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重庆市南开中学2015届高三上学期10月月考数学试卷(文科)

重庆市南开中学 2015 届高三上学期 10 月月考数学试卷 (文科)
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1.已知 A、B 为两个集合,若命题 p:?x∈A,都有 2x∈B,则( ) A.¬p:?x∈A,使得 2x∈B B.¬p:?x?A,使得 2x∈B C.¬p:?x∈A,使得 2x?B D.¬p:?x?A,2x?B 考点:命题的否定. 专题:简易逻辑. 分析:根据全称命题的否定是特称命题,写出它的否定命题即可. 解答: 解:∵A、B 为两个集合,命题 p:?x∈A,都有 2x∈B; ∴¬p:?x∈A,使得 2x?B. 故选:C. 点评: 本题考查了全称命题与特称命题的应用问题, 解题时应根据全称命题的否定是特称命题, 直接写出它的否定命题,是基础题.

2.已知向量 A.垂直 C.平行且同向



,则 与 (

)

B.不垂直也不平行 D.平行且反向

考点:数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题:计算题. 分析:根据向量平行垂直坐标公式运算即得. 解答: 解:∵向量 ∴ ⊥ , 故选 A. 点评:本题单纯的考两个向量的位置关系,且是坐标考查,直接考垂直或平行公式. 3.设集合 M={x|x ﹣x﹣2<0},N={y|y=2x,x∈M},则?R(M∩N)集合( A. (﹣2,4) B. (﹣1,2) C. (﹣∞,﹣1]∪∪ 2 解答: 解:由 a2a4=a3 =1,得 a3=1, 所以 S3= =7,
2



,得



)

又 q>0,解得 =2,即 q= .

所以 a1=

=4,

所以

=



故选 B. 点评:本题考查等比中项的性质、等比数列的通项公式及前 n 项和公式. 5.对于平面 α、β、γ 和直线 a、b、m、n,下列命题中真命题是( ) A.若 α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,则 a∥b B.若 a∥b,b?α,则 a∥α C.若 a⊥m,a⊥n,m?α,n?α,则 a⊥α D.若 α⊥β,a?α,则 a⊥β 考点:空间中直线与直线之间的位置关系. 专题:空间位置关系与距离. 分析:由面面平行的性质定理可判断 A;由线面平行的判定定理可判断 B;由线面垂直的判定 定理可判断 C;由面面垂直的性质定理可判断 D. 解答: 解:若 α∥β,α∩γ=α,β∩γ=b,则由面面平行的性质定理可得:a∥b,故 A 正确; 若 a∥b,b?α,则 a∥α 或 a?α,故 B 错误; 若 a⊥m,a⊥n,m?α,n?α,则 m,n 相交时 a⊥α,否则 a⊥α 不一定成立,故 C 错误; 若 α⊥β,a?α,则 a 与 β 可能平行,可能垂直,也可能线在面内,故 D 错误; 故选:A 点评: 本题考查的知识点是空间中直线与直线之间的位置关系, 熟练掌握空间线面关系的判定 理,性质定理和几何特征,是解答的关键.

6.若实数 x,y 满足约束条件

,则函数 z=|x+y+1|的最小值是(

)

A.0

B.4

C.

D.

考点:简单线性规划的应用;简单线性规划. 专题:不等式的解法及应用. 分析:先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,只需求出直线 x+y+1=0 时,z 最小值即可.

解答: 解:作出

可行域如图,



,可得 A





,可得 B(0, ) ,



,可得 C(0,﹣5) .

A、B.C 坐标代入 z=|x+y+1|,分别为: ; ,4, 又 z=|x+y+1|≥0,当 x=0,y=﹣1 时,z 取得最小值 0.z=|x+y+1|取可行域内的红线段 MN 时 x+y+1=0.z 都取得最小值 0. 故选 A.

点评:本题主要考查了简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于中档题. 7.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为扇形,则该几何体的体积为( )

A.

B.

C.

D.

考点:由三视图求面积、体积. 专题:计算题;空间位置关系与距离.

分析: 根据三视图判断几何体是圆锥的一部分, 再根据俯视图与左视图的数据可求得底面扇形 的圆心角为 120°,又由侧视图知几何体的高为 4,底面圆的半径为 2,把数据代入圆锥的体积 公式计算. 解答: 解:由三视图知几何体是圆锥的一部分,由俯视图与左视图可得:底面扇形的圆心 角为 120°, 又由侧视图知几何体的高为 4,底面圆的半径为 2, ∴几何体的体积 V= × ×π×2 ×4=
2



故选:D. 点评: 本题考查了由三视图求几何体的体积, 解答的关键是判断几何体的形状及三视图的数据 所对应的几何量.

8.将函数 f(x)=sin(2x+

)的图象向右平移

个单位,再将图象上横坐标伸长为原来 )的图象; )图象. .

的 2 倍后得到 y=g(x)图象,若在 x∈=sin(2x+

再将图象上横坐标伸长为原来的 2 倍后得到 y=g(x)=sin(x+ 由 x+ =kπ+

,k∈z,求得 g(x)的图象的对称轴方程为 x=kπ+

若 x∈ ∴f′(lnx)>f(lnx) . ∴h′(x)>0,∴h(x)在(0,+∞)上单调递增. ∴h(1)<h(2)<h(e)<h(3) , 又∵h(1)= ∴0<b<a; 而 c=﹣ef(1)=﹣e? =﹣e h(e)<0,a>b>c.
2



故选:A. 点评:如何构造新的函数,要结合题中所给的 a,b 的结构形式,利用单调性比较大小,是常 见的题目.本题属于中档题.

10.已知函数

.若对任意的实数 x1,x2,x3,不等式 f(x1)+f(x2) ) D.

>f(x3)恒成立,则实数 k 的取值范围是( A.0<k≤3 B.1≤k≤4 C.

考点:函数恒成立问题. 专题:函数的性质及应用.

分析:根据分数函数的特点,将函数进行化简,结合反比例函数的单调性,分类讨论函数的单 调性,并分析出函数的值域,构造关于 k 的不等式,求出各种情况下实数 k 的取值范围,最后 综合讨论结果,可得实数 k 的取值范围. 解答: 解: 令 2 +2 =t,则 t≥2, 则函数等价为 g(t)= 则原题等价为对于 t≥2, min≥max 恒成立, ①当 k=1 时,显然成立; ②当 k<1 时, 由 2( )≥1,得﹣ ; , , , (t≥2) ,
x
﹣x

=



③当 k>1 时,1<f(t) 由 2×1 ,得 1<k≤4,

综上;实数 k 的取值范围是. 故选:D. 点评:本题考查的知识点是函数恒成立问题,指数函数的性质,反比例函数的图象和性质,其 中利用换元思想及基本不等式将函数进行转化是解答的关键. 二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分) 11.复数 z= 对应的复平面上的点在第四象限.

考点:复数的代数表示法及其几何意义. 专题:数系的扩充和复数. 分析:利用复数代数形式的乘除运算化简,求出复数所对应点的坐标得答案. 解答: 解:z= = ,

∴复数 z=

对应的复平面上的点的坐标为(2,﹣1) ,

位于第四象限. 故答案为:四. 点评:本题考查了复数的代数表示法与其几何意义,考查了复数代数形式的乘除运算,是基础 题.

12.

则 f(f(2) )的值为 2.

考点:分段函数的解析式求法及其图象的作法;函数的值. 专题:计算题. 分析:本题是一个分段函数,且是一个复合函数求值型的,故求解本题应先求内层的 f(2) , 再以之作为外层的函数值求复合函数的函数值, 求解过程中应注意自变量的范围选择相应的解 析式求值. 解答: 解:由题意,自变量为 2, 2 故内层函数 f(2)=log3(2 ﹣1)=1<2, 1﹣1 故有 f(1)=2×e =2, 1﹣1 即 f(f(2) )=f(1)=2×e =2, 故答案为 2 点评:本题的考点分段函数,考查复合函数求值,由于对应法则是分段型的,故求解时应根据 自变量的范围选择合适的解析式,此是分段函数求值的特点.

13.设 x,y 为正数,且 x,a1,a2,y 成等差数列,x,b1,b2,y 成等比数列,则 的最小值是 4. 考点:等差数列与等比数列的综合. 专题:计算题;转化思想. 分析:先利用条件得到 a1+a2=x+y 和 b1b2=xy,再对所求都转化为用 x,y 表示后,在用基本不 等式可得结论. 解答: 解:由等差数列的性质知 a1+a2=x+y; 由等比数列的性质知 b1b2=xy, 所以 ,

当且仅当 x=y 时取等号. 故答案为:4. 点评:本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识,考查运算求解能力,考查归化与转化 思想. 14. 在△ ABC 中, 角 A, B, C 对应的边分别为 a, b, c, 若 a=3, b= 则边 c 的长为 2 . 考点:三角函数中的恒等变换应用. 专题:解三角形. , 且 2acosA=bcosC+ccosB,

分析:首先,根据正弦定理,化简 2acosA=bcosC+ccosB,得到 2sinAcosA=sin(B+C) ,然后, 根据三角形的性质得到 A 的值,然后,再借助于正弦定理,得到 B= 后,利用勾股定理求解其值. 解答: 解:根据正弦定理, 设 , ,从而得到 C= ,最

∴a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC, ∵2acosA=bcosC+ccosB, ∴2sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB ∴2sinAcosA=sin(B+C) , ∵A+B+C=π, ∴B+C=π﹣A, ∴2sinAcosA=sinA, ∵sinA≠0, ∴cosA= ,∴A= ∴sinA= 根据正弦定理,得 , ∴sinB= ∴B= ∴C= ∴c= , , . = , , ,

故答案为:2 . 点评:本题重点考查了正弦定理及其应用、三角恒等变换公式等知识,属于中档题,准确把握 正弦定理的变形公式是解题的关键. 15.如图,已知边长为 1 的正方形 ABCD 位于第一象限,且顶点 A、D 分别在 x,y 的正半轴 上(含原点)滑动,则 ? 的最大值是 2.

考点:二倍角的正弦;平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用. 分析:令∠OAD=θ,由边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A、D 分别在 x 轴、y 轴正半轴上, 可得出 B,C 的坐标,由此可以表示出两个向量,算出它们的内积即可. 解答: 解:如图令∠OAD=θ,由于 AD=1 故 0A=cosθ,OD=sinθ, 如图∠BAX= 故 ﹣θ,AB=1,故 xB=cosθ+cos( ﹣θ)=cosθ+sinθ,yB=sin( ﹣θ)=cosθ

=(cosθ+sinθ,cosθ) =(sinθ,cosθ+sinθ) ,

同理可求得 C(sinθ,cosθ+sinθ) ,即 ∴ ∴ ? ?

=(cosθ+sinθ,cosθ)?(sinθ,cosθ+sinθ)=1+sin2θ, 的最大值是 2.

故答案为 2. 点评:本题考查向量在几何中的应用,设角引入坐标是解题的关键,由于向量的运算与坐标关 系密切,所以在研究此类题时应该想到设角来表示点的坐标. 三、解答题(共 6 小题,满分 75 分.解答时写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16.某公司有男职员 45 名,女职员 15 名,按照分层抽样的方法组建了一个 4 人的科研攻关 小组. (1)科研攻关小组中男、女职员的人数; (2)经过一个月的学习、讨论,这个科研攻关组决定选出两名职员做某项实验,方法是先从 小组里选出 1 名职员做实验,该职员做完后,再从小组内剩下的职员中选一名做实验,求选 出的两名职员中恰有一名女职员的概率. 考点:列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题:概率与统计. 分析: (Ⅰ)某同学被抽到的概率是抽取人数与总人数的比值;根据分层抽样,男同学抽取的 人数与抽取人数的比值和男同学的人数与总人数的比值相等,可以求出抽取的男同学的人数, 进而可以求出抽取的女同学的人数; (Ⅱ) 先列出总的基本事件, 然后找出“选出的两名同学中恰有一名女同学”的基本事件的个数, 根据古典概型公式求出概率. 解答: 解: (Ⅰ)P= = ∴某同学被抽到的概率为 设有 x 名男同学,则 = ,

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ,

∴x=1 ∴女同学的人数是 1,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (Ⅱ)把 3 名男同学和 1 名女同学记为 a1,a2,a3,b, 则选取两名同学的基本事件有(a1,a2) , (a1,a3) , (a1,b) ,

(a2,a1) , (a2,a3) , (a2,b) , (a3,a1) , (a3,a2) , (a3,b) , (b,a1) , (b,a2) , (b,a3)共 12 种, 其中有一名女同学的有 6 种﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ∴选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为 P= ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

点评: 本题考查了分层抽样及古典概型, 解决本题的关键是列举基本事件时要按照一定的顺序, 不能重也不能漏. 17.已知递增等比数列{an}首项 a1=2,Sn 为其前 n 项和,且 S1,2S2,3S3 成等比数列. (1)求的{an}通项公式; (2)设 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

考点:数列的求和. 专题:等差数列与等比数列. 分析: (1)利用 S1,2S2,3S3 成等差数列,确定数列的公比,即可求得数列的通项. (2)bn= = =3
2n﹣3

,由此利用等比数列求和公式能求出数列

{bn}的前 n 项和 Tn. 解答: 解: (1)设等比数列{an}的公比为 q, ∵S1,2S2,3S3 成等差数列, ∴4S2=S1+3S3, ∵a1=2, 2 2 ∴4(2+2q)=2+6(1+q+q ) ,即 3q ﹣q=0, 解得 q=0(舍去)或 q= . ∴an=2?( ) (2)∵bn=
﹣1

n﹣1

. = =3
2n﹣3 2n﹣3



∴Tn=3 +3+3 +3 +…+3 = = .

3

5

点评:本题考查等差数列与等比数列的综合,考查数列的通项与求和,属于中档题. 18.如图所示,PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 为正方形,且 E,F,G,H 分别是线段 PA、 PD、CD、BC 的中点. (1)求证:BC∥平面 EFG;

(2)DH⊥平面 AEG.

考点:直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定. 专题:证明题;空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)利用平行公理证明 BC∥EF,再利用线面平行的判定,证明 BC∥平面 EFG; (Ⅱ)利用 PA⊥平面 ABCD,证明 AE⊥DH,利用△ ADG≌△DCH,证明 DH⊥AG,从而可 证 DH⊥平面 AEG. 解答: 证明: (Ⅰ)∵BC∥AD,AD∥EF,∴BC∥EF, ∵BC?平面 EFG,EF?平面 EFG, ∴BC∥平面 EFG; (Ⅱ)∵PA⊥平面 ABCD,DH?平面 ABCD, ∴PA⊥DH,即 AE⊥DH. ∵△ADG≌△DCH,∴∠HDC=∠DAG,∠AGD+∠DAG=90° ∴∠AGD+∠HDC=90° ∴DH⊥AG 又∵AE∩AG=A, ∴DH⊥平面 AEG. 点评:本题考查线面平行,线面垂直,解题的关键是正确运用线面平行、线面垂直的判定,属 于中档题.
2

19.设函数 f(x)=2sinxcos (1)求 φ 的值;

+cosxsinφ﹣sinx(0<φ<π)在 x=π 处取最小值.

(2)若实数 α 满足 f(α)+f(

﹣α)= ,α∈(

,π) ,试求

的值.

考点:三角函数中的恒等变换应用. 专题:三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (1)首先,化简函数解析式,得到 f(x)=sin(x+φ) ,然后,根据函数 f(x)在 x=π 处取最小值,确定 φ= ; ﹣α)= ,得到 sinα+cosα= ,

(2)根据(1) ,得到 f(x)=cosx,然后,根据 f(α)+f( 从而得到 sinα﹣cosα= ,最后,化简 解答: 解: (1)∵f(x)=2sinxcos
2

=﹣2sinα,从而确定其值. +cosxsinφ﹣sinx,

∴f(x)=2sinx?

+cosxsinφ﹣sinx

=sinx+sinxcosφ+cosxsinφ﹣sinx =sin(x+φ) , ∴f(x)=sin(x+φ) , ∵函数 f(x)在 x=π 处取最小值. 且 0<φ<π, ∴φ= .

(2)根据(1)得 f(x)=sin(x+ ∴f(α)+f( =cosα+cos( ∴sinα+cosα= , ∵ )=cosx, ﹣α) )= ,

= = =﹣2sinα ∵sinα+cosα= ,且 α∈( ∴sinα﹣cosα= , ∴sinα= , ∴ 的值为﹣ . ,π) ,

点评:本题重点考查了三角函数的图象与性质、三角公式等知识,属于中档题. 20.如图,底面 ABCD 为菱形的直四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1,所有棱长都为 2,∠BAD=60°, E 为 BB1 的延长线上一点,D1E⊥面 D1AC. (1)求线段 B1E 的长度及三棱锥 E﹣D1AC 的体积 V ;

(2)设 AC 和 BD 交于点 O,在线段 D1E 上是否存在一点 P,使 EO∥面 A1C1P?若存在,求 D1P:PE 的值;若不存在,说明理由.

考点:棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题:空间位置关系与距离. 分析: (1)如图所示,建立空间直角坐标系.由题意可得 A D1(0,0,2) , B , .设 E ,C(0,2,0) , ,利用线面垂直的性质、向

量垂直与数量积的关系可得 E, 再利用三棱锥 E﹣D1AC 的体积 V = 即可得出.

(2)假设在线段 D1E 上存在一点 P,使 EO∥面 A1C1P.连接 A1C1、B1D1,相交于点 O1,连 接 O1P,则 O1P∥OE.另一方面 .利用向量共线定理即可得出.

解答: 解: (1)如图所示,建立空间直角坐标系. 由题意可得 A B 设E = =(0,2,﹣2) . ∵D1E⊥面 D1AC,∴ ∴E . ∴|B1E|=2. ∵|D1A|= =|D1C|,|AC|=2 ∴ ∵|D1E|= ∴三棱锥 E﹣D1AC 的体积 V = = = . = = . ,解得 z=3. , , , = , ,C(0,2,0) ,D1(0,0,2) , .

, = ,

(2)假设在线段 D1E 上存在一点 P,使 EO∥面 A1C1P.

连接 A1C1、B1D1,相交于点 O1,连接 O1P,则 O1P∥OE. O ∴ = ,O1 , ,





另一方面







解得 x= ∴ ∴ ∴ .

,y= ,z= , . ,

,μ= .

点评:本题考查了建立空间直角坐标系解决线面垂直、向量共线、三棱锥的体积等基础知识与 基本技能方法,考查了空间想象能力,考查了推理能力与计算能力,属于难题. 21.设函数 f(x)=2ax +(a+4)x+lnx(a∈R) . (1)若 a= ,求 f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程; (2)若 a 为整数,且函数的 y=f(x)图象与 x 轴交于不同的两点,试求 a 的值. 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程.
2

专题:导数的综合应用. 分析: (1)a= 代入函数解析式,求出导函数,得到函数在 x=1 时的导数,求出 f(1)的值, 然后利用直线方程的点斜式得答案; (2)把函数的 y=f(x)图象与 x 轴交于不同的两点转化为其最大值大于 0,然后利用导数求 其最大值,解关于 a 的不等式得答案. 解答: 解: (1)a= ,则 f(x)= x + . . 又 f(1)= . .
2

x+lnx,

∴f(x)在点(1,f(x) )处的切线方程为 即 30x﹣5y﹣7=0; (2)由 f(x)=2ax +(a+4)x+lnx(a∈R) . 得 x>0, . 当 a≥0 时,f′(x)>0, f(x)在(0,+∞)上为增函数; 当 a<0 时,可知 x ∴x 时 f′(x)>0,x 时,f(x)为增函数,x
2

时,f′(x)<0. 时,f(x)为减函数.

故当 x=﹣ 时函数有极大值,也是最大值. 由 f(﹣ )= 得 由 a 为整数, 验证 a=﹣1 时, 当 a<﹣1 时, , , ,满足 ,不满足 . . . = >0,

∴a 的值为﹣1. 点评:本题考查了利用导数求过曲线上某点处的切线方程,考查了利用导数求函数的最值,体 现了数学转化思想方法,是中档题.


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