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云南2014.1高中数学学业水平考试卷及答案


【考试时间:2014 年 1 月 12 日上午 8:30——10:10,共 100 分钟】

云南省 2014 年 1 月普通高中学业水平考试

数学试卷
选择题(共 51 分)
一、选择题:本大题共 17 个小题,每小题 3 分,共 51 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项符合题目要求,请在答题卡相应的位置上填涂。 1. 设集合 M = { 1,2,3}, N = { 1},则下列关系正确的是( A. N ? M B. N ? M C. N ? M D. N ? M
?

)

2. 有一个几何体的三视图如下图所示,这个几何体是一个( A.棱台 B.棱锥 C.棱柱 D.圆柱
正视图 侧视图

)

俯视图

uuur uur uu u r 3. 已知向量 OA=(1,0) , OB=(1,1) ,则 AB 等于(

) D. 5 )

A.1

B. 2

C.2

4.如图是某运动员在某个赛季得分的茎叶统计图,则该运动员得分的中位数是( A.2 C.22 B.3 D.23 )
1 2 3 2 5 2 3 5 6 1 (第 4 题) 开始

x=0

5.函数 y ? x ? 1 的零点是( A.0 B. ? 1

C. (0,0)

D. (?1,0) )


x=x+1

6.已知一个算法,其流程图右图,则输出的结果是( A.10 B.11 C.8 D.9

x>9? 是

7.在 ?ABC 中,M 是 BC 的重点,则 AB ? AC 等于(

)
输出 x

1 AM A. 2

B. AM

C.

2 AM

D. MA
结束

数学试卷·第 1 页 (共 7 页)

8.如图 ,在边长为 2 的正方形内有一内切圆,现从正方形内取一点 P,则点 P 在圆内 的概率为( A. C.
4 ?? 4

) B.
4

? 4

?

D. ?

9.下列函数中,以 A. y ? sin
x 2

? 为最小正周期的是( 2
B. y ? sin x

) C. y ? sin 2 x D. y ? sin 4 x

10. 在 ?ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 A ? 135? , B ? 30? , a ? 2 , 则 b 等于( A.1 ) B. 2 C.

3

D.2 )

11.同时抛投两枚质地均匀的硬币,则两枚硬币均正面向上的概率为( A.
1 4

B.

1 2

C.

3 4

D. 1 ) D.重合

12.直线 2 x ? y ? 1 ? 0 与直线 y ? 1 ? 2( x ? 1) 的位置关系是( A.平行 B. 垂直 ) C. C. 相交但不垂直

13.不等式 x( x ? 3) ? 0 的解集是( A. ?x | x ? 0? B.

?x | x ? 3?

?x | 0 ? x ? 3?

D.

?x | x ? 0或x ? 3?

14.已知 f ( x) ? x5 ? x4 ? x3 ? x2 ? x ? 1 ,用秦九韶算法计算 f (3) 的值时,首先计算的最内 层括号内一次多项式 v1 的值是( A. 1 B. 2 ) C. 3 D. 4 )

15. 已知函数 f ( x) ? ? x3 ,则下列说法中正确的是( A. f ( x) 为奇函数,且在 ? 0, ??? 上是增函数 B. f ( x) 为奇函数,且在 ? 0, ??? 上是减函数 C. f ( x) 为偶函数,且在 ? 0, ??? 上是增函数 D. f ( x) 为偶函数,且在 ? 0, ??? 上是减函数

16. 已知数列 ?an ? 是公比为实数的等比数列,且 a1 ? 1 , a5 ? 9 ,则 a3 等于(
数学试卷·第 2 页 (共 7 页)

)

A.2

B. 3

C. 4

D. 5 )

17.已知直线 l 过点 P( 31) , ,圆 C: x2 ? y 2 ? 4 ,则直线 l 与圆 C 的位置关系是( A.相交 B. 相切 C.相交或相切 D.相离

非选择题(共 49 分)
二、 填空题:本大题共 5 个小题,每小题 3 分,共 15 分。请把答案写在答题卡相应的位置 上。 18.某工厂生产 A、B、C 三种不同型号的产品,产品数量之比依次为 2:3:5,现用分层抽 样的方法抽出一个容量为 n 的样本,其中 A 种型号产品有 16 件,那么此样本的容量 n= 。 。 。

19.直线 x ? y ? 1 ? 0 的纵截距是 20.化简 sin(? ? x) =

ì x? 1 ? ? ? 21. 若实数 x,y 满足约束条件: í y ? 2 ? ? ? ? ? 2x + y - 2

,则 z = x + 2 y 的最大值等于
0



22.函数 y ? 2x ? log2 x 在区间 ?1, 4? 上的最大值是



三、解答题:本大题共 4 小题,共 34 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
23. (本小题满分 8 分)已知函数 f ( x) = cos2 x - sin 2 x .
p (1)求 f ( ) 的值及 f ( x) 的最大值; 4

(2)求 f ( x) 的递减区间。

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24. (本小题满分 8 分) 如图所示,在三棱锥 P-ABC 中,E、F 分别为 AC、BC 的中点。 (1)证明: EF / /平面PAB ; (2)若 PA ? PB , CA ? CB ,求证: AB ? PC 。
S

A F

B

E

C

25. (本小题满分 8 分) 某商场的一种商品每件进价为 10 元,据调查知每日销售量 m(件)与销售单价 x(元) 之间的函数关系为 m ? 70 ? x ,10 ? x ? 70 。设该商场日销售这种商品的利润为 y (元) 。 (单件利润=销售单价 ? 进价;日销售利润=单件利润 ? 日销售量) (1)求函数 y ? f ( x) 的解析式; (2)求该商场销售这种商品的日销售利润的最大值。

26. (本小题满分 10 分)
1 已知正项数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? (an ? 1) 2 (n ? N * ). 4

(1)求 a1 、 a2 ; (2)求证:数列 ?an ? 是等差数列; (3)令 bn ? an ?19 ,问数列 ?bn ? 的前多少项的和最小?最小值是多少?

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云南省 2014 年 1 月普通高中学业水平考试 数学参考答案
一、选择题(每小题 3 分,共 54 分) 题号 1 2 3 A 4 D 5 B 6 A 7 C 8 C 9 D 10 11 12 13 14 15 16 17 A A A C D B B C

答案 D B

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 题号 答案 三、解答题 23.(1) f ( x) = cos2 x - sin 2 x = cos 2x
p p ? f ( ) = cos = 0 ; f ( x) 的最大值为 1。………………………………………………4 分 4 2

18 80

19 -1

20 sinx

21 5

22 18

(2)由 2k? ? 2 x ? 2k? ? ? (k ? Z ) 得 k? ? x ? k ? ? , k ? Z
2

?

? 7 ? ? ? f ( x) 的递减区间是 ? 2k? ? , 2k? ? ? ? (k ? Z ) …………………………………8 分 6 6 ? ?
24(1) E、F 分别是 AC、BC 的中点,

?EF//AB, ………………………………………………………………………………1 分
又 EF ? 平面 PAB , AB ? 平面 PAB, …………………………………………………………………2 分 ………………………………………………………………………3 分

? EF//平面 PAB…………………………………………………………………………4 分
(2)取的中点 O,连结 OP、OC, PA=PB,? AB ? OP ; ………………………………………………………5 分 又 CA=CB,? AB ? OC ; ……………………………………………………6 分 OP ? OC ? O 又 ,? AB ? 平面POC ; …………………………………………7 分 又 PC ? 平面POC ,? AB ? PC. ……………………………………………8 分
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25.解:(1) y ? f ( x) ? m( x ?10) ? (70 ? x)( x ?10) ? ? x2 ? 80x ? 700(10 ? x ? 70) ….4 分 (2) y ? ? x2 ? 80x ? 700 ? ?( x ? 40)2 ? 900 …………………………………………6 分 当 x ? 40 时, y有最大值900 。 ……………………………………………………7 分 所以,该商场销售这种商品的日销售利润的最大值为 900 元.
26.解:(1)由已知条件得: a1 ?

………………8 分

1 (a1 ? 1) 2 .? a1 ? 1. 4

又有 a1 ? a2 ?

1 2 (a2 ? 1) 2 .即a2 -2a2 ? 3 ? 0 ,解得 a2 ? ?1(舍)或a2 =3 4

1 (2)由 Sn ? (an ? 1) 2 得 4 1 2 n ? 2时:Sn - 1 ? ( an -? 1 1) 4 1 1 ? Sn -Sn -1 ? [(an ? 1) 2 ? (an -1 ? 1) 2 ] ? [an 2 ? an -12 ? 2(an ? an -1 )] 4 4

即 4an ? an 2 ? an-12 ? 2an ? 2an-1 ,?an2 ? an-12 ? 2an ? 2an-1 ? 0
。 ?(an ? an-1 )(an ? an-1 ? 2) ? 0 ,?an ? an-1 ? 2 ? 0即an ? an-1 =2 (n ? 2)

所以数列 ?an ? 是公差为 2 的等差数列。 (3)由(2)知 an ? 1 ? 2(n ?1) ? 2n ?1 。

?bn ? an ? 19 ? 2n ? 20 。易知数列 ?bn ? 是公差为 2,首项为 ?18 的等差数列。
所以数列 ?bn ? 的前 n 项的和 Tn ?
n(b1 ? bn ) n(?18 ? 2n ? 20) 19 19 ? ? n 2 ? 19n ? (n ? ) 2 ? ( ) 2 2 2 2 2

当 n ? 9或n ? 10 时 Tn 有最小值 ?90 。即数列 ?bn ? 的前 9 项的和以及前 10 项的和最小值是-90。 另解: bn ? an ?19 ? 2n ? 20, 注意到数列 ?bn ? 是公差为 2 的递增等差数列,且 b10 ? 0, ,故数 列 ?bn ? 的前 9 项的和以及前 10 项的和最小值是-90。

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