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【全国百强校】黑龙江省佳木斯市第一中学2017届高三下学期第三次

【全国百强校】黑龙江省佳木斯市第一中学 2017 届高三下学期第三 次模拟考试数学(文)试题 一、解答题 1.已知 (Ⅰ)求 (Ⅱ)在 ,其中 的单调递减区间; 中,角 所对的边分别为 共线,求边长 和 的值. ;(Ⅱ) , , ,且向量 与 , , . 【答案】(Ⅰ) 【解析】 . 试题分析:(Ⅰ)先利用平面向量数量积公式结合二倍角及两角和与差的余弦公式得到 的表达式,再利用余弦函数的图象与性质求得减区间;(Ⅱ)先根据 求得角 ,然 后由余弦定理得到 的关系,然后由向量共线结合正弦定理得到 的关系,从而联立求得 的值. 试题解析:(Ⅰ)由题意知 在 令 的单调递减区间 (Ⅱ) 即 . =7. 共线,所以 . , , ,又 , ,得 上单调递减, . ,由余弦定理得 因为向量 由正弦定理得 与 . 考点:1、向量数量积公式;2、二倍角;3、两角和与差的余弦;4、余弦函数的图象与性质; 5、正余弦定理. 2.已知某中学联盟举行了一次“盟校质量调研考试” 活动,为了解本次考试学生的某学科成绩 情况,从中抽取部分学生的分数(满分为 分,得分取正整数,抽取学生的分数均在 之内) 作为样本(样本容量为 )进行统计,按照 的分组作出 频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(茎叶图中仅列出了得分在 的数据). (1)求样本容量为 和频率分布直方图中的 、 的值; (2)在选取样本中,从成绩在 分以上(含 分) 的学生随机抽取 名学生参加“省级学科基 础知识竞赛”,求所抽取的 名学生中恰有一人得分在 内的概率. 【答案】(1) 【解析】 试题分析:(1)由茎叶图可知,得分在 由频率分布直方图可知得分在 的频率为 的人数为 人,得分在 ,所以样本容量 的人数为 人, , 内的学 ;(2) . ,由各矩形的面积和为 ,可求出 ;(2)由题意可知,分数在 生有 人,记这 人分别为 ,分数在 内的学生有 人,记这 人分别为 ,列 出从这 人中抽取两人的所有基本事件,找出符合条件的基本事件,由古典概型公式计算即 可. 试题解析:(1)由题意可知,样本容量 . (2)由题意可知,分数在 内的学生有 人,记这 人分别为 内的学生有 人,记这 人分别为 ,抽取 名学生的所有情况有 , . 其中 名学生的分数恰有一人在 所抽取 名学生中恰有一人得分在 考点:1.频率分布直方图;2.古典概型. 【名师点睛】本题考查频率分布直方图与古典概型,中档题;利用频率分布直方图解题的时, 注意其表达的意义,同时要理解频率是概率的估计值这一基础知识;在利用古典概型解题时, 要注意列出所有的基本事件,千万不可出现重、漏的情况. 3.已知 ,函数 在区间 , 上的最小值; 在点 处的切线与 轴垂直?若存在,求出 (其中 为自然对数的底数). 内的情况有 种, 内的概率 . ,分数在 种,分别为: , , (1)求函数 (2)是否存在实数 ,使曲线 的值;若不存在,请说明理由. 【答案】(1)见解析;(2) 不存在 【解析】解(1):∵ 令 ①若 ②若 当 ③若 ,得 ,则 ,当 时, ,则 . , 在区间 时, ,函数 ,函数 上单调递增. ,函数 在区间 在区间 在区间 上单调递增, 上单调递减. ……6 分 上单调递减, ,∴ . (2)解: ∵ , ,高☆考♂资♀源*网 由(1)可知,当 . 此时 当 曲线 而 故不存在 在区间 , 在点 ,即方程 ,使曲线 上的最小值为 , ,即 . 时, ,∴ . 处的切线与 轴垂直等价于方程 无实数解. 在 有实数解. 处的切线与 轴垂直……12 分 4.在直三棱柱 中, 是 的中点, 是 上一点. (1)当 (2)若 时,证明: ,求三棱锥 平面 ; 的体积. 【答案】(1)见解析(2) 【解析】试题分析:(1)证明 平面 ;(2)若 体积. 试题解析:(1)证明:因为 在直三棱柱 因为 在矩形 所以 (或通过计算 所以 ,因为 平面 中,因为 ,所以 中,因为 ,所以 平面 与两线 ,则 垂直,利用线面垂直的判定定理得出 ,可求 ,即可求三棱锥 是 底面 的中点,所以 , 底面 平面 , ,所以 ,所以 , . ,因为 , ,所以 ,得到 , 为直角三角形) ,所以 , ,在 , 平面 . (2)解:因为 因为 是 所以 因为 所以 所以 5.已知椭圆 直线 的中点,所以 , ,所以 ,所以 中, , , , . 的离心率为 ,其过点 交椭圆于两点 . ,其长轴的左右两个端点分别为 , (1)求椭圆的标准方程; (2)设直线 【答案】(1) 的斜率分别为 (2) ,且过点 ,得 的值. ,列出方程组,求出 , ,若 ,求 的值. 【解析】试题分析:(1)由椭圆的离心率为 由此能求出椭圆方程;(2)联立方程 ,由此利用根的判别 式、韦达定理、直线方程,结合已知条件能求出 试题解析:(1)由题意的 ,解得 , 所以椭圆的方程为 . (2)设 ,联立方程 ,得 , 所以判别式 因为 由题意知 , ,所以 , , 因为 ,即 ,得 , 又 ,所以 ,同理 ,即 ,解得 , . , , 代入上式,解得 所以 又因为 ,所以 (舍去),所以 【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程、韦达定理以及直线与椭圆的位置关系,属 于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤;①作判断:根据条件判断椭圆的焦点在 轴上, 还是在 轴上,还是两个坐标轴都有可能;②设方程:根据上述判断设方程 或 ;③找关系:根据已知条件,建立关于 、 、 的方 程组;④得方程:解方程组,将解代入所设方程,即为所求. 6.选修 4-5:不等式选讲 已知关于 的不等式 (1)当 时,求此不等式的解集; . (2)若此不等式 的解集为,求实数 的取值范围. 【答案】(1) 或 ,(2) 【解析】试题分析:(1)当 时,由条件利用