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广东省深圳市2017届高三下学期第一次调研考试数学(文)试题及答案


深圳市 2017 年高三年级第一次调研考试 数学(理科)
第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1.若集合 A ? ?2, 4,, 6,8? , B ? x | x 2 ? 9 x ? 18 ? 0 ,则 A ? B ? ( A.

?

?



?2, 4?

B. ?4, 6?

C. ?6,8?

D. ?2,8?

2.若复数 A. -3

a?i ? a ? R ? 为纯虚数,其中 i 为虚数单位,则 a ? ( 1 ? 2i
B. -2 C.2 D.3



3. 袋中装有大小相同的四个球,四个球上分别标有数字“2” , “3” , “4” , “6”.现从中随机选取三 个球,则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是( A. )

1 4
3

B.

1 3

C.

1 2

D.

2 3


4.设 a ? 0.2 , b ? log 0.3 0.2, c ? log 3 0.2 ,则 a, b, c 大小关系正确的是( A. a ? b ? c B. b ? a ? c C. b ? c ? a

D. c ? b ? a

5. ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 cos C ? ( A. )

1 , a ? 1, c ? 2 ,则 ?ABC 的面积为 4

15 4

B.

15 8

C.

1 4

D.

1 8


6.若双曲线的焦点到渐近线的距离是焦距的

5 ,则该双曲线的离心率为( 5
D. 5

A.

2 5 5

B.

5 2

C. 2

7.将函数 y ? sin ? 6 x ?

? ?

? ?? 横坐标伸长到原来的 3 倍, 再向右平移 个 ? 的图象上各点的纵坐标不变, 8 4?
) C. ?

单位,得到的函数的一个对称中心是( A. ?

?? ? ,0? ?2 ?

B. ?

?? ? ,0? ?4 ?

?? ? ,0? ?9 ?


D. ?

?? ? ,0? ? 16 ?

8. 函数 f ? x ? ?

2x ? 1 ?cos x 的图象大致是( 2x ?1

A.

B.

C.

D.

9.祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家,他在实践的基础上提出了体积计算的原理: “幂 势既同,则积不容异”.意思是,如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等,那么这两个 几何体的体积相等.此即祖暅原理.利用这个原理求球的体积时,需要构造一个满足条件的几何体, 已知该几何体三视图如图所示, 用一个与该几何体的下底面平行相距为 h ? 0 ? h ? 2 ? 的平面截该几何 体,则截面面积为 ( )

A. 4?

B. ? h

2

C. ? ? 2 ? h ?

2

D. ? ? 4 ? h ?

2

10. 执行如图所示的程序框图,若输入 p ? 2017 ,则输出 i 的值为( A. 335 B.336 C. 337 D.338



11. 已知棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,球 O 与该正方体的各个面相切,则平面 ACB1 截此 球所得的截面的面积为( A. ) C.

8? 3

B.

5? 3

4? 3

D.

2? 3


12. 若 f ? x ? ? sin 3 x ? a cos 2 x 在 ? 0, ? ? 上存在最小值,则实数 a 的取值范围是(

A. ? 0,

? ?

3? ? 2?

B. ? 0, ? 2

? ?

3? ?

C. ? , ?? ? ?2 ?

?3

?

D. ? 0, ?? ?

第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上
13.已知向量 p ? ?1, 2 ? , q ? ? x,3? ,若 p ? q ,则 p ? q ? 14. 已知 ? 是锐角,且 cos ? ? ? .

? ?

??
2

?? 3?
2



15.直线 ax ? y ? 3 ? 0 与圆 ? x ? 2 ? ? ? y ? a ? ? 4 相交于 M 、N 两点, 若 MN ? 2 3 , 则实数 a 的 取值范围是 .

? x? y?4?0 ? 16.若实数 x, y 满足不等式组 ? 2 x ? 3 y ? 8 ? 0 ,目标函数 z ? kx ? y 的最大值为 12,最小值为 0,则 ? x ?1 ?
实数 k ? .

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.设 S n 为数列 ?an ? 的前 n 项和,且 S n ? 2an ? n ? 1 n ? N * , bn ? an ? 1 . (1)求数列 ?bn ? 的通项公式; (2)求数列 ?nbn ? 的前 n 项和 Tn . 18. 如图,四边形 ABCD 为菱形,四边形 ACEF 为平行四边形,设 BD 与 AC 相交于点 G ,

?

?

AB ? BD ? 2, AE ? 3, ?EAD ? ?EAB .

(1)证明:平面 ACEF ? 平面 ABCD ;

(2)若 ?EAG ? 60 ,求三棱锥 F ? BDE 的体积.
0

19.某市为了鼓励市民节约用电,实行“阶梯式”电价,将该市每户居民的月用电量划分为三档,月 用电量不超过 200 度的部分按 0.5 元/度收费,超过 200 度但不超过 400 度的部分按 0.8 元/度收费, 超过 400 度的部分按 1.0 元/度收费. (1)求某户居民用电费用 y (单位:元)关于月用电量 x (单位:度)的函数解析式; (2)为了了解居民的用电情况,通过抽样,获得了今年 1 月份 100 户居民每户的用电量,统计分析 后得到如图所示的频率分布直方图, 若这 100 户居民中, 今年 1 月份用电费用不超过 260 元的点 80%, 求 a, b 的值;

(3)在满足(2)的条件下,估计 1 月份该市居民用户平均用电费用(同一组中的数据用该组区间 的中点值作代表) .

3 x2 y 2 20.已成椭圆 C : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 .其右顶点与上顶点的距离为 5 ,过点 3 a b
P ? 0, 2 ? 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点.
(1)求椭圆 C 的方程; (2)设 M 是 AB 中点,且 Q 点的坐标为 ?

?2 ? , 0 ? ,当 QM ? AB 时,求直线 l 的方程. ?5 ?

21.已知函数 f ? x ? ? ? ax ? 1? ln x ? ax ? 3, a ? R, g ? x ? 是 f ? x ? 的导函数, e 为自然对数的底数. (1)讨论 g ? x ? 的单调性; (2)当 a ? e 时,证明: g e ? a ? 0 ;

? ?

(3)当 a ? e 时,判断函数 f ? x ? 零点的个数,并说明理由.

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中 xOy 中,曲线 E 的参数方程为 ? 的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)写出曲线 E 的普通方程和极坐标方程; (2)若直线 l 与曲线 E 相交于点 A、B 两点,且 OA ? OB ,求证:

? ? x ? 2 cos ? ( ? 为参数) ,以原点 O 为极点, x 轴 y ? 3 sin ? ? ?

1 OA
2

?

1 OB
2

为定值,并求出

这个定值. 23.选修 4-5:不等式选讲 已知 f ? x ? ? x ? a , g ? x ? ? x ? 3 ? x . (1)当 a ? 1 ,解不等式 f ? x ? ? g ? x ? ; (2)对任意 x ? ? ?1,1? , f ? x ? ? g ? x ? 恒成立,求 a 的取值范围.

试卷答案 一、选择题
1-5: BBCBA 6-10: DACDC 11、12:DD

二、填空题
13. 5 2 14.

2 2 3

15. ? ??, ? ? 3

? ?

4? ?

16. 3

三、解答题
17.解:(1)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2a1 ? 1 ? 1 ? 2a1 ,易得 a1 ? 0, b1 ? 1 ; 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? 2an ? n ? 1 ? ? ? 2an ?1 ? ? n ? 1? ? 1? ?, 整理得 an ? 2an ?1 ? 1 , ∴ bn ? an ? 1 ? 2 ? an ?1 ? 1? ? 2bn ?1 , ∴数列 ?bn ? 构成以首项为 b1 ? 1 ,公比为 2 等比数列, ∴数列 ?bn ? 的通项公式 bn ? 2n ?1 ? n ? N *? ;

(2)由(1)知 bn ? 2
0 1

n ?1

,则 nbn ? n?2
2

n ?1

, ,①

则 Tn ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? n ? 2
1 2 3

n ?1

∴ 2Tn ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? n ? 2 ,②
n

由①-②得: ?Tn ? 1? 2 ? 1? 2 ? 1? 2 ? ? ? 1? 2
0 1 2

n ?1

? n ? 2n

?

1 ? 2n ? n ? 2n ? 2n ? 1 ? n ? 2n , 1? 2

∴ Tn ? ? n ? 1? 2n ? 1 . 18.解: (1)证明:

连接 EG , ∵四边形 ABCD 为菱形, ∵ AD ? AB, BD ? AC , DG ? GB , 在 ?EAD 和 ?EAB 中,

AD ? AB, AE ? AE , ?EAD ? ?EAB ,
∴ ?EAD ? ?EAB , ∴ ED ? EB , ∴ BD ? EG , ∵ AC ? EG ? G , ∴ BD ? 平面 ACFE , ∵ BD ? 平面 ABCD , ∴平面 ACFE ? 平面 ABCD ;

(2)解法一:连接 EG, FG ,∵ BD ? 面 ACFE , FG ? 平面 ACFE ,∴ FG ? BD , 在平行四边形 ACFE 中,易知 ?EGA ? 60 , ?FGC ? 30 ,
0 0

∴ ?EGF ? 90 ,即 FG ? EG ,又因为 EG, BD 为平面 BDE 内的两条相交直线,所以 FG ? 平面
0

BDE ,所以点 F 到平面 BDE 的距离为 FG ? 3 ,
∵ S ?BDE ?

1 ?2? 3 ? 3 , 2
1 3

3? 3. ∴三棱锥 F ? BDE 的体积为 ? 3 ?
解法二:∵ EF / / GC , EF ? 2 GC ,∴点 F 到平面 BDE 的距离为点 C 到平面 BDE 的距离的两倍, 所以 VF ? BDE ? 2VC ? BDE , 作 EH ? AC ,∵平面 ACFE ? 平面 ABCD, EH ? 平面 ABCD , ∴ VC ? BDE ? VE ? BCD ?

1 1 3 3 ? ? 2? 3 ? ? , 3 2 2 2

∴三棱锥 F ? BDE 的体积为 3 . 19.解析: (1)当 0 ? x ? 200 时, y ? 0.5 x ; 当 200 ? x ? 400 时, y ? 0.5 ? 200 ? 0.8 ? ? x ? 200 ? ? 0.8 x ? 60 , 当 x ? 400 时, y ? 0.5 ? 200 ? 0.8 ? 200 ? 1.0 ? ? x ? 400 ? ? x ? 140 ,

? 0.5 x, 0 ? x ? 200 ? 所以 y 与 x 之间的函数解析式为: y ? ?0.8 x ? 60, 200 ? x ? 400 ; ? x ? 140, x ? 400 ?
(2)由(1)可知:当 y ? 260 时, x ? 400 ,则 P ? x ? 400 ? ? 0.80 , 结合频率分布直方图可知: ? ∴ a ? 0.0015, b ? 0.0020 ;

?0.1 ? 2 ?100b ? 0.3 ? 0.8 , ? 100a ? 0.05 ? 0.2

(3)由题意可知: 当 x ? 50 时, y ? 0.5 ? 50 ? 25 ,∴ P ? y ? 25 ? ? 0.1 , 当 x ? 150 时, y ? 0.5 ? 150 ? 75 ,∴ P ? y ? 75 ? ? 0.2 , 当 x ? 250 时, y ? 0.5 ? 200 ? 0.8 ? 50 ? 140 ,∴ P ? y ? 140 ? ? 0.3 , 当 x ? 350 时, y ? 0.5 ? 200 ? 0.8 ? 150 ? 220 ,∴ P ? y ? 220 ? ? 0.2 , 当 x ? 450 时, y ? 0.5 ? 200 ? 0.8 ? 200 ? 1.0 ? 50 ? 310 ,∴ P ? y ? 310 ? ? 0.15 , 当 x ? 550 时, y ? 0.5 ? 200 ? 0.8 ? 200 ? 1.0 ? 150 ? 410 ,∴ P ? y ? 410 ? ? 0.05 , 故 y ? 25 ? 0.1 ? 75 ? 0.2 ? 140 ? 0.3 ? 220 ? 0.2 ? 310 ? 0.15 ? 410 ? 0.05 ? 170.5 . 20.解: (1)由题意可知: a ? b ? 5 ,又 e ?
2 2

c 3 2 ? , a ? b2 ? c2 , a 3

∴ a ? 3, b ?

2 ,所以椭圆 C 的方程为 C :

x2 y 2 ? ?1; 3 2

(2)①若直线 l 的斜率不存在,此时 M 为原点,满足 QM ? AB ,所以,方程为 x ? 0 , ②若直线 l 的斜率存在,设其方程为 y ? kx ? 2, A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y 2 ? , 将直线方程与椭圆方程联立可得

? y ? kx ? 2 ? 2 ,即 ? 2 ? 3k 2 ? x 2 ? 12kx ? 6 ? 0 , ?x y2 ?1 ? ? 2 ?3 ?12k ? ? x1 ? x2 ? 可得 ? 2 ? 3k 2 , 2 ? ?? ? 72k ? 48 ? 0
设 M ? x0 , y0 ? ,则 x0 ? 由 QM ? AB 可知

?6k ?6k 4 , y0 ? k ? ?2? , 2 2 2 ? 3k 2 ? 3k 2 ? 3k 2
?k ? ?1 ,

y0 2 x0 ? 5

化简得 3k ? 5k ? 2 ? 0 ,
2

解得 k ? ?1 或 k ? ?

2 2 2 ,将结果代入 ? ? 72k ? 48 ? 0 验证,舍掉 k ? ? , 3 3

此时,直线 l 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 , 综上所述,直线 l 的方程为 x ? 0 或 x ? y ? 2 ? 0 . 21.解(1)对函数 f ? x ? 求导得 g ? x ? ? f ? ? x ? ? a ln x ?

1 , x

g? ? x? ?

a 1 ax ? 1 ? ? 2 , x x2 x

①当 a ? 0 时, g ? ? x ? ? 0 ,故 g ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上为减函数; ②当 a ? 0 时,解 g ? ? x ? ? 0 可得 x ?

1 ? 1? ?1 ? ,故 g ? x ? 的减区间为 ? 0, ? ,增区间为 ? , ?? ? ; a ? a? ?a ?

(2) g e ? a ? ? a 2 ? e a ,设 h ? x ? ? e x ? x 2 ,则 h? ? x ? ? e x ? 2 x , 易知当 x ? e 时, h? ? x ? ? 0 ,

? ?

h ? x ? ? e x ? x 2 ? ee ? e2 ? 0 ;
(3)由(1)可知,当 a ? e 时, g ? x ? 是先减再增的函数, 其最小值为 g ?

1 ?1? ? 1 ? ? ? a ln ? a ? a ? ln ? 1? ? 0 , a ?a? ? a ?

1 1 ? ? 1 ? 1 ?a ?a a a 而此时 g ? e ? ? 1 ? e ? 0, g ? e ? ? 0 ,且 e ? ? e a ,故 g ? x ? 恰有两个零点 x1 , x2 , a ? ?

∵当 x ? ? 0, x1 ? 时, f ? ? x ? ? g ? x ? ? 0 ;当 x ? ? x1 , x2 ? 时, f ? ? x ? ? g ? x ? ? 0 ;当 x ? ? x2 , ?? ? 时,

f ?? x? ? g ? x? ? 0 ,
∴ f ? x ? 在 x1 , x2 两点分别取到极大值和极小值,且 x1 ? ? 0,

? ?

1? ?, a?

由 g ? x1 ? ? a ln x1 ?

1 1 ? 0知a ? ? , x1 x1 ln x1 1 ?2, ln x1

∴ f ? x1 ? ? ? ax1 ? 1? ln x1 ? ax1 ? 3 ? ln x1 ?

∵ ln x1 ? 0 ,∴ ln x1 ?

1 1 1 ? ?2 ,但当 ln x1 ? ? ?2 时, x1 ? ,则 a ? e ,不合题意,所以 ln x1 ln x1 e

f ? x1 ? ? 0 ,故函数 f ? x ? 的图象与 x 轴不可能有两个交点.
∴函数 f ? x ? 只有一个零点. 22.解: (1)曲线 E 的普通方程为

x2 y 2 ? ? 1, 4 3

极坐标方程为 ? ?
2

1 ?1 ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? ? 1 , 3 ?4 ?
2 2

∴所求的极坐标方程为 3? cos

? ? 4 ? 2 sin 2 ? ? 12 ;
? ?

(2)不妨设设点 A, B 的极坐标分别为 A ? ?1 , ? ? , B ? ? 2 , ? ?

?? ?, 2?

1 1 2 2 1 ? ?1 1 ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? ?1 cos ? ? ? ? ?1 sin ? ? ? 1 2 ? ? 4 3 3 ? ? ?1 4 则? ,即 ? , 2 2 1 1 1 1 ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? 2 2 ? ? cos ? ? ? ? sin ? ? cos ? ? ? ? ? ? ? 2 sin ? ? ? ? ? ? 1 2 ? 2 ? ? 3 4 2 3 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 4 ? ?


1

?

2 1

?

1

?

2 2

?

7 1 1 7 ,即 ? ? (定值). 2 2 12 12 OA OB

23.解: (1)当 a ? 1 , f ? x ? ? x ? 1 , 由 f ? x ? ? g ? x ? 可得 x ? 1 ? x ? 3 ? x ,即 x ? 3 ? x ? 1 ? x ? 0 , 当 x ? ?3 时,原不等式等价于 ? x ? 2 ? 0 ,即 x ? ?2 ,∴ x ? ?3 , 当 ?3 ? x ? ?1 时,原不等式等价于 x ? 4 ? 0 ,即 x ? ?4 ,∴ ?3 ? x ? ?1 , 当 x ? ?1 时,原不等式等价于 ? x ? 2 ? 0 ,即 x ? 2 ,∴ ?1 ? x ? 2 ,

综上所述,不等式的解集为 ? ??, 2 ? ; (2)当 x ? ? ?1,1? 时, g ? x ? ? 3 ,∴ x ? a ? 3 恒成立, ∴ ?3 ? a ? x ? 3 ,即 ?3 ? x ? a ? 3 ? x ,当 x ? ? ?1,1? 时恒成立, ∴ a 的取值范围 ?2 ? a ? 2 .欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org


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