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湖南省2009届高三12校联考第二次考试理科数学试卷2009.4.5

湖南省 2009 届高三十二校联考第二次考试理科数学试卷
总分:150 分 由 时量:120 分钟 2009 年 4 月 5 日 联合命题
长郡中学;衡阳八中;永州四中;岳阳县一中;湘潭县一中;湘西州民中 隆回一中;澧县一中;郴州一中;益阳市一中;桃源县一中;株洲市二中

一、选择题: (本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中有且只有一 项是符合题目要求的). 1.集合 A ? x ? N A.3 2.复数(

?

?

x ? 1 ? 2 的真子集的个数为
B.4 C.7 D.8

?





2i 2 ) (其中 i 为虚数单位)的虚部等于 1? i
B.1 C.-1 D.0





A.-i

?2 x ? ? 3.设函数 f ? x ? ? ?a ? ?5 ? 3x ?
A.2
n

? 0 ? x ? 1? ? x ? 1? 在区间 ?0,??? 上连续,则实数 a 的值为 ? x ? 1?
C.0 D.3

(

)

B.1

3 ? ? 4. 已知 ? x ? ? 展开式中,各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为 64,则展开式中的常 x? ?
数项等于 ( ) A. 135 B. 270 C. 540 D. 1215 5.下面四个命题: ①“直线 a∥直线 b”的充要条件是“a 平行于 b 所在的平面” ; ②“直线 l ⊥平面 ? 内所有直线”的充要条件是“ l ⊥平面 ? ” ; ③“直线 a、b 为异面直线”的充分不必要条件是“直线 a、b 不相交” ; ④“平面 ? ∥平面 ? ”的必要不充分条件是“ ? 内存在不共线三点到 ? 的距离相等” ; 其中正确命题的序号是 ( ) A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 6.已知 f ( x) ? sin A.2 3

?

( x ? 1) ? 3 cos ( x ? 1) ,则 f (1) ? f (2) ? ? ? f (2008) ? 3 3
B. 3 C.1 D.0

?





7. 已知 O, , , 是不共线的四点, A B C 若存在一组正实数 ?1 ,? 2 ,? 3 , ?1 OA + ? 2 OB + ? 3 OC = 使

? 0 ,则三个角∠AOB,∠BOC,∠COA





A.都是锐角 B.至多有两个钝角 C.恰有两个钝角 D.至少有两个钝角。 8.由数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数,所得的数是大于 20000 的偶数的概率为 ( )

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A.

12 25

B.

2 5

C.

6 25

D.

21 100

9.双曲线

x2 y2 - 2 =1 的左右焦点分别为 F1 ﹑F2,在双曲线上存在点 P,满足︱PF1︱=5︱PF2 a2 b
( C. )

︱。则此双曲线的离心率 e 的最大值为 A.

4 3

B.

3 2

5 3

D.2

10.f (x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数 ,且满足 xf ?( x) ? f ( x) ,对任意的正数 a ﹑b ,若 a < b,则必有 A.a f (a)≤b f (b) B.a f (a)≥b f (b) ( ) D.a f (b)≥b f (a)

C.a f (b)≤b f (a)

二、填空题:(本大题共 5 个小题,共 25 分,将答案填写在题中的横线上). 11.已知在平面直角坐标系中,O (0,0), M (1, 0≤ OP

???

? OM ≤1,0≤ OP ? ON ≤1,则 OP ? OQ 的最大值为_____.
??? ?

1 ), N (0,1), Q (2,3), 动点 P (x,y)满足: 2

12.已知函数 y=f(x),x∈[-1,1]的图象是由以原点为圆心的两段圆弧及原点构成(如图所示), 则 不等式的 f (? x) ? f ( x) ? 2 3x 的解集为

13.已知 lim

x ?0

cos x sin x =1,则 lim =_____. ? ? ? 2x x x?
2

14.若两条异面直线所成的角为 600,则称这对异面直线为“理想异面直线对” ,在连接正方体各顶 点的所有直线中, “理想异面直线对”的对数为_____. 15.已知抛物线的方程为 y ? 2 px( p ? 0) ,直线 l 与抛物线交于 A,B 两点,且以弦 AB
2

为直径的圆 M 与抛物线的准线相切,则弦 AB 的中点 M 的轨迹方程为 当直线 l 的倾斜角为



? 时,圆 M 的半径为 3



三、解答题:(本大题共 6 个小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤). 16. (本小题满分 12 分) 已知向量 a=(cos

x x 3x 3x ? , sin ), b=(cos ,- sin ), 且 x∈[0, ]. 2 2 2 2 2

(1) 求 a·b 及︱a+b︱; (2)若 f (x)= a·b-2 ? ︱a+b︱的最小值为-7, 求实数 ? 的值.

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17. (本小题满分 12 分) 某公司科研部研发了甲﹑乙两种产品的新一代产品,在投产上市前,每种新一代产品都要经过 第一和第二两项技术指标检测,两项技术指标的检测结果相互独立,每项技术指标的检测结果 都均有 A ,B 两个等级,对每种新一代产品,当两项技术指标的检测结果均为 A 级时,才允许 投产上市,否则不能投产上市。 (1)已知甲﹑乙两种新一代产品的每一项技术指标的检测结果为 A 级的概率如下表所示, 分别求出甲﹑乙两种新一代产品能投产上市的概率 P 甲﹑P 乙; 第一项技术指标 甲 乙 0.8 0.75 第二项技术指标 0.85 0.8

(2)若甲﹑乙两种新一代产品能投产上市,可分别给公司创造 100 万元﹑150 万元的利润; 否则将分别给公司造成 10 万元﹑20 万元的损失,在 1)的条件下,用 ? ﹑? 分别表示甲﹑乙两 种新一代产品的研发给公司创造的利润,求 ? ﹑ ? 的分布列及 E ? ﹑E? .

18. (本小题满分 12 分) 如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面△ABC 为等腰直角三角形,∠B = 900,D 为棱 BB1 上一 点,且面 DA1 C⊥面 AA1C1C. 1)求证:D 点为棱 BB1 的中点; 2)若二面角 A -A1D - C 的平面角为 600,求

AA1 的值。 AB
B1

A1

D

C1

B A1

A

C

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19. (本小题满分 13 分) 设正项数列{ a n }的前项和为 Sn,q 为非零常数。已知对任意正整数 n, m,当 n > m 时,

S n ? S m ? q m ? S n?m 总成立。
1)求证数列{ a n }是等比数列; 2)若正整数 n, m, k 成等差数列,求证:

1 1 2 + ≥ 。 Sn Sk Sm

20. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C:

x2 y2 6 + 2 =1(a>b>0)的离心率为 ,过右焦点 F 且斜率为 1 的直线交椭圆 2 3 b a

C 于 A,B 两点,N 为弦 AB 的中点。 1)求直线 ON(O 为坐标原点)的斜率 KON ; 2) 对于椭圆 C 上任意一点 M , 试证: 总存在角 ?( ? ∈R) 使等式: OM =cos ? OA +sin ? OB 成立。

21. (本小题满分 13 分) 我们知道:函数 y=f (x)如果存在反函数 y=f -1 (x),则 y=f (x)的图像与 y=f -1 (x)图像关于直 线 y=x 对称。若 y=f (x)的图像与 y=f -1 (x)的图像有公共点,其公共点却不一定都在直线 y=x 上;例如函数 f (x)=

1 。 x

(1)若函数 y=f (x)在其定义域上是增函数,且 y=f (x)的图像与其反函数 y=f -1 (x)的图像有 公共点,证明这些公共点都在直线 y=x 上; (2)对问题: “函数 f (x)=a x (a>1)与其反函数 f -1 (x)=logax 的图像有多少个公共点?”有 如下观点: 观点①: “当 a>1 时两函数图像没有公共点,只有当 0<a<1 时两函数图像才有公共 点” 。 观点②: “利用(1)中的结论,可先讨论函数 f (x)=a x (a>1)的图像与直线 y=x 的公 x 共点的个数,为此可构造函数 F (x)=a -x(a>1),然后可利用 F (x)的最小值进行讨论” 。 请参考上述观点,讨论函数 f (x)=ax (a>1)与其反函数 f -1 (x)=logax 图像公共点的个数。

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数 学 试 卷 ( 理 科 ) 参 考 解 答 题序 答案 1 A 2 C 3 A 4 C 5 D 6 B 7 D 8 B 9 B 10 C

11. 15.

4.

12.

[-1,-

1 1 )∪(0, ).. 2 2

13.

1 。 2

14.

24.

y 2 ? P( x ?

P 、 ) (3 分) 2

4P (2 分) 。 3

16.解: (1)∵ a = (cos

x x 3x 3x , sin ), b = (cos ,- sin ) 2 2 2 2 x x x x 3x 3x 3x 3x ∴ a·b =cos cos +sin (- sin )=cos cos -sin sin 2 2 2 2 2 2 2 2 3x x =cos( + )=cos2x ???3 分 2 2
又易知:︱a︱=1,︱b︱=1 ∴︱a+b︱ = a +b +2 a·b
2 2 2

=1+1+2 cos2x=4cos2x ,且 x∈[0,

? ], 2

∴︱a+b︱=2cosx. ???6 分 (2) f (x)= a·b-2 ? ︱a+b︱ =cos2x-2 ? (2cosx) 2 =2cos x-4 ? cosx - 1 2 2 =2(cosx- ? ) -2 ? -1 ???8 分 若 ? <0,当 cosx=0 时,f (x)取得最小值-1,不合题意; 若 ? >1,当 cosx=1 时,f (x)取得最小值 1-4 ? ,由题意有 1-4 ? =-7,得 ? =2; 2 2 若 0≤ ? ≤1,当 cosx= ? 时,f (x)取得最小值-2 ? -1,由题意有-2 ? -1=-7,得 ? =±

3 (舍去)。
综上所述: ? =2。 17.解: 1)由题意有: P 甲 = 0.8×0.85= 0.68 ; P 乙 = 0.75×0.8= 0.6 。

???12 分 ???3 分 ???6 分

2)随机变量 ? ﹑ ? 的分布列分别是:

?
P

100 0.68

-10 0.32

?
P

150 0.6

-20 0.4

???9 分
E ? = 100×0.68+(-10)×0.32 = 64.8 ; E? = 150×0.6+(-20)×0.4 = 82 。

???12 分

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18.解:1)过点 D 作 DE ⊥ A1 C 于 E 点,取 AC 的中点 F,连 BF ﹑EF。 ∵面 DA1 C⊥面 AA1C1C 且相交于 A1 C,面 DA1 C 内的直线 DE ⊥ A1 C ∴直线 DE⊥面 AA1C1C 又∵面 BA C⊥面 AA1C1C 且相交于 AC,易知 BF⊥AC, ∴BF⊥面 AA1C1C 由此知:DE∥BF ,从而有 D,E,F,B 共面, 又易知 BB1∥面 AA1C1C,故有 DB∥EF ,从而有 EF∥AA1, 又点 F 是 AC 的中点,所以 DB = EF = 所以 D 点为棱 BB1 的中点;

???3 分

1 1 AA1 = BB1, 2 2
???6 分

B1

A1

C1 D H G

E

B A1

A

F

C

2)解法 1:延长 A1 D 与直线 AB 相交于 G,易知 CB⊥面 AA1B1B, 过 B 作 BH⊥A1 G 于点 H,连 CH,由三垂线定理知:A1 G⊥CH, 由此知∠CHB 为二面角 A -A1D - C 的平面角; 设 AA1 = 2b ,AB=BC = a ; 在直角三角形 A1A G 中,易知 AB = BG。 在直角三角形 DB G 中,BH =

???9 分

BD ? BG = DG

b?a a2 ? b2



BC 在直角三角形 CHB 中,tan∠CHB = = BH
据题意有:

a2 ? b2 , b

a2 ? b2 = tan600 = b

3 ,解得:

2b ? 2, a
???12 分

所以

AA1 = 2 。 AB

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2)解法 2:建立如图所示的直角坐标系,设 AA1 = 2b ,AB=BC = a , 则 D(0,0,b), A1 (a,0,2b), C (0,a,0) Z 所以, DA1 ? (a,0, b), DC ? (0, a,?b) ???8 分 设面 DA1C 的法向量为 n ? ( x, y, z ) 则 B1

ax ? 0 ? y ? bz ? 0, 0 ? x ? ay ? bz ? 0
A1 D C1

可取 n ? (b,?b,? a ) 又可取平面 AA1DB 的法向量 B O A1 C A y

m ? BC ? (0, a,0)
x

cos〈 n, m 〉 ?

n?m n?m
b

?

b ? 0 ? ba ? a ? 0 2b 2 ? a 2 ? a 2
?

??

b 2b 2 ? a 2

???10 分

据题意有:

2b 2 ? a 2

AA1 2b 1 ,解得: = ? 2 2 AB a

???12 分

说明:考生的其他不同解法,请参照给分。 19.解: 1)因为对任意正整数 n, m,当 n > m 时, S n ? S m ? q ? S n ?m 总成立。
m

所以当 n ≥2 时: S n ? S n ?1 ? q 故当 n ≥2 时:

n ?1

S1 ,即 a n ? a1 ? q n ?1 ,且 a1 也适合,又 a n >0,
???5 分

an ? q (非零常数) ,即{ a n }是等比数列。 a n ?1

2)若 q ? 1 ,则 S n ? na1 , S m ? ma1 , S k ? ka1 。所以

1 1 n?k 2m 2m 2m 2 2 ? ? ? ≥ 。 ? 2 ? ? n?k 2 Sn Sk nka1 nka1 m a1 ma1 S m ( ) ? a1 2
a1 (1 ? q n ) a1 (1 ? q m ) a1 (1 ? q k ) 若 q ? 1 ,则 S n ? , Sm ? , Sk ? 。 1? q 1? q 1? q
所以

???7 分

???8 分

1 (1 ? q ) 2 1 1 ?2 ? ≥2 。 2 Sn Sk Sn Sk (1 ? q n )(1 ? q k ) a1
n k n k n?k

???10 分

又因为 (1 ? q )(1 ? q ) ? 1 ? (q ? q ) ? q

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n?k ? q n ? k ? 1 ? 2q m ? q 2 m ? (1 ? q m ) 2 。所以 ≤1 ? 2 q

1 (1 ? q ) 2 (1 ? q ) 2 2 1 1 ?2 ? ≥2 ≥2 。 ? 2 2 n k m 2 Sn Sk Sm Sn Sk (1 ? q )(1 ? q ) a1 (1 ? q ) ? a1
综上可知:若正整数 n, m, k 成等差数列,不等式 当且仅当 n ? m ? k 时取“=” 。

1 1 2 + ≥ 总成立。 Sn Sk Sm
???13 分

a2 ? b2 2 c 6 20.解: 1)设椭圆的焦距为 2c,因为 ? ,所以有 ? ,故有 a 2 ? 3b 2 。从而椭 2 a 3 3 a
圆 C 的方程可化为: x ? 3 y ? 3b
2 2 2



???2 分

易知右焦点 F 的坐标为( 2b,0 ) , 据题意有 AB 所在的直线方程为: y ? x ? 2b 由①,②有: 4 x ? 6 2bx ? 3b ? 0
2 2

② ③

???3 分

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,弦 AB 的中点 N ( x0 , y 0 ) ,由③及韦达定理有:

x0 ?

x1 ? x 2 3 2b 2 ? , y 0 ? x0 ? 2b ? ? b. 2 4 4
y0 1 ? ? ,即为所求。 x0 3
???5 分

所以 K ON ?

2)显然 OA 与 OB 可作为平面向量的一组基底,由平面向量基本定理,对于这一平面内的 向量 OM ,有且只有一对实数 ? , ? ,使得等式 OM ? ? OA ? ? OB 成立。 设 M ( x, y ) ,由 1)中各点的坐标有: ( x, y) ? ? ( x1 , y1 ) ? ? ( x2 , y 2 ) , 所以 x ? ?x1 ? ?x2 , y ? ?y1 ? ?y 2 。
2 2

???7 分
2

又点在椭圆 C 上,所以有 (?x1 ? ?x2 ) ? 3(?y1 ? ?y 2 ) ? 3b 整理为

?2 ( x1 2 ? 3 y1 2 ) ? ? 2 ( x2 2 ? 3 y 2 2 ) ? 2?? ( x1 x2 ? 3 y1 y 2 ) ? 3b 2 。
由③有: x1 ? x 2 ?



3 2b 3b 2 , x1 ? x 2 ? 。所以 2 4

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x1 x 2 ? 3 y1 y 2 ? x1 x 2 ? 3( x1 ? 2b)( x 2 ? 2b) ? 4 x1 x 2 ? 3 2b( x1 ? x 2 ) ? 6b 2 ? 3b 2 ? 9b 2 ? 6b 2 ? 0
又 A﹑B 在椭圆上,故有 ( x1 ? 3 y1 ) ? 3b , ( x2 ? 3 y 2 ) ? 3b
2 2 2 2 2 2





将⑤,⑥代入④可得: ? ? ? ? 1 。
2 2

???11 分

2 2 对于椭圆上的每一个点 M , 总存在一对实数, 使等式 OM ? ? OA ? ? OB 成立, ? ? ? ? 1 而

在直角坐标系 x ? o ? y 中,取点 P( ? , ? ) ,设以 x 轴正半轴为始边,以射线 OP 为终边的角为

? ,显然 ? ? cos? , ? ? sin? 。
也就是: 对于椭圆 C 上任意一点 M , 总存在角 ?( ? ∈R) 使等式:OM =cos ? OA +sin ? OB 成立。

???13 分

21.解; 1)设点 M(x0, y0)是函数 y = f (x)的图像与其反函数 y = f -1 (x)的图像的公 点,则有:y0=f (x0) , y0 = f -1 (x0),据反函数的意义有:x0 = f (y0)。 ???2 分 所以:y0 = f (x0)且同时有 x0 = f (y0)。 若 x0 < y0 ,因为函数 y = f (x) 是其定义域上是增函数, 所以有:f (x0) < f (y0) ,即 y0 < x0 与 x0 < y0 矛盾,这说明 x0 < y0 是错误的。 同理可证 x0 > y0 也是错误的。 所以 x0 = y0 ,即函数 y = f (x)的图像与其反函数 y = f -1 (x)的图像有公共点在直线 y = x 上; ???5 分 x 2)构造函数 F (x)=a -x(a>1) x 因为 F′ (x)= a lna - 1(a > 1) , ???6 分 x 令 F′ (x)= a lna - 1≥0, 解得:x ≥ log a (log a e) 。 所以当 x ≥ log a (log a e) 时:F′ (x)≥0,F (x)在区间 ?log a (log a e),?? ? 上是增函数; 当 x ≤ log a (log a e) 时:F′ (x)≤0,F (x)在区间 ?? ?, log a (log a e)?上是减函数。 所以 F (x)的最小值为 F (x)min=F ( log a (log a e) )= log a e - log a (log a e) 。???9 分 令 log a e - log a (log a e) >0,解得:a > e 。
1
x 故当 a> e e 时:F (x)min =F ( log a (log a e) )>0,所以方程 F (x)=a -x =0 无实数解,这说

1 e

明函数 f (x)=a x (a>1)的图像与直线 y=x 没有公共点;
1

???10 分
x

当 a= e e 时:F (x)min =F ( log a (log a e) )=F (e)=0,所以方程 F (x)=a -x =0 有唯一实

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数解 x = log a (log a e) =e。 这说明函数 f (x)=a x (a>1)的图像与直线 y=x 有唯一公共点;
1
x

???11 分

当 a< e e 时:F (x)min =F ( log a (log a e) )<0,所以方程 F (x)=a -x =0 有两相异的实数 解 x ? x1 , x ? x2 (设 x1 < x 2 )。

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