1)= . n ?n-m?! 2.组合数公式: Cm= n ? n! Am n?n-1?…n-m+1? n = = . Am m! m!?n-m?! m

3.组合数的性质:

①Cm=Cn n n

-m

;②Cm+Cm 1=Cm+1. n n n



例 2、由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且 1、3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数 是 A.72 C.108 ( ) B.96 D.144

【变式探究】 在某种信息传输过程中, 4 个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息, 用 不同排列表示不同信息,若所用数字只有 0 和 1,则与信息 0110 至多有两个对应位置上的 数字相同的信息个数为________.

考点三 二项式定理 1.二项式定理: (a+b)n=C0anb0+C1an 1b+…+Cr an rbr+…+Cnbn. n n n n 2.通项与二项式系数:
- -

Tr+1=Cr an rbr,其中 Cr (r=0,1,2,…,n)叫做二项式系数. n n 3.各二项式系数之和:
0 1 2 n (1)Cn+Cn+Cn+…+Cn=2n. 1 3 0 2 (2)Cn+Cn+…=Cn+Cn+…=2n 1.




4.二项式系数的性质: (1)二项式系数首末两端“等距离”相等,即 Cr =Cn r. n n (2)二项式系数最值问题
n n 当 n 为偶数时,中间一项即第 +1 项的二项式系数 C 2 最大;当 n 为奇数时,中间两 2 n


n ?1 n?1 n+1 n+3 项即第 , 项的二项式系数 C 2 , C 2 相等且最大. 2 2 n n

a 1 例 3、(x+ )(2x- )5 的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中常数项为 ( x x A.-40 C.20 B.-20 D.40

)

【变式探究】设(x-1)21=a0+a1x+a2x2+…+a21x21, 则 a10+a11=__________.

【方法技巧】在应用通项公式时,要注意以下几点 (1)它表示二项展开式中的任意项,只要 n 与 r 确定,该项就随之确定. (2)Tr+1 是展开式中的第 r+1 项而不是第 r 项. (3)二项式系数与项的系数不同,项的系数除包含二项式系数外,还与 a、b 中的系数有

关. 【难点探究】 难点一 计数原理

例 1、某人设计一项单人游戏,规则如下:先将一棋子放在如图 18-1 所示正方形 ABCD(边长为 3 个单位)的顶点 A 处,然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方 向行走的单位,如果掷出的点数为 i(i=1,2,…,6),则棋子就按逆时针方向行走 i 个单位, 一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点 A 处的所有不同走法共有( )

A.22 种 B.24 种 C.25 种 D.36 种

难点二 排列与组合 例 2、在送医下乡活动中,某医院安排 3 名男医生和 2 名女医生到三所乡医院工作,每 所医院至少安排一名医生,且女医生不安排在同一乡医院工作,则不同的分配方法总数为 ( ) A.78 B.114 C.108 D.120

【分析】 先分组后分配,然后减去两名女医生在一个医院的情况. 【答案】B

C1C1C3 C1C2C2 5 4 3 5 4 2 【解析】 五人分组有(1,1,3),(1,2,2)两种分组方案,方法数是 + =25,故 A2 A2 2 2 分配方案的总数是 25A3=150 种.当仅仅两名女医生一组时,分组数是 C1,当两名女医生 3 3 中还有一名男医生时,分组方法也是 C1,故两名女医生在一个医院的分配方案是 6A3=36. 3 3 符合要求的分配方法总数是 150-36=114. 难点三 二项式定理

例 3、 若?3 x-

?

1 ?n 的展开式中各项系数之和为 64,则展开式的常数项为________. x?

? 1 ? ? 的展开式中常数项为 1.【2012 高考真题重庆理 4】 ? x ? ? ? 2 x? ?
A.

8

35 16

B.

35 8

C.

35 4

D.105

2.【2012 高考真题浙江理 6】若从 1,2,3,…,9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数,其和 为偶数,则不同的取法共有 A.60 种 【答案】D 【解析】从 1,2,3,…,9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数,其和为偶数的取法分为
4 三类;第一类是取四个偶数,即 C5 ? 5 种方法;第一类是取两个奇数,两个偶数,即
4 2 2 C5 C4 ? 60种方法;第三类是取四个奇数,即 C4 ? 1 故有 5+60+1=66 种方法。故选 D。

B.63 种

C.65 种

D.66 种

3.【2012 高考真题新课标理 2】将 2 名教师, 4 名学生分成 2 个小组,分别安排到甲、 乙两地参加社会实践活动,每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成,不同的安排方案共有 ( )

( A) 12 种

( B ) 10 种

(C ) ? 种

( D) ? 种

4.【2012 高考真题四川理 1】 (1 ? x)7 的展开式中 x 的系数是(
2

) D、 21

A、 42 【答案】D

B、 35

C、 28

2 【解析】由二项式定理得 T3 ? C7 g 5 gx2 ? 21x2 ,所以 x 2 的系数为 21,选 D. 1

5.【2012 高考真题四川理 11】方程 ay ? b2 x2 ? c 中的 a, b, c ?{?3, ?2, 0,1, 2,3},且

a, b, c 互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中,不同的抛物线共有(
A、60 条 B、62 条 C、71 条

) D、80 条

6.【2012 高考真题陕西理 8】两人进行乒乓球比赛,先赢三局着获胜,决出胜负为止,则所 有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( A. 10 种 【答案】C. 【解析】首先分类计算假如甲赢,比分 3:0 是 1 种情况;比分 3:1 共有 3 种情况,分 别是前 3 局中(因为第四局肯定要赢) ,第一或第二或第三局输,其余局数获胜;比分是 3: 2 共有 6 种情况,就是说前 4 局 2:2,最后一局获胜,前 4 局中,用排列方法,从 4 局中选 B.15 种 C. 20 种 D. 30 种 )

2 局获胜, 6 种情况.甲一共就 1+3+6=10 种情况获胜.所以加上乙获胜情况, 有 共有 10+10=20 种情况.故选 C. 7.【2012 高考真题山东理 11】现有 16 张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡 片各 4 张.从中任取 3 张, 要求这 3 张卡片不能是同一种颜色, 且红色卡片至多 1 张.不同取 法的种数为 (A)232 (B)252 (C)472 (D)484

8.【2012 高考真题辽宁理 5】一排 9 个座位坐了 3 个三口之家,若每家人坐在一起,则不同 的坐法种数为 (A)3×3! (B) 3×(3!)
3

(C)(3!)

4

(D) 9!

9.【2012 高考真题湖北理 5】设 a ? Z ,且 0 ? a ? 13 ,若 512012 ? a 能被 13 整除,则 a ? A.0 C.11 B.1 D.12

【答案】D 【解析】由于
[Z_xx_k.Com]

51=52-1, (52 ?1)

2012

0 1 2011 ? C2012 522012 ? C2012 522011 ? ...? C2012 521 ?1 ,

又由于 13|52,所以只需 13|1+a,0≤a<13,所以 a=12 选 D. 10.【2012 高考真题北京理 6】从 0,2 中选一个数字.从 1.3.5 中选两个数字,组成无重 复数字的三位数.其中奇数的个数为( )

A. 24

B. 18

C. 12

D. 6

11.【2012 高考真题安徽理 7】 ( x ? 2)(
2

1 ? 1)5 的展开式的常数项是( 2 x



( A) ? 3
【答案】D

( B ) ?2

(C ) ?

( D) ? [

【解析】第一个因式取 x ,第二个因式取

2

1 1 得: 1? C5 (?1)4 ? 5 , 2 x

5 第 一 个 因 式 取 2 , 第 二 个 因 式 取 (?1)5 得 : 2 ? (? 1) ? ? 2 展 开 式 的 常 数 项 是

5 ? (?2) ? 3 .
12.【2012 高考真题安徽理 10】6 位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两 位同学之间最多交换一次, 进行交换的两位同学互赠一份纪念品, 已知 6 位同学之间共进行 了 13 次交换,则收到 4 份纪念品的同学人数为( )

( A) 1 或 3

(B) 1 或 4

(C ) 2 或 3

( D) 2 或 4

13.【2012 高考真题天津理 5】在 ( 2 x ?
2

1 5 ) 的二项展开式中, x 的系数为 x

(A)10 (C)40 【答案】D

(B)-10 (D)-40

k 2 5? k k k 5? k 10 ?3 k (?1) k , 令 【 解析】 二项展 开式的通 项为 Tk ?1 ? C 5 (2 x ) (? ) ? C 5 2 x

1 x

3 10 ? 3k ? 1 ,解得 3k ? 9, k ? 3 ,所以 T4 ? C5 22 x(?1) 3 ? ?40x ,所以 x 的系数为 ? 40 ,

选 D. 14.【2012 高考真题全国卷理 11】将字母 a,a,b,b,c,c,排成三行两列,要求每行的字 母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有 (A)12 种(B)18 种(C)24 种(D)36 种

15【2012 高考真题重庆理 15】某艺校在一天的 6 节课中随机安排语文、数学、外语三门文 化课和其他三门艺术课各 1 节, 则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔 1 节艺术课的概 率为 (用数字作答).

16. 【 2012

高 考 真 题 浙 江 理
2 5

14 】 若 将 函 数

f ? x ? ? x5 表 示 为

f ? x ? ? a0 ? a1 ?1 ? x ? ? a2 ?1 ? x ? ? ? ? a5 ?1 ? x ? , 其中 a 0 , a1 , a 2 ,…, a 5 为实数,则 a 3 =

______________. 【答案】10 【解析】法一:由等式两边对应项系数相等.
? a5 ? 1 ? ? a3 ? 10 . 即: ?C54 a5 ? a4 ? 0 ?C 3 a ? C1 a ? a ? 0 4 4 3 ? 5 5

法二:对等式: f ? x ? ? x5 ? a0 ? a1 ?1 ? x ? ? a2 ?1 ? x ? ? ?? a5 ?1 ? x ? 两边连续对 x 求导三
2 5

次得:60 x2 ? 6a3 ? 24a4 (1 ? x) ? 60a5 (1 ? x) 2 , 再运用赋值法, x ? ?1 得:60 ? 6a3 , a3 ? 10 . 令 即

18.【2012 高考真题上海理 5】在 ( x ? 【答案】 - 160

2 6 ) 的二项展开式中,常数项等于 x



6? k 6? k k 6? k 6? 2 k (?2) k , 令 【 解 析 】 二 项 展 开 式 的 通 项 为 Tk ?1 ? C 6 x (? ) ? C 6 x

2 x

3 6 ? 2k ? 0 ,得 k ? 3 ,所以常数项为 T4 ? C6 (?2) 3 ? ?160 。
2 19.【2012 高考真题广东理 10】 ( x ?

1 6 ) 的展开式中 x?的系数为______. (用数字作 x

答) 【答案】20

r 2 6?r r r 12 ? 3 r 3 【解析】 Tr ?1 ? C6 ( x ) ( ) ? C6 x ,令 12 ? 3r ? 3 得 r ? 3 ,所以 C6 ? 20 .

1 x

21.【2012 高考真题福建理 11】 (a+x) 的展开式中 x 的系数等于 8,则实数 a=_________. 【答案】2.

4

3

3 3 r 【解析】根据公式 Tr ?1 ? Cn a n?r br 得,含有 x 的项为 T4 ? C4 ax3 ? 8x 3 ,所以 a ? 2 .

22. 【2012 高考真题全国卷理 15】 若 等,则该展开式中 的系数为_________.

的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相

【2011 年高考试题】

? x 2 ? 2 1.(2011 年高考天津卷理科 5)在 ? ? 2 ? x ? 的二项展开式中, x 的系数为( ? ? ? 15 15 3 3 A. ? B. C. ? D. 4 8 8 4
【答案】C
r 【解析】因为 Tr ?1 ? C6 ? (

6



x 6? r 2 6 ) ? (? ) ,所以容易得 C 正确. 2 x

3. (2011 年高考湖北卷理科 11) ( x ? 用数值表示) 答案:17
r 解析:由 Tr ?1 ? C18 ? x18? r ? (?

1 3 x

)18 的展开式中含 x15 的项的系数为

(结果

3 18 ? r 1 r )r ? (? )r ? C18 ? x 2 3 3 x

1

3 令 18 ? r ? 15 ,解得 r=2,故其 2

1 2 系数为 (? )2 ? C18 ? 17. 3
4.(2011 年高考全国卷理科 13) (1- x )20 的二项展开式中,x 的系数与 x9 的系数之差

为 .

5.(2011 年高考江苏卷 23)(本小题满分 10 分) 设整数 n ? 4 ,P (a, b) 是平面直角坐标系 xOy 中的点, 其中 a, b ?{1, 2,3, ?, n}, a ? b (1)记 An 为满足 a ? b ? 3 的点 P 的个数,求 An ; (2)记 Bn 为满足 ( a ? b) 是整数的点 P 的个数,求 Bn

1 3

【2010 年高考试题】 1.(2010 全国卷 2 理数) (6)将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的 信封中.若每个信封放 2 张,其中标号为 1,2 的卡片放入同一信封,则不同的方法共有 (A)12 种 (B)18 种 (C)36 种 (D)54 种

【答案】B 【解析】标号 1,2 的卡片放入同一封信有 种方法;其他四封信放入两个信封,每个信

封两个有

种方法,共有

种,故选 B.

2.(2010 江西理数)6. A.-1 B.0

? 2 ? x ? 展开式中不含 x 项的系数的和为( ..
8
4



C.1

D.2

3.(2010 重庆理数)(9)某单位安排 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班,每天 1 人,每人值班 1 天,若 7 位员工中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在 10 月 1 日,丁不排在 10 月 7 日,则 不同的安排方案共有 A. 504 种 B. 960 种 C. 1008 种 D. 1108 种

4.(2010 四川理数) (10)由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且 1、3 都不与 5 相 邻的六位偶数的个数是 (A)72 (B)96 (C) 108 (D)144

解析:先选一个偶数字排个位,有 3 种选法 w_w_wu.c om
2 2 ①若 5 在十位或十万位,则 1、3 有三个位置可排,3 A3 A2 =24 个 2 2 ②若 5 排在百位、千位或万位,则 1、3 只有两个位置可排,共 3 A2 A2 =12 个

算上个位偶数字的排法,共计 3(24+12)=108 个 答案:C

5.(2010 天津理数)(10) 如图,用四种不同颜色给图中的 A,B,C,D,E,F 六个点涂色, 要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同颜色,则不同的 涂色方法用 (A)288 种 (B)264 种 (C)240 种 (D)168 种 【答案】D 【解析】 本题主要考查排列组合的基础知识与分类讨论思想, 属于难题。
4 (1) B,D,E,F 用四种颜色,则有 A4 ?1?1 ? 24 种涂色方法; 3 3 (2) B,D,E,F 用三种颜色,则有 A4 ? 2 ? 2 ? A4 ? 2 ?1? 2 ? 192 种涂色方法; 2 (3) B,D,E,F 用两种颜色,则有 A4 ? 2 ? 2 ? 48 种涂色方法;

所以共有 24+192+48=264 种不同的涂色方法。 6.(2010 湖北理数)8、现安排甲、乙、丙、丁、戌 5 名同学参加上海世博会志愿者服 务活动,每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加。甲、 乙不会开车但能从事其他三项工作,丙丁戌都能胜任四项工作,则不同安排方案的种数是 A.152 B.126 C.90 D.54

9 7.(2010 全国卷 2 理数) (14)若 ( x ? ) 的展开式中 x3 的系数是 ?84 ,则 a ?

a x



【答案】1
3 【解析】展开式中 x3 的系数是 C9 (?a)3 ? ?84a3 ? ?84,?a ? 1 .

9.(2010 江西理数)14.将 6 位志愿者分成 4 组,其中两个各 2 人,另两个组各 1 人,分赴 世博会的四个不同场馆服务,不同的分配方案有 种(用数字作答) 。

【答案】 1080 【解析】考查概率、平均分组分配问题等知识,重点考查化归转化和应用知识的意识。 先分组,考虑到有 2 个是平均分组,得 两个两人组 得:
2 2 1 1 C6 C4 C2C1 4 ? 2 ? A4 ? 1080 2 A2 A2 2 2 C6 C4 C1C1 两个一人组 2 2 1 ,再全排列 2 A2 A2

11.(2010 天津理数) (11)甲、乙两人在 10 天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图, 中间一列的数字表示零件个数的十位数, 两边的数字表示零件个数的个位数, 则这 10 天甲、 乙两人日加工零件的平均数分别为 和 。

12.(2010 湖北理数)11、在(x+ 项。 【答案】6

4

3y ) 20 的展开式中,系数为有理数的项共有_______

r r 【解析】 二项式展开式的通项公式为 Tr ?1 ? C20 x20?r ( 4 3y)r ? C20 ( 4 3)r x20?r yr (0 ? r ? 20)

要使系数为有理数,则 r 必为 4 的倍数,所以 r 可为 0.、4、8、12、16、20 共 6 种,故 系数为有理数的项共有 6 项.


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